函数 03 绝对值符号对函数图像的影响

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绝对值符号对函数图像的影响主要体现在对函数值或自变量的“折叠”与“镜像”变换上，具体影响需根据绝对值符号作用的位置（函数整体、自变量或部分表达式）来区分：

一、绝对值作用于函数整体：\( y = |f(x)| \)

核心变换逻辑

非负化处理：将函数 \( f(x) \) 的负值部分沿 \( x \) 轴翻折到上方，正值部分保持不变。

几何意义：相当于把 \( x \) 轴下方的图像“折叠”到上方，保留上方图像的同时镜像对称下方图像。

实例分析：以 \( f(x) = x - 2 \) 为例

1. 原函数图像：一次函数，过点 \( (0, -2) \) 和 \( (2, 0) \)，\( x < 2 \) 时 \( y < 0 \)，\( x \geq 2 \) 时 \( y \geq 0 \)。

2. 绝对值变换后：\( y = |x - 2| \)

当 \( x < 2 \) 时，\( f(x) = x - 2 < 0 \)，翻折后 \( y = 2 - x \)，图像为斜率为 \(-1\) 的射线，过点 \( (2, 0) \) 和 \( (0, 2) \)；

当 \( x \geq 2 \) 时，\( f(x) \geq 0 \)，图像保持 \( y = x - 2 \) 不变。

最终图像：以 \( (2, 0) \) 为顶点的“V”型折线，整体位于 \( x \) 轴及上方。

一般规律：

若 \( f(x) \) 图像与 \( x \) 轴有交点，则交点处为绝对值函数图像的顶点（转折点）。

原函数 \( f(x) < 0 \) 的区间，图像变为其关于 \( x \) 轴的对称图形；\( f(x) \geq 0 \) 的区间，图像不变。

二、绝对值作用于自变量：\( y = f(|x|) \)

核心变换逻辑

偶函数化：利用偶函数性质 \( f(|x|) = f(-x) \)（当 \( x < 0 \) 时），将 \( x \geq 0 \) 的图像沿 \( y \) 轴翻折到 \( x < 0 \) 区域，左侧图像与右侧对称。

几何意义：保留 \( x \geq 0 \) 的图像，删除 \( x < 0 \) 原图像，并用右侧图像的镜像替代。

实例分析：以 \( f(x) = x + 1 \) 为例

1. 原函数图像：一次函数，过点 \( (0, 1) \) 和 \( (-1, 0) \)，在 \( x \) 轴两侧均为直线。

2. 绝对值变换后：\( y = |x| + 1 \)

当 \( x \geq 0 \) 时，\( y = x + 1 \)，图像为斜率为 \( 1 \) 的射线，过点 \( (0, 1) \)；

当 \( x < 0 \) 时，\( |x| = -x \)，故 \( y = -x + 1 \)，图像为斜率为 \(-1\) 的射线，过点 \( (0, 1) \)，与右侧图像关于 \( y \) 轴对称。

最终图像：以 \( (0, 1) \) 为顶点的“V”型折线，左右对称于 \( y \) 轴。

一般规律

函数 \( y = f(|x|) \) 必为偶函数，图像关于 \( y \) 轴对称。

只需先绘制 \( x \geq 0 \) 时的图像，再将其沿 \( y \) 轴翻折到左侧即可得到完整图像。

若原函数 \( f(x) \) 在 \( x < 0 \) 有定义，则变换后左侧图像与原图像无关，完全由右侧图像决定。

三、绝对值作用于函数部分表达式

情形1：\( y = |f(x)| + g(x) \)

影响：仅对 \( f(x) \) 的负值部分翻折，再与 \( g(x) \) 叠加。

实例：\( y = |x| - x \)

当 \( x \geq 0 \) 时，\( |x| = x \)，故 \( y = x - x = 0 \)，图像为 \( x \) 轴上 \( x \geq 0 \) 的射线；

当 \( x < 0 \) 时，\( |x| = -x \)，故 \( y = -x - x = -2x \)，图像为斜率为 \(-2\) 的射线，过原点。

图像特点：右侧与 \( x \) 轴重合，左侧为斜率为 \(-2\) 的直线。

情形2：\( y = f(|x| + a) \)（\( a \) 为常数）

影响：先对自变量进行平移，再做绝对值变换。

实例：\( y = (|x| - 1)^2 \)

当 \( x \geq 0 \) 时，\( y = (x - 1)^2 \)，图像为顶点在 \( (1, 0) \) 的抛物线右半部分；

当 \( x < 0 \) 时，\( y = (-x - 1)^2 = (x + 1)^2 \)，图像为顶点在 \( (-1, 0) \) 的抛物线左半部分，整体关于 \( y \) 轴对称。

图像特点：W型抛物线，关于 \( y \) 轴对称，顶点为 \( (1, 0) \) 和 \( (-1, 0) \)。

四、复合绝对值函数的图像分析

实例：\( y = ||x| - 1| \)

1. 分步变换：

先绘制 \( y = |x| - 1 \)：顶点在 \( (0, -1) \) 的“V”型折线，\( x \geq 0 \) 时为 \( y = x - 1 \)，\( x < 0 \) 时为 \( y = -x - 1 \)，图像在 \( x \) 轴下方有一段（\(|x| < 1\) 时，\( y < 0 \)）。

再对整体取绝对值：将 \( y < 0 \) 的部分（\(|x| < 1\)）沿 \( x \) 轴翻折到上方，得到 \( y = 1 - |x| \)（\(|x| < 1\) 时），\(|x| \geq 1\) 时图像保持 \( y = |x| - 1 \) 不变。

2. 最终图像：

\( |x| < 1 \) 时，图像为顶点在 \( (0, 1) \) 的倒“V”型；

\( |x| \geq 1 \) 时，图像为斜率为 \( \pm 1 \) 的射线，整体呈“W”型，关于 \( y \) 轴对称。

五、绝对值函数图像的关键分析步骤

1. 确定绝对值位置：判断是作用于函数整体、自变量还是部分表达式。

2. 分段去绝对值：根据绝对值内表达式的正负性，将函数拆分为分段函数。

3. 绘制分段图像：

若 \( y = |f(x)| \)，先画 \( f(x) \)，再翻折下方部分；

若 \( y = f(|x|) \)，先画 \( x \geq 0 \) 的图像，再对称到左侧；

复合情形需分步变换，先处理内层绝对值，再处理外层。

4. 检查对称性与关键点：如顶点坐标、与坐标轴交点、单调性变化等。

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