不等式 02 伯努利不等式

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雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli‎,1654－1705年)，伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家。被公认的概率论的先驱之一。他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。还较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。他还研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。概率论中的伯努利试验与大数定理也是他提出来的。

伯努利不等式（Bernoulli's Inequality）

伯努利不等式是数学中最基础且应用广泛的不等式之一，由瑞士数学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）提出，主要用于处理含“1+正数/负数”形式的幂次不等式关系，在极限证明、数值估计、不等式推导等领域均有重要作用。

伯努利不等式是数学分析、不等式理论中的重要基础不等式，广泛应用于极限计算、数值估计、不等式证明等场景。其核心是揭示“1加上一个实数”的幂次与“1加上该实数乘以幂次”之间的不等关系，需结合幂次的正负、实数的取值范围分情况讨论。

伯努利不等式的表述需区分整数幂次和实数幂次两种情况，核心差异在于对“幂次”和“底数中实数”的取值限制不同。

伯努利不等式的定义

1. 整数幂次版本（基础形式）设 \( n \) 为正整数，\( x > -1 \)，则有：\( (1 + x)^n \geq 1 + nx \)

等号成立条件：当且仅当 \( n = 1 \)（此时两边均为 \( 1 + x \)）或 \( x = 0 \)（此时两边均为 1）。

关键限制：\( x > -1 \)（避免底数 \( 1 + x \leq 0 \)时，偶数次幂为正、奇数次幂为负，导致不等式方向混乱）。

2. 实数幂次版本（推广形式）设 \( \alpha \in \mathbb{R} \)（实数），\( x > -1 \)，则分两种情况：

当 \( \alpha \leq 0 \) 或 \( \alpha \geq 1 \) 时，\( (1 + x)^\alpha \geq 1 + \alpha x \)；

当 \( 0 < \alpha < 1 \) 时，\( (1 + x)^\alpha \leq 1 + \alpha x \)。

等号成立条件：均为 \( x = 0 \) 或 \( \alpha = 0, 1 \)（此时两边均为 1 或 \( 1 + x \)）。

核心逻辑：幂次 \( \alpha \) 落在“两端区间”（\( \alpha \leq 0 \) 或 \( \alpha \geq 1 \)）时不等式方向为“≥”，落在“中间区间”（\( 0 < \alpha < 1 \)）时方向为“≤”。

伯努利不等式的证明（以整数幂次为例）

整数幂次版本可通过数学归纳法直观证明，实数幂次版本需借助导数（函数单调性）证明，此处重点介绍前者：

1. 基例（n=1）：

左边 \( (1 + x)^1 = 1 + x \)，右边 \( 1 + 1 \cdot x = 1 + x \)，故 \( (1 + x)^1 = 1 + x \)，不等式成立。

2. 归纳假设（n=k时成立）：

假设对任意 \( x > -1 \)，有 \( (1 + x)^k \geq 1 + kx \)（等号当且仅当 \( x = 0 \) 时成立）。

3. 归纳递推（n=k+1时成立）：

左边 \( (1 + x)^{k+1} = (1 + x)^k \cdot (1 + x) \)，结合归纳假设和 \( x > -1 \)（故 \( 1 + x > 0 \)，乘法不改变不等号方向）：

\((1 + x)^k \cdot (1 + x) \geq (1 + kx)(1 + x)\)

展开右边：\( (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx^2 \)。

因 \( kx^2 \geq 0 \)（平方非负，正整数 \( k > 0 \)），故 \( 1 + (k + 1)x + kx^2 \geq 1 + (k + 1)x \)。

综上：\( (1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k + 1)x \)，等号当且仅当 \( x = 0 \) 时成立。

由数学归纳法，整数幂次的伯努利不等式对所有正整数 \( n \) 成立。

伯努利不等式的核心要点

1. 适用前提：必须满足 \( x > -1 \)，否则底数可能非正，导致幂次无意义或不等号方向混乱。

2. 方向判断：整数幂次（\( n \in \mathbb{N}^+ \)）恒为“≥”；实数幂次需看 \( \alpha \)：\( \alpha \leq 0 \) 或 \( \alpha \geq 1 \) 时“≥”，\( 0 < \alpha < 1 \) 时“≤”。

3. 等号条件：统一为 \( x = 0 \) 或 \( \alpha = 0, 1 \)（整数幂次时 \( n = 1 \)）。

4. 应用场景：常用于放缩法（证明不等式、求极限）、数值估计（复利、增长率）、验证等价无穷小，是连接“整数幂”与“实数幂”的桥梁。

例1：已知 \( n = 3 \)（正整数），\( x = 2 \)（满足 \( x > -1 \)），验证伯努利不等式 \( (1 + x)^n \geq 1 + nx \)。

解：左边 \( (1 + 2)^3 = 27 \)，右边 \( 1 + 3 \times 2 = 7 \)，显然 \( 27 \geq 7 \)，不等式成立（\( x \neq 0 \)，故无等号）。

例2：已知 \( \alpha = 0.5 \)（\( 0 < \alpha < 1 \)），\( x = 3 \)（\( x > -1 \)），验证 \( (1 + x)^\alpha \leq 1 + \alpha x \)。

解：左边 \( (1 + 3)^{0.5} = 2 \)，右边 \( 1 + 0.5 \times 3 = 2.5 \)，显然 \( 2 \leq 2.5 \)，不等式成立（\( x \neq 0 \)，故无等号）。

例3：求 \( (1 + x)^4 \geq 1 + 4x \) 的等号成立条件（\( x > -1 \)）。

解：由整数幂次版本，等号当且仅当 \( x = 0 \) 或 \( n = 1 \)（此处 \( n = 4 \neq 1 \)），故等号成立条件为 \( x = 0 \)。

例4：比较 \( 1.02^5 \) 与 \( 1.1 \) 的大小。

解：设 \( x = 0.02 \)（\( x > -1 \)），\( n = 5 \)（正整数），由伯努利不等式：

\( (1 + 0.02)^5 \geq 1 + 5 \times 0.02 = 1.1 \)，等号当且仅当 \( x = 0 \)（不成立），故 \( 1.02^5 > 1.1 \)。

例5：比较 \( (1 - 0.01)^{10} \) 与 \( 0.99 \) 的大小。

解：设 \( x = -0.01 \)（\( x > -1 \)），\( n = 10 \)（正整数），由伯努利不等式：

\( (1 - 0.01)^{10} \geq 1 + 10 \times (-0.01) = 0.9 \)？不对，需直接计算：

左边 \( 0.99^{10} \approx 0.90438 \)，右边 \( 0.99 \)，故 \( 0.99^{10} < 0.99 \)（因 \( x < 0 \)，幂次放大了“减小”的幅度）。

例6：比较 \( \sqrt{1.05} \)（即 \( (1 + 0.05)^{0.5} \)）与 \( 1.025 \) 的大小。

解：设 \( \alpha = 0.5 \)（\( 0 < \alpha < 1 \)），\( x = 0.05 \)（\( x > -1 \)），由实数幂次版本：

\( (1 + 0.05)^{0.5} \leq 1 + 0.5 \times 0.05 = 1.025 \)，等号当且仅当 \( x = 0 \)（不成立），故 \( \sqrt{1.05} < 1.025 \)。

例7：证明：对任意正整数 \( n \geq 2 \)，\( 2^n > n + 1 \)。

解：令 \( x = 1 \)（\( x > -1 \)），由伯努利不等式：\( (1 + 1)^n \geq 1 + n \times 1 = n + 1 \)。

因 \( n \geq 2 \)，\( x = 1 \neq 0 \)，故等号不成立，即 \( 2^n > n + 1 \)。

例8：证明：对任意正整数 \( n \)，\( (1 + \frac{1}{n})^n \geq 2 \)。

解：令 \( x = \frac{1}{n} \)（\( x > -1 \)），由伯努利不等式：

\( (1 + \frac{1}{n})^n \geq 1 + n \times \frac{1}{n} = 2 \)，等号当且仅当 \( x = 0 \)（即 \( n \to \infty \) 不成立），故不等式成立。

例9：证明：对任意 \( x > -1 \) 且 \( x \neq 0 \)，\( (1 + x)^3 > 1 + 3x \)。

解：由整数幂次版本（\( n = 3 \)，\( x > -1 \)），\( (1 + x)^3 \geq 1 + 3x \)，等号当且仅当 \( x = 0 \)。

因 \( x \neq 0 \)，故等号不成立，即 \( (1 + x)^3 > 1 + 3x \)。

例10：证明：对任意 \( \alpha > 1 \) 且 \( x > 0 \)，\( (1 + x)^\alpha > 1 + \alpha x \)。

解：由实数幂次版本（\( \alpha > 1 \)，\( x > 0 > -1 \)），\( (1 + x)^\alpha \geq 1 + \alpha x \)，等号当且仅当 \( x = 0 \)。

因 \( x > 0 \)，故等号不成立，即 \( (1 + x)^\alpha > 1 + \alpha x \)。

例11：证明：对任意正整数 \( n \)，\( 3^n \geq 2n + 1 \)。

解：将 \( 3^n = (2 + 1)^n = [1 + 2]^n \)，令 \( x = 2 \)（\( x > -1 \)），由伯努利不等式：

\( (1 + 2)^n \geq 1 + n \times 2 = 2n + 1 \)，等号当且仅当 \( x = 0 \)（不成立），故 \( 3^n \geq 2n + 1 \)。

例12：证明：对任意 \( x > -1 \)，\( \frac{1}{1 + x} \geq 1 - x \)。

解：注意到 \( \frac{1}{1 + x} = (1 + x)^{-1} \)，令 \( \alpha = -1 \)（\( \alpha \leq 0 \)），由实数幂次版本：

\( (1 + x)^{-1} \geq 1 + (-1)x = 1 - x \)，等号当且仅当 \( x = 0 \)，故不等式成立。

例13：求极限 \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n \)。

解：令 \( x = \frac{2}{n} \)（\( n \to \infty \) 时 \( x \to 0 > -1 \)），由伯努利不等式（\( n \) 为正整数）：

\( (1 + \frac{2}{n})^n \geq 1 + n \times \frac{2}{n} = 3 \)；

同时，\( (1 + \frac{2}{n})^n = \left[ (1 + \frac{2}{n})^{\frac{n}{2}} \right]^2 \)，已知 \( \lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^t = e \)，故 \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^{\frac{n}{2}} = e \)，因此 \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = e^2 \)（伯努利不等式用于验证极限下界，最终需结合重要极限）。

例14：求极限 \( \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^n \)。

解：令 \( x = -\frac{1}{n^2} \)（\( n \geq 1 \) 时 \( x > -1 \)），由伯努利不等式（\( n \) 为正整数）：

\( 1 + n \times (-\frac{1}{n^2}) = 1 - \frac{1}{n} \leq (1 - \frac{1}{n^2})^n \leq 1 \)（因 \( 0 < 1 - \frac{1}{n^2} < 1 \)，幂次 \( n \) 越大，值越接近 1）；

由夹逼准则，\( \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^n = 1 \)。

例15：求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} \)（\( \alpha \in \mathbb{R} \)）。

解：分情况用伯努利不等式放缩：

若 \( \alpha \leq 0 \) 或 \( \alpha \geq 1 \)：\( (1 + x)^\alpha - 1 \geq \alpha x \)，两边除以 \( x \)（\( x > 0 \) 时不等号不变，\( x < 0 \) 时反向，最终取极限）；

若 \( 0 < \alpha < 1 \)：\( (1 + x)^\alpha - 1 \leq \alpha x \)，同理放缩。

结合导数定义或等价无穷小，最终极限为 \( \alpha \)（伯努利不等式用于验证等价无穷小的合理性）。

例16：某银行年利率为 2%，按复利计息，证明：存入 1 元本金，n 年后的本息和 \( (1 + 0.02)^n \geq 1 + 0.02n \)（单利本息和）。

解：令 \( x = 0.02 \)（\( x > -1 \)），\( n \) 为正整数，由伯努利不等式：

\( (1 + 0.02)^n \geq 1 + n \times 0.02 = 1 + 0.02n \)，即复利本息和不低于单利本息和，等号当且仅当 \( n = 1 \)（1 年期时复利与单利相等）。

例17：某公司产值每年增长 5%，估计 10 年后的产值至少是现在的多少倍。

解：设现在产值为 \( A \)，10 年后产值为 \( A(1 + 0.05)^{10} \)。令 \( x = 0.05 \)，\( n = 10 \)，由伯努利不等式：

\( (1 + 0.05)^{10} \geq 1 + 10 \times 0.05 = 1.5 \)，故 10 年后产值至少是现在的 1.5 倍（实际值约为 1.628 倍，伯努利不等式给出保守估计）。

例18：证明：当 \( 0 < x < 1 \) 时，\( \frac{1}{1 - x} > 1 + x + x^2 \)。

解：由伯努利不等式（\( \alpha = -1 \)，\( -x > -1 \) 即 \( x < 1 \)）：

\( \frac{1}{1 - x} = (1 - x)^{-1} \geq 1 + (-1)(-x) = 1 + x \)，但需更强结论。进一步：

\( (1 - x)(1 + x + x^2) = 1 - x^3 < 1 \)（因 \( 0 < x < 1 \)，\( x^3 > 0 \)），两边除以 \( 1 - x > 0 \)，得 \( 1 + x + x^2 < \frac{1}{1 - x} \)（本质是伯努利不等式的延伸，利用“倒数放大”）。

例19：证明：对任意正整数 \( n \geq 1 \)，\( (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} > 4 \)。

解：由伯努利不等式（\( n \) 为正整数，\( x = \frac{1}{n} > -1 \)）：

\( (1 + \frac{1}{n})^n \geq 2 \)（例8结论），故 \( (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = (1 + \frac{1}{n})^n \cdot (1 + \frac{1}{n}) \geq 2 \times (1 + \frac{1}{n}) \)。

当 \( n = 1 \) 时，\( 2 \times 2 = 4 \)；当 \( n \geq 2 \) 时，\( 2 \times (1 + \frac{1}{n}) > 4 \)，故整体 \( (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} > 4 \)（\( n = 1 \) 时等号不成立，因 \( (1 + 1)^2 = 4 \)，需修正：实际 \( n \geq 1 \) 时 \( (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \geq 4 \)，等号当且仅当 \( n = 1 \)）。

例20：证明：对任意实数 \( x > -1 \) 且 \( x \neq 0 \)，\( \ln(1 + x) < x \)。

解：令 \( \alpha = \frac{1}{t} \)（\( t > 0 \)），由伯努利不等式（\( \alpha > 0 \)）：

当 \( t > 1 \) 时，\( (1 + x)^t \geq 1 + tx \)，两边取自然对数（\( \ln x \) 单调递增）：

\( t \ln(1 + x) \geq \ln(1 + tx) \)。令 \( tx = 1 \)（即 \( t = \frac{1}{x} \)，\( x > 0 \)），则 \( \frac{1}{x} \ln(1 + x) \geq \ln 2 \)？更简单的方法：由伯努利不等式 \( (1 + x)^{\frac{1}{x}} < e \)（因 \( \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \)，且 \( x \neq 0 \) 时 \( (1 + x)^{\frac{1}{x}} < e \)），两边取对数得 \( \frac{\ln(1 + x)}{x} < 1 \)，即 \( \ln(1 + x) < x \)（\( x > 0 \)）；当 \( -1 < x < 0 \) 时，同理可证，最终不等式成立。