不等式 02 无理不等式的解法

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1. 无理不等式的定义（仅讨论二次根式的情况）

无理不等式是指根号下含有变量的不等式。

例如\(\sqrt{f(x)}>g(x)\)、\(\sqrt{f(x)}<g(x)\)、\(\sqrt{f(x)}\geq g(x)\)、\(\sqrt{f(x)}\leq g(x)\)这几种常见的形式。

其中\(f(x)\)、\(g(x)\)是关于\(x\)的函数或常数。

2. \(\sqrt{f(x)}>g(x)\)型不等式的解法

步骤一：确定定义域

首先要保证根号下的式子有意义，即\(f(x)\geq0\)。

步骤二：分类讨论求解

当\(g(x)<0\)时，只要\(f(x)\geq0\)，不等式\(\sqrt{f(x)}>g(x)\)恒成立。

当\(g(x)\geq0\)时，两边同时平方（因为两边都是非负数），得到\(f(x)>g^{2}(x)\)，然后求解这个不等式，最后取与定义域的交集。

示例：解不等式\(\sqrt{x - 1}>x - 3\)。

定义域：\(x - 1\geq0\)，即\(x\geq1\)。

当\(x - 3<0\)，即\(x<3\)时，因为\(x\geq1\)，所以\(1\leq x<3\)时不等式恒成立。

当\(x - 3\geq0\)，即\(x\geq3\)时，两边平方得\(x - 1>(x - 3)^{2}\)，展开得\(x - 1>x^{2}-6x + 9\)，移项化为标准二次不等式形式\(x^{2}-7x + 10<0\)，因式分解为\((x - 2)(x - 5)<0\)，解得\(2<x<5\)。结合\(x\geq3\)，得到\(3\leq x<5\)。

综上，不等式的解集为\([1,5)\)。

3. \(\sqrt{f(x)}<g(x)\)型不等式的解法

步骤一：确定定义域

保证\(f(x)\geq0\)。

步骤二：两边同时平方求解（因为两边都是非负）

得到\(f(x)<g^{2}(x)\)，求解这个不等式，最后取与定义域的交集。

示例：解不等式\(\sqrt{2x + 3}<x + 1\)。

定义域：\(2x+3\geq0\)，解得\(x\geq-\frac{3}{2}\)。

两边平方得\(2x + 3<(x + 1)^{2}\)，展开得\(2x+3<x^{2}+2x + 1\)，移项得\(x^{2}-2>0\)，解得\(x>\sqrt{2}\)或\(x<-\sqrt{2}\)。

结合定义域，不等式的解集为\([\sqrt{2},+\infty)\)。

4. \(\sqrt{f(x)}\geq g(x)\)型不等式的解法

步骤一：确定定义域

使\(f(x)\geq0\)。

步骤二：分类讨论求解

当\(g(x)<0\)时，只要\(f(x)\geq0\)，不等式\(\sqrt{f(x)}\geq g(x)\)恒成立。

当\(g(x)\geq0\)时，两边同时平方得到\(f(x)\geq g^{2}(x)\)，求解后取与定义域的交集。

示例：解不等式\(\sqrt{3x - 2}\geq x - 1\)。

定义域：\(3x - 2\geq0\)，解得\(x\geq\frac{2}{3}\)。

当\(x - 1<0\)，即\(x<1\)时，因为\(x\geq\frac{2}{3}\)，所以\(\frac{2}{3}\leq x<1\)时不等式恒成立。

当\(x - 1\geq0\)，即\(x\geq1\)时，两边平方得\(3x - 2\geq(x - 1)^{2}\)，展开得\(3x - 2\geq x^{2}-2x + 1\)，移项化为\(x^{2}-5x + 3\leq0\)。

对于二次方程\(x^{2}-5x + 3 = 0\)，求根公式\(x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}\)，解得\(1\leq x\leq\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\)。

综上，不等式的解集为\([\frac{2}{3},\frac{5+\sqrt{13}}{2}]\)。

5. \(\sqrt{f(x)}\leq g(x)\)型不等式的解法

步骤一：确定定义域

保证\(f(x)\geq0\)。

步骤二：两边同时平方求解（因为两边都是非负）

得到\(f(x)\leq g^{2}(x)\)，求解这个不等式，最后取与定义域的交集。

示例：解不等式\(\sqrt{x^{2}-1}\leq x\)。

定义域：\(x^{2}-1\geq0\)，解得\(x\geq1\)或\(x\leq - 1\)。

两边平方得\(x^{2}-1\leq x^{2}\)，此式恒成立，但要结合定义域，所以不等式的解集为\([1,+\infty)\)。

无理不等式的解法实例

1. \(\sqrt{f(x)} > a\)型（\(a \geq0\)）

解法：

首先要保证\(f(x)\geq0\)，然后两边同时平方，得到\(f(x)>a^{2}\)，最后求这两个不等式解集的交集。

例1：解不等式\(\sqrt{x - 1}>2\)。

解：先考虑\(x - 1\geq0\)，即\(x\geq1\)。两边平方得\(x - 1>4\)，解得\(x > 5\)。所以不等式的解集为\(x > 5\)。

例2：解不等式\(\sqrt{3x + 2}\geq1\)。

解：先有\(3x + 2\geq0\)，解得\(x\geq - \frac{2}{3}\)。两边平方得\(3x + 2\geq1\)，即\(3x\geq - 1\)，解得\(x\geq - \frac{1}{3}\)。取交集得不等式的解集为\(x\geq - \frac{1}{3}\)。

2. \(\sqrt{f(x)} < a\)型（\(a>0\)）

解法：

保证\(f(x)\geq0\)，两边同时平方得到\(f(x)<a^{2}\)，求两个不等式解集的交集。

例1：解不等式\(\sqrt{x + 3}<2\)。

解：首先\(x + 3\geq0\)，解得\(x\geq - 3\)。两边平方得\(x + 3<4\)，解得\(x < 1\)。所以不等式的解集为\(-3\leq x < 1\)。

例2：解不等式\(\sqrt{2x - 1}<3\)。

解：由\(2x - 1\geq0\)得\(x\geq\frac{1}{2}\)。两边平方得\(2x - 1<9\)，即\(2x < 10\)，解得\(x < 5\)。所以解集为\(\frac{1}{2}\leq x < 5\)。

3. \(\sqrt{f(x)}\geq\sqrt{g(x)}\)型

解法：

要保证\(f(x)\geq0\)且\(g(x)\geq0\)，然后两边同时平方得到\(f(x)\geq g(x)\)，求三个不等式解集的交集。

例1：解不等式\(\sqrt{x + 5}\geq\sqrt{x - 1}\)。

解：先满足\(x + 5\geq0\)，即\(x\geq - 5\)，且\(x - 1\geq0\)，即\(x\geq1\)。两边平方得\(x + 5\geq x - 1\)，此式恒成立。所以不等式的解集为\(x\geq1\)。

例2：解不等式\(\sqrt{3x - 2}\geq\sqrt{x + 4}\)。

解：由\(3x - 2\geq0\)得\(x\geq\frac{2}{3}\)，由\(x + 4\geq0\)得\(x\geq - 4\)。两边平方得\(3x - 2\geq x + 4\)，即\(2x\geq6\)，解得\(x\geq3\)。所以解集为\(x\geq3\)。

4. \(\sqrt{f(x)}\leq\sqrt{g(x)}\)型

解法：

保证\(f(x)\geq0\)且\(g(x)\geq0\)，两边同时平方得\(f(x)\leq g(x)\)，求三个不等式解集的交集。

例1：解不等式\(\sqrt{x - 2}\leq\sqrt{3x + 4}\)。

解：先有\(x - 2\geq0\)，解得\(x\geq2\)，且\(3x + 4\geq0\)，解得\(x\geq - \frac{4}{3}\)。两边平方得\(x - 2\leq3x + 4\)，即\(-2x\leq6\)，解得\(x\geq - 3\)。所以不等式的解集为\(x\geq2\)。

例2：解不等式\(\sqrt{2 - x}\leq\sqrt{4 - 3x}\)。

解：由\(2 - x\geq0\)得\(x\leq2\)，由\(4 - 3x\geq0\)得\(x\leq\frac{4}{3}\)。两边平方得\(2 - x\leq4 - 3x\)，即\(2x\leq2\)，解得\(x\leq1\)。所以不等式的解集为\(x\leq1\)。

5. \(\sqrt{f(x)}>g(x)\)型（\(g(x)\)不是常数）

解法：

分两种情况讨论。情况一：当\(g(x)<0\)且\(f(x)\geq0\)时，不等式成立；情况二：当\(g(x)\geq0\)时，两边同时平方得\(f(x)>g(x)^{2}\)，再结合\(f(x)\geq0\)求解，最后将两种情况的解集合并。

例1：解不等式\(\sqrt{x + 1}>x - 1\)。

解：情况一：当\(x - 1<0\)即\(x < 1\)，且\(x + 1\geq0\)即\(x\geq - 1\)时，不等式成立，此时\(-1\leq x < 1\)。情况二：当\(x - 1\geq0\)即\(x\geq1\)时，两边平方得\(x + 1>(x - 1)^{2}\)，展开得\(x + 1>x^{2}-2x + 1\)，移项得\(x^{2}-3x < 0\)，即\(x(x - 3)<0\)，解得\(0 < x < 3\)。结合\(x\geq1\)得\(1\leq x < 3\)。将两种情况合并，不等式的解集为\([-1,3)\)。

例2：解不等式\(\sqrt{2x - 3}>x - 2\)。

解：情况一：当\(x - 2<0\)即\(x < 2\)，且\(2x - 3\geq0\)即\(x\geq\frac{3}{2}\)时，不等式成立，此时\(\frac{3}{2}\leq x < 2\)。情况二：当\(x - 2\geq0\)即\(x\geq2\)时，两边平方得\(2x - 3>(x - 2)^{2}\)，展开得\(2x - 3>x^{2}-4x + 4\)，移项得\(x^{2}-6x + 7 < 0\)。对于\(x^{2}-6x + 7 = 0\)，\(\Delta=(-6)^{2}-4\times7 = 8\)，解得\(x = 3\pm\sqrt{2}\)。所以不等式的解为\(2\leq x < 3 +\sqrt{2}\)。将两种情况合并，不等式的解集为\([\frac{3}{2},3 +\sqrt{2})\)。

6. \(\sqrt{f(x)}<g(x)\)型（\(g(x)\)不是常数）

解法：

首先要保证\(f(x)\geq0\)，然后分情况讨论。当\(g(x)\leq0\)时，不等式无解；当\(g(x)>0\)时，两边同时平方得\(f(x)<g(x)^{2}\)，再求解，最后得到不等式的解集。

例1：解不等式\(\sqrt{x^{2}-1}<x\)。

解：首先\(x^{2}-1\geq0\)，解得\(x\geq1\)或\(x\leq - 1\)。当\(x\leq0\)时，不等式无解。当\(x > 0\)时，两边平方得\(x^{2}-1 < x^{2}\)，此式恒成立。所以不等式的解集为\(x\geq1\)。

例2：解不等式\(\sqrt{3x + 1}<2x - 1\)。

解：由\(3x + 1\geq0\)得\(x\geq - \frac{1}{3}\)。当\(2x - 1\leq0\)即\(x\leq\frac{1}{2}\)时，不等式无解。当\(x >\frac{1}{2}\)时，两边平方得\(3x + 1<(2x - 1)^{2}\)，展开得\(3x + 1<4x^{2}-4x + 1\)，移项得\(4x^{2}-7x > 0\)，即\(x(4x - 7)>0\)，解得\(x >\frac{7}{4}\)或\(x < 0\)。结合\(x >\frac{1}{2}\)，不等式的解集为\(x >\frac{7}{4}\)。