函数 03 函数\( f(x) \)的对称轴为\( x = a \)

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已知函数\( f(x) \)的对称轴为\( x = a \)时，求\( f(x - 3) \)和\( f(3x - 1) \)的对称轴

结合函数图像的平移与伸缩变换规律分析

一、函数对称轴的核心性质

函数\( f(x) \)的对称轴为\( x = a \)，意味着对于任意\( t \)，都满足：\( f(a + t) = f(a - t) \)

即对称轴两侧对称位置的函数值相等。

二、求\( f(x - 3) \)的对称轴

\( f(x - 3) \)是\( f(x) \)经过水平平移得到的函数：

函数\( f(x) \to f(x - 3) \)，图像向右平移了3个单位（“左加右减”原则，括号内减3，向右平移）。

原函数\( f(x) \)的对称轴为\( x = a \)，向右平移3个单位后，对称轴也随之向右平移3个单位。

因此，\( f(x - 3) \)的对称轴为：\( x = a + 3 \)

三、求\( f(3x - 1) \)的对称轴

\( f(3x - 1) \)可改写为\( f\left[3\left(x - \frac{1}{3}\right)\right] \)，是\( f(x) \)经过水平伸缩+平移得到的函数：

1. 先对\( f(x) \)进行水平伸缩：\( f(x) \to f(3x) \)，图像沿x轴压缩为原来的\( \frac{1}{3} \)（伸缩系数为\( \frac{1}{3} \)）。

原对称轴\( x = a \)压缩后变为\( x = \frac{a}{3} \)。

2. 再对\( f(3x) \)进行水平平移：\( f(3x) \to f\left[3\left(x - \frac{1}{3}\right)\right] \)，图像向右平移\( \frac{1}{3} \)个单位。

伸缩后的对称轴\( x = \frac{a}{3} \)向右平移\( \frac{1}{3} \)个单位后，变为\( x = \frac{a}{3} + \frac{1}{3} = \frac{a + 1}{3} \)。

答案总结

\( f(x - 3) \)的对称轴为：\(\boxed{x = a + 3}\)

\( f(3x - 1) \)的对称轴为：\(\boxed{x = \dfrac{a + 1}{3}}\)

已知\( f(2x + 3) \)的对称轴为\( x = a \)，要求\( f(x) \)、\( f(x - 3) \)、\( f(3x - 1) \)的对称轴

通过函数图像的逆变换（从复合函数推导原函数）和正变换（从原函数推导其他复合函数）分析，核心是利用“对称轴处函数值关于对称轴对称”的性质。

一、求\( f(x) \)的对称轴

函数\( f(2x + 3) \)可看作\( f(t) \)与\( t = 2x + 3 \)的复合函数，需通过逆变换推导\( f(x) \)的对称轴：

1. 已知\( f(2x + 3) \)的对称轴为\( x = a \)，根据对称轴性质，对任意\( t \)，有：

\( f[2(a + t) + 3] = f[2(a - t) + 3] \)，即\( f(2a + 2t + 3) = f(2a - 2t + 3) \)。

2. 令\( u = 2a + 3 \)，则上式可写为\( f(u + 2t) = f(u - 2t) \)，这符合\( f(x) \)关于\( x = u \)对称的定义（即\( f(u + k) = f(u - k) \)对任意\( k \)成立）。

因此，\( f(x) \)的对称轴为\( x = 2a + 3 \)。

二、求\( f(x - 3) \)的对称轴

\( f(x - 3) \)是\( f(x) \)经过水平平移得到的函数：

函数\( f(x) \to f(x - 3) \)，图像向右平移3个单位（“左加右减”原则）。

原函数\( f(x) \)的对称轴为\( x = 2a + 3 \)，向右平移3个单位后，对称轴随之平移。

因此，\( f(x - 3) \)的对称轴为：\( x = (2a + 3) + 3 = 2a + 6 \)。

三、求\( f(3x - 1) \)的对称轴

\( f(3x - 1) \)可改写为\( f\left[3\left(x - \frac{1}{3}\right)\right] \)，是\( f(x) \)经过水平伸缩+平移得到的函数：

1. 先对\( f(x) \)进行水平伸缩：\( f(x) \to f(3x) \)，图像沿x轴压缩为原来的\( \frac{1}{3} \)（伸缩系数为\( \frac{1}{3} \)）。

原对称轴\( x = 2a + 3 \)压缩后变为\( x = \frac{2a + 3}{3} \)。

2. 再对\( f(3x) \)进行水平平移：\( f(3x) \to f\left[3\left(x - \frac{1}{3}\right)\right] \)，图像向右平移\( \frac{1}{3} \)个单位。

伸缩后的对称轴\( x = \frac{2a + 3}{3} \)向右平移\( \frac{1}{3} \)个单位后，变为：\( x = \frac{2a + 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2a + 4}{3} \)。

答案总结

\( f(x) \)的对称轴为：\(\boxed{x = 2a + 3}\)

\( f(x - 3) \)的对称轴为：\(\boxed{x = 2a + 6}\)

\( f(3x - 1) \)的对称轴为：\(\boxed{x = \dfrac{2a + 4}{3}}\)

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