不等式 02 无理不等式的解法

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1. 无理不等式的定义（仅讨论二次根式的情况）

无理不等式是指根号下含有变量的不等式。

例如 $\sqrt{f(x)}>g(x)$ 、 $\sqrt{f(x)}<g(x)$ 、 $\sqrt{f(x)}\geq g(x)$ 、 $\sqrt{f(x)}\leq g(x)$ 这几种常见的形式。

其中 $f(x)$ 、 $g(x)$ 是关于 $x$ 的函数或常数。

2. $\sqrt{f(x)}>g(x)$ 型不等式的解法

步骤一：确定定义域

首先要保证根号下的式子有意义，即 $f(x)\geq0$ 。

步骤二：分类讨论求解

当 $g(x)<0$ 时，只要 $f(x)\geq0$ ，不等式 $\sqrt{f(x)}>g(x)$ 恒成立。

当 $g(x)\geq0$ 时，两边同时平方（因为两边都是非负数），得到 $f(x)>g^{2}(x)$ ，然后求解这个不等式，最后取与定义域的交集。

示例：解不等式 $\sqrt{x - 1}>x - 3$ 。

定义域： $x - 1\geq0$ ，即 $x\geq1$ 。

当 $x - 3<0$ ，即 $x<3$ 时，因为 $x\geq1$ ，所以 $1\leq x<3$ 时不等式恒成立。

当 $x - 3\geq0$ ，即 $x\geq3$ 时，两边平方得 $x - 1>(x - 3)^{2}$ ，展开得 $x - 1>x^{2}-6x + 9$ ，移项化为标准二次不等式形式 $x^{2}-7x + 10<0$ ，因式分解为 $(x - 2)(x - 5)<0$ ，解得 $2<x<5$ 。结合 $x\geq3$ ，得到 $3\leq x<5$ 。

综上，不等式的解集为 $[1,5)$ 。

3. $\sqrt{f(x)}<g(x)$ 型不等式的解法

步骤一：确定定义域

保证 $f(x)\geq0$ 。

步骤二：两边同时平方求解（因为两边都是非负）

得到 $f(x)<g^{2}(x)$ ，求解这个不等式，最后取与定义域的交集。

示例：解不等式 $\sqrt{2x + 3}<x + 1$ 。

定义域： $2x+3\geq0$ ，解得 $x\geq-\frac{3}{2}$ 。

两边平方得 $2x + 3<(x + 1)^{2}$ ，展开得 $2x+3<x^{2}+2x + 1$ ，移项得 $x^{2}-2>0$ ，解得 $x>\sqrt{2}$ 或 $x<-\sqrt{2}$ 。

结合定义域，不等式的解集为 $[\sqrt{2},+\infty)$ 。

4. $\sqrt{f(x)}\geq g(x)$ 型不等式的解法

步骤一：确定定义域

使 $f(x)\geq0$ 。

步骤二：分类讨论求解

当 $g(x)<0$ 时，只要 $f(x)\geq0$ ，不等式 $\sqrt{f(x)}\geq g(x)$ 恒成立。

当 $g(x)\geq0$ 时，两边同时平方得到 $f(x)\geq g^{2}(x)$ ，求解后取与定义域的交集。

示例：解不等式 $\sqrt{3x - 2}\geq x - 1$ 。

定义域： $3x - 2\geq0$ ，解得 $x\geq\frac{2}{3}$ 。

当 $x - 1<0$ ，即 $x<1$ 时，因为 $x\geq\frac{2}{3}$ ，所以 $\frac{2}{3}\leq x<1$ 时不等式恒成立。

当 $x - 1\geq0$ ，即 $x\geq1$ 时，两边平方得 $3x - 2\geq(x - 1)^{2}$ ，展开得 $3x - 2\geq x^{2}-2x + 1$ ，移项化为 $x^{2}-5x + 3\leq0$ 。

对于二次方程 $x^{2}-5x + 3 = 0$ ，求根公式 $x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$ ，解得 $1\leq x\leq\frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ 。

综上，不等式的解集为 $[\frac{2}{3},\frac{5+\sqrt{13}}{2}]$ 。

5. $\sqrt{f(x)}\leq g(x)$ 型不等式的解法

步骤一：确定定义域

保证 $f(x)\geq0$ 。

步骤二：两边同时平方求解（因为两边都是非负）

得到 $f(x)\leq g^{2}(x)$ ，求解这个不等式，最后取与定义域的交集。

示例：解不等式 $\sqrt{x^{2}-1}\leq x$ 。

定义域： $x^{2}-1\geq0$ ，解得 $x\geq1$ 或 $x\leq - 1$ 。

两边平方得 $x^{2}-1\leq x^{2}$ ，此式恒成立，但要结合定义域，所以不等式的解集为 $[1,+\infty)$ 。

无理不等式的解法实例

1. $\sqrt{f(x)} > a$ 型（ $a \geq0$ ）

解法：

首先要保证 $f(x)\geq0$ ，然后两边同时平方，得到 $f(x)>a^{2}$ ，最后求这两个不等式解集的交集。

例1：解不等式 $\sqrt{x - 1}>2$ 。

解：先考虑 $x - 1\geq0$ ，即 $x\geq1$ 。两边平方得 $x - 1>4$ ，解得 $x > 5$ 。所以不等式的解集为 $x > 5$ 。

例2：解不等式 $\sqrt{3x + 2}\geq1$ 。

解：先有 $3x + 2\geq0$ ，解得 $x\geq - \frac{2}{3}$ 。两边平方得 $3x + 2\geq1$ ，即 $3x\geq - 1$ ，解得 $x\geq - \frac{1}{3}$ 。取交集得不等式的解集为 $x\geq - \frac{1}{3}$ 。

2. $\sqrt{f(x)} < a$ 型（ $a>0$ ）

解法：

保证 $f(x)\geq0$ ，两边同时平方得到 $f(x)<a^{2}$ ，求两个不等式解集的交集。

例1：解不等式 $\sqrt{x + 3}<2$ 。

解：首先 $x + 3\geq0$ ，解得 $x\geq - 3$ 。两边平方得 $x + 3<4$ ，解得 $x < 1$ 。所以不等式的解集为 $-3\leq x < 1$ 。

例2：解不等式 $\sqrt{2x - 1}<3$ 。

解：由 $2x - 1\geq0$ 得 $x\geq\frac{1}{2}$ 。两边平方得 $2x - 1<9$ ，即 $2x < 10$ ，解得 $x < 5$ 。所以解集为 $\frac{1}{2}\leq x < 5$ 。

3. $\sqrt{f(x)}\geq\sqrt{g(x)}$ 型

解法：

要保证 $f(x)\geq0$ 且 $g(x)\geq0$ ，然后两边同时平方得到 $f(x)\geq g(x)$ ，求三个不等式解集的交集。

例1：解不等式 $\sqrt{x + 5}\geq\sqrt{x - 1}$ 。

解：先满足 $x + 5\geq0$ ，即 $x\geq - 5$ ，且 $x - 1\geq0$ ，即 $x\geq1$ 。两边平方得 $x + 5\geq x - 1$ ，此式恒成立。所以不等式的解集为 $x\geq1$ 。

例2：解不等式 $\sqrt{3x - 2}\geq\sqrt{x + 4}$ 。

解：由 $3x - 2\geq0$ 得 $x\geq\frac{2}{3}$ ，由 $x + 4\geq0$ 得 $x\geq - 4$ 。两边平方得 $3x - 2\geq x + 4$ ，即 $2x\geq6$ ，解得 $x\geq3$ 。所以解集为 $x\geq3$ 。

4. $\sqrt{f(x)}\leq\sqrt{g(x)}$ 型

解法：

保证 $f(x)\geq0$ 且 $g(x)\geq0$ ，两边同时平方得 $f(x)\leq g(x)$ ，求三个不等式解集的交集。

例1：解不等式 $\sqrt{x - 2}\leq\sqrt{3x + 4}$ 。

解：先有 $x - 2\geq0$ ，解得 $x\geq2$ ，且 $3x + 4\geq0$ ，解得 $x\geq - \frac{4}{3}$ 。两边平方得 $x - 2\leq3x + 4$ ，即 $-2x\leq6$ ，解得 $x\geq - 3$ 。所以不等式的解集为 $x\geq2$ 。

例2：解不等式 $\sqrt{2 - x}\leq\sqrt{4 - 3x}$ 。

解：由 $2 - x\geq0$ 得 $x\leq2$ ，由 $4 - 3x\geq0$ 得 $x\leq\frac{4}{3}$ 。两边平方得 $2 - x\leq4 - 3x$ ，即 $2x\leq2$ ，解得 $x\leq1$ 。所以不等式的解集为 $x\leq1$ 。

5. $\sqrt{f(x)}>g(x)$ 型（ $g(x)$ 不是常数）

解法：

分两种情况讨论。情况一：当 $g(x)<0$ 且 $f(x)\geq0$ 时，不等式成立；情况二：当 $g(x)\geq0$ 时，两边同时平方得 $f(x)>g(x)^{2}$ ，再结合 $f(x)\geq0$ 求解，最后将两种情况的解集合并。

例1：解不等式 $\sqrt{x + 1}>x - 1$ 。

解：情况一：当 $x - 1<0$ 即 $x < 1$ ，且 $x + 1\geq0$ 即 $x\geq - 1$ 时，不等式成立，此时 $-1\leq x < 1$ 。情况二：当 $x - 1\geq0$ 即 $x\geq1$ 时，两边平方得 $x + 1>(x - 1)^{2}$ ，展开得 $x + 1>x^{2}-2x + 1$ ，移项得 $x^{2}-3x < 0$ ，即 $x(x - 3)<0$ ，解得 $0 < x < 3$ 。结合 $x\geq1$ 得 $1\leq x < 3$ 。将两种情况合并，不等式的解集为 $[-1,3)$ 。

例2：解不等式 $\sqrt{2x - 3}>x - 2$ 。

解：情况一：当 $x - 2<0$ 即 $x < 2$ ，且 $2x - 3\geq0$ 即 $x\geq\frac{3}{2}$ 时，不等式成立，此时 $\frac{3}{2}\leq x < 2$ 。情况二：当 $x - 2\geq0$ 即 $x\geq2$ 时，两边平方得 $2x - 3>(x - 2)^{2}$ ，展开得 $2x - 3>x^{2}-4x + 4$ ，移项得 $x^{2}-6x + 7 < 0$ 。对于 $x^{2}-6x + 7 = 0$ ， $\Delta=(-6)^{2}-4\times7 = 8$ ，解得 $x = 3\pm\sqrt{2}$ 。所以不等式的解为 $2\leq x < 3 +\sqrt{2}$ 。将两种情况合并，不等式的解集为 $[\frac{3}{2},3 +\sqrt{2})$ 。

6. $\sqrt{f(x)}<g(x)$ 型（ $g(x)$ 不是常数）

解法：

首先要保证 $f(x)\geq0$ ，然后分情况讨论。当 $g(x)\leq0$ 时，不等式无解；当 $g(x)>0$ 时，两边同时平方得 $f(x)<g(x)^{2}$ ，再求解，最后得到不等式的解集。

例1：解不等式 $\sqrt{x^{2}-1}<x$ 。

解：首先 $x^{2}-1\geq0$ ，解得 $x\geq1$ 或 $x\leq - 1$ 。当 $x\leq0$ 时，不等式无解。当 $x > 0$ 时，两边平方得 $x^{2}-1 < x^{2}$ ，此式恒成立。所以不等式的解集为 $x\geq1$ 。

例2：解不等式 $\sqrt{3x + 1}<2x - 1$ 。

解：由 $3x + 1\geq0$ 得 $x\geq - \frac{1}{3}$ 。当 $2x - 1\leq0$ 即 $x\leq\frac{1}{2}$ 时，不等式无解。当 $x >\frac{1}{2}$ 时，两边平方得 $3x + 1<(2x - 1)^{2}$ ，展开得 $3x + 1<4x^{2}-4x + 1$ ，移项得 $4x^{2}-7x > 0$ ，即 $x(4x - 7)>0$ ，解得 $x >\frac{7}{4}$ 或 $x < 0$ 。结合 $x >\frac{1}{2}$ ，不等式的解集为 $x >\frac{7}{4}$ 。