不等式 02 绝对值不等式的解法

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、绝对值的定义及性质回顾

1. 定义：对于实数\(x\)，绝对值\(\vert x\vert\)定义为\(\vert x\vert=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x, & x<0\end{cases}\)。例如，\(\vert 5\vert = 5\)，\(\vert -3\vert = 3\)。

2. 性质：

\(\vert a\vert \geq 0\)，即绝对值是非负的。

\(\vert ab\vert=\vert a\vert\vert b\vert\)，例如\(\vert 2\times(-3)\vert=\vert 2\vert\vert -3\vert = 6\)。

\(\left\vert \frac{a}{b}\right\vert=\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}(b\neq0)\)，比如\(\left\vert \frac{4}{-2}\right\vert=\frac{\vert 4\vert}{\vert -2\vert}=2\)。

二、常见类型的绝对值不等式及解法

（一）形如\(\vert x\vert < a\)（\(a > 0\)）和\(\vert x\vert > a\)（\(a > 0\)）的不等式

1. \(\vert x\vert < a\)（\(a > 0\)）的解法：

根据绝对值的定义，\(\vert x\vert < a\)等价于\(-a < x < a\)。例如，对于不等式\(\vert x\vert < 3\)，其解集就是\(-3 < x < 3\)。

2. \(\vert x\vert > a\)（\(a > 0\)）的解法：

\(\vert x\vert > a\)等价于\(x > a\)或\(x < -a\)。例如，对于不等式\(\vert x\vert > 2\)，其解集为\(x > 2\)或\(x < -2\)。

（二）形如\(\vert ax + b\vert < c\)（\(c > 0\)）和\(\vert ax + b\vert > c\)（\(c > 0\)）的不等式

1. \(\vert ax + b\vert < c\)（\(c > 0\)）的解法：

同样依据绝对值的定义，它等价于\(-c < ax + b < c\)，然后通过解这个不等式组来求解集。具体步骤如下：

先解\(-c < ax + b\)，移项可得\(ax > -c - b\)。

再解\(ax + b < c\)，移项得\(ax < c - b\)。

当\(a > 0\)时，不等式组的解集为\(\frac{-c - b}{a} < x < \frac{c - b}{a}\)；当\(a < 0\)时，不等号方向要改变，解集为\(\frac{c - b}{a} < x < \frac{-c - b}{a}\)。

例如，对于不等式\(\vert 2x - 1\vert < 3\)，等价于\(-3 < 2x - 1 < 3\)。解\(-3 < 2x - 1\)得\(2x > -2\)，即\(x > -1\)；解\(2x - 1 < 3\)得\(2x < 4\)，即\(x < 2\)，所以该不等式的解集为\(-1 < x < 2\)。

2. \(\vert ax + b\vert > c\)（\(c > 0\)）的解法：

它等价于\(ax + b > c\)或\(ax + b < -c\)，然后分别求解这两个不等式。

对于\(ax + b > c\)，移项得\(ax > c - b\)。

对于\(ax + b < -c\)，移项得\(ax < -c - b\)。

当\(a > 0\)时，解集为\(x > \frac{c - b}{a}\)或\(x < \frac{-c - b}{a}\)；当\(a < 0\)时，不等号方向改变，解集为\(x < \frac{c - b}{a}\)或\(x > \frac{-c - b}{a}\)。

例如，对于不等式\(\vert 3x + 2\vert > 4\)，等价于\(3x + 2 > 4\)或\(3x + 2 < -4\)。解\(3x + 2 > 4\)得\(3x > 2\)，即\(x > \frac{2}{3}\)；解\(3x + 2 < -4\)得\(3x < -6\)，即\(x < -2\)，所以该不等式的解集为\(x > \frac{2}{3}\)或\(x < -2\)。

（三）形如\(\vert \vert x\vert - \vert y\vert \vert \leq \vert x \pm y\vert \leq \vert x\vert + \vert y\vert\)的不等式（绝对值不等式的三角不等式）

1. \(\vert \vert x\vert - \vert y\vert \vert \leq \vert x + y\vert\)的应用与解法示例：

通常用于对含有绝对值的式子进行放缩估计或求解一些较为复杂的绝对值不等式。例如，已知\(\vert x\vert = 3\)，\(\vert y\vert = 2\)，要证明\(\vert x + y\vert \leq 5\)。

根据\(\vert \vert x\vert - \vert y\vert \vert \leq \vert x + y\vert \leq \vert x\vert + \vert y\vert\)，可得\(\vert x + y\vert \leq \vert x\vert + \vert y\vert = 3 + 2 = 5\)。

2. \(\vert x + y\vert \leq \vert x\vert + \vert y\vert\)的应用与解法示例：

例如，求解不等式\(\vert x - 1\vert + \vert x + 2\vert \geq 5\)。

思路是根据绝对值内式子的零点将数轴分段讨论：

令\(x - 1 = 0\)，得\(x = 1\)；令\(x + 2 = 0\)，得\(x = -2\)。

分三种情况讨论：

当\(x \leq -2\)时，原不等式变为\(-(x - 1) - (x + 2) \geq 5\)，即\(-x + 1 - x - 2 \geq 5\)，化简得\(-2x - 1 \geq 5\)，移项得\(-2x \geq 6\)，解得\(x \leq -3\)，结合前提\(x \leq -2\)，此时解集为\(x \leq -3\)。

当\(-2 < x < 1\)时，原不等式变为\(-(x - 1) + (x + 2) \geq 5\)，即\(-x + 1 + x + 2 \geq 5\)，\(3 \geq 5\)，此不等式不成立，所以在这个区间内无解。

当\(x \geq 1\)时，原不等式变为\((x - 1) + (x + 2) \geq 5\)，即\(x - 1 + x + 2 \geq 5\)，化简得\(2x + 1 \geq 5\)，移项得\(2x \geq 4\)，解得\(x \geq 2\)，结合前提\(x \geq 1\)，此时解集为\(x \geq 2\)。

综上，不等式\(\vert x - 1\vert + \vert x + 2\vert \geq 5\)的解集为\(x \leq -3\)或\(x \geq 2\)。

解绝对值不等式的口诀“大于取两边，小于取中间”

大于取两边：对于不等式\(\vert ax + b\vert\gt c\)（\(c\gt0\)），其解为\(ax + b\gt c\)或\(ax + b\lt -c\)。例如，解不等式\(\vert x - 3\vert\gt 5\)，则\(x - 3\gt 5\)或\(x - 3\lt -5\)，解得\(x\gt 8\)或\(x\lt -2\).

小于取中间：对于不等式\(\vert ax + b\vert\lt c\)（\(c\gt0\)），其解为\(-c\lt ax + b\lt c\)。例如，解不等式\(\vert 2x + 1\vert\lt 3\)，则\(-3\lt 2x + 1\lt 3\)，先对不等式进行移项可得\(-4\lt 2x\lt 2\)，再两边同时除以\(2\)，解得\(-2\lt x\lt 1\).