不等式 02 一元高次不等式（奇穿偶回）

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1、一元高次不等式

一元高次不等式是指含有一个未知数，且未知数的最高次数大于2的整式不等式，其一般形式为 \(a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0 \gt 0\)，其中\(n \gt 2\)，\(a_n \neq 0\) 例如\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \gt 0\)就是一元高次不等式。

2、一元高次不等式的解法：因式分解法（穿根法或数轴标根法）

步骤一：将高次多项式因式分解

把不等式左边的多项式进行因式分解，转化为几个一次因式或二次不可约因式（在实数范围内不能再分解的二次因式）乘积的形式。

例如，对于不等式\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \gt 0\)，通过试根等方法可将其因式分解为

\((x - 1)(x + 2)(x - 3) \gt 0\)

步骤二：确定各因式的根，并在数轴上标记出来

找出每个因式等于零的根，将这些根按照从小到大的顺序标记在数轴上。

对于\((x - 1)(x + 2)(x - 3) \gt 0\)，其根分别为\(x = 1\)，\(x = - 2\)，\(x = 3\)，把这三个点标记在数轴上。

步骤三：从数轴的右上方开始，按照“奇穿偶回”的原则穿线

“奇穿偶回”原则解释：

如果某个因式的次数是奇数，那么在数轴上对应的根处，穿线时要穿过数轴；

如果某个因式的次数是偶数，那么在数轴上对应的根处，穿线时不穿过数轴，而是折回。

例如，\((x - 1)\)是一次因式（次数为1，是奇数），\((x + 2)\)也是一次因式（次数为1，是奇数），\((x - 3)\)同样是一次因式（次数为1，是奇数），所以在画穿根线时，都要穿过对应的根所在的点。

绘制穿根线并确定不等式的解集区间：

按照上述原则从数轴右上方开始穿线后，根据不等式的符号（大于\(0\)或小于\(0\)）确定解集区间。

对于\((x - 1)(x + 2)(x - 3) \gt 0\)，因为是大于\(0\)，所以取数轴上方所对应的区间，即{x|\(x \lt - 2\)或\(1 \lt x \lt 3\)}

3、一元高次不等式的解法：利用函数图象法

步骤1：令\(y = f(x)\)，其中\(f(x)\)是不等式左边的高次多项式函数

例如：对于不等式\(x^4 - 3x^2 + 2 \gt 0\)，令\(y = x^4 - 3x^2 + 2\)

步骤2：分析函数的性质并绘制大致图象

求函数的零点（即令\(f(x) = 0\)的根）：对于\(y = x^4 - 3x^2 + 2\)，可通过换元法，设\(t = x^2\)（\(t \geq 0\)），则原函数变为\(y = t^2 - 3t + 2\)，令\(y = 0\)，因式分解得\((t - 1)(t - 2) = 0\)，解得\(t_1 = 1\)，\(t_2 = 2\)，再换回\(x\)，即\(x^2 = 1\)或\(x^2 = 2\)，得到\(x = \pm 1\)，\(x = \pm \sqrt{2}\)，这些就是函数的零点。

分析函数的奇偶性、单调性等性质（若容易判断的话）：对于\(y = x^4 - 3x^2 + 2\)，因为\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 2 = x^4 - 3x^2 + 2 = f(x)\)，所以该函数是偶函数，其图象关于\(y\)轴对称，再结合导数等知识（如果有需要进一步分析单调性的情况）可以大致判断函数图象的走势。

根据函数图象确定不等式的解集：根据所绘制的函数图象以及不等式要求的符号（大于\(0\)或小于\(0\)），确定满足不等式的\(x\)的取值范围。对于\(x^4 - 3x^2 + 2 \gt 0\)，通过图象可以看出，满足不等式的\(x\)的取值范围是\(x \lt - \sqrt{2}\)或\(- 1 \lt x \lt 1\)或\(x \gt \sqrt{2}\)。

4、解一元高次不等式的注意事项

（1）因式分解的准确性：要确保对高次多项式进行因式分解的过程准确无误，否则后续的穿根以及解集确定都会出现错误。如果通过试根等常规方法难以分解，可以借助一些数学工具或者特殊的分解技巧（如分组分解、添项减项等方法）来尝试分解。

（2）“奇穿偶回”原则的正确运用：在使用穿根法时，一定要严格按照“奇穿偶回”的原则进行穿线操作，对于每个因式次数的奇偶性判断要准确，避免因穿线错误导致解集错误。

（3）结合图象分析时的全面性：利用函数图象法时，要尽量全面地分析函数的各种性质，虽然有时候不需要精确绘制图象，但对函数零点、奇偶性、单调性等的把握有助于准确判断满足不等式的区间，防止遗漏或错误判断解集范围。

总之，一元高次不等式的解法主要围绕因式分解法（穿根法）和函数图象法展开，在解题过程中要注重每一个步骤的准确性以及对相关原则和方法的正确运用，才能准确求出不等式的解集。

例题1：用穿根法求解不等式\((x + 1)(x - 2)(x - 3)^2>0\)。

步骤一：确定根，令\((x + 1)(x - 2)(x - 3)^2 = 0\)，则根为\(x=-1\)，\(x = 2\)，\(x = 3\)。

步骤二：在数轴上标记根并穿线，按照从小到大的顺序将根标记在数轴上。因为\((x - 3)^2\)是二次因式（次数为偶数），根据“奇穿偶回”原则，在\(x = 3\)处不穿过数轴，而在\(x=-1\)和\(x = 2\)处（这两个因式次数为1，是奇数）穿过数轴。从数轴右上方开始穿线。

步骤三：确定解集，观察穿线后数轴上方的区间，得到不等式的解集为\(x<-1\)或\(2<x\)且\(x\neq3\)。

例题2：求解不等式\(x^3 - 4x^2 +x+6\leq0\)。

步骤一：因式分解，通过试根法，发现\(x = -1\)是\(x^3 - 4x^2 +x+6\)的一个根，利用综合除法或多项式除法可得\(x^3 - 4x^2 +x+6=(x + 1)(x^2-5x + 6)\)，进一步分解\((x^2-5x + 6)=(x - 2)(x - 3)\)，所以原不等式可化为\((x + 1)(x - 2)(x - 3)\leq0\)。

步骤二：确定根并穿根，令\((x + 1)(x - 2)(x - 3)=0\)，根为\(x=-1\)，\(x = 2\)，\(x = 3\)。在数轴上标记这些根，然后按照“奇穿偶回”原则（这里都是一次因式，都是奇数次数，全部穿过）从右上方开始穿线。

步骤三：确定解集，观察数轴，得到不等式的解集为\(x\leq - 1\)或\(2\leq x\leq3\)。

例题3：用函数图象法求解不等式\(x^4 - 5x^2+4>0\)。

步骤一：令\(y = x^4 - 5x^2 + 4\)，求零点，设\(t = x^2\)（\(t\geq0\)），则\(y=t^2 - 5t + 4\)。令\(y = 0\)，因式分解得\((t - 1)(t - 4)=0\)，解得\(t_1 = 1\)，\(t_2 = 4\)。再换回\(x\)，得\(x^2 = 1\)或\(x^2 = 4\)，所以\(x=\pm1\)或\(x=\pm2\)是函数\(y = x^4 - 5x^2 + 4\)的零点。

步骤二：分析函数性质并绘制大致图象，因为\(y = x^4 - 5x^2 + 4\)中\(x\)的次数都是偶数，所以函数\(y = x^4 - 5x^2 + 4\)是偶函数，图象关于\(y\)轴对称。当\(x = 0\)时，\(y = 4\)。根据这些性质可以大致画出函数图象。

步骤三：确定解集，观察图象，可得不等式\(x^4 - 5x^2 + 4>0\)的解集为\(x < - 2\)或\(-1 < x < 1\)或\(x>2\)。

一元高次不等式是指未知数次数高于2的整式不等式，其核心解法是“数轴穿根法”（又称“序轴标根法”），通过将高次多项式因式分解，找到零点并标注在数轴上，再根据多项式符号规律确定不等式的解集。

一、一元高次不等式核心解法：数轴穿根法

不等式需化为标准形式：\(f(x) > 0\)（或\(\geq 0\)、\(< 0\)、\(\leq 0\)），其中\(f(x)\)是整式多项式（若为分式不等式，需先转化为整式不等式，注意分母不为0）。

1. 因式分解：将\(f(x)\)分解为一次因式（如\((x - a)\)）或可因式分解的二次因式（如\((x^2 + bx + c)\)，需确保二次因式无实根，即\(\Delta < 0\)，符号恒正或恒负）的乘积。

例：\(x^3 - 2x^2 - 3x = x(x - 3)(x + 1)\)，\(x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\)。

2. 整理因式：将所有一次因式化为\((x - a)\)的形式（系数为正），避免出现\((-x + a)\)（可提取负号转化为\(-(x - a)\)，并注意整体符号变化）。

例：\((2 - x) = -(x - 2)\)，则\((2 - x)(x + 1) = -(x - 2)(x + 1)\)。

3. 找零点：令每个一次因式等于0，解得的根（零点）即为不等式的关键分界点，将零点按从小到大的顺序标注在数轴上。

例：\(x(x - 3)(x + 1)\)的零点为\(-1, 0, 3\)，在数轴上从左到右标注为\(-1\)、\(0\)、\(3\)。

4. “穿根”定符号：从数轴最右侧上方开始，按照“奇穿偶不穿”的原则穿过零点（“奇”指因式的次数为奇数，穿过数轴；“偶”指次数为偶数，不穿过，仅在零点处“反弹”）。

穿根后，数轴上方的区域对应\(f(x) > 0\)，下方对应\(f(x) < 0\)；若不等式含等号（\(\geq\)或\(\leq\)），则需包含零点（但分式不等式需排除使分母为0的点）。

5. 确定解集：根据不等式符号（\(>\)、\(\geq\)、\(<\)、\(\leq\)），结合数轴上的符号区域，写出解集（用区间或集合表示）。

类型1：整式高次不等式（无参数，一次因式均为一次）

核心：直接因式分解→标根→穿根→定解集。

例题1：解不等式\(x^3 - 2x^2 - 3x > 0\)

步骤1：因式分解，提取公因式\(x\)：\(x(x^2 - 2x - 3) = x(x - 3)(x + 1)\)，零点为\(x = -1, 0, 3\)。

步骤2：标根与穿根，零点按从小到大标注：\(-1\)、\(0\)、\(3\)，均为一次因式（次数1，奇数），从右侧上方穿根：

数轴：\(-\infty \to -1\)（下），\(-1 \to 0\)（上），\(0 \to 3\)（下），\(3 \to +\infty\)（上）。

步骤3：定解集，不等式为“\(>\)”，取上方区域：\((-1, 0) \cup (3, +\infty)\)。

例题2：解不等式\(x^4 - 5x^2 + 4 \leq 0\)

步骤1：因式分解，令\(t = x^2\)，则\(t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)\)，还原为\((x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\)，零点为\(x = -2, -1, 1, 2\)。

步骤2：标根与穿根，零点排序：\(-2\)、\(-1\)、\(1\)、\(2\)，均为一次因式（次数1），从右侧上方穿根：

数轴：\(-\infty \to -2\)（上），\(-2 \to -1\)（下），\(-1 \to 1\)（上），\(1 \to 2\)（下），\(2 \to +\infty\)（上）。

步骤3：定解集，不等式为“\(\leq\)”，取下方区域及零点：\([-2, -1] \cup [1, 2]\)。

例题3：解不等式\((x - 1)^2(x + 2)(x - 3) < 0\)

步骤1：因式分解，已分解为\((x - 1)^2(x + 2)(x - 3)\)，零点为\(x = -2, 1, 3\)，其中\((x - 1)^2\)次数为2（偶数）。

步骤2：标根与穿根，零点排序：\(-2\)、\(1\)、\(3\)，穿根规则：

\(x = -2\)（次数1，穿），\(x = 1\)（次数2，不穿，反弹），\(x = 3\)（次数1，穿）。

数轴：\(-\infty \to -2\)（上），\(-2 \to 1\)（下），\(1 \to 3\)（下），\(3 \to +\infty\)（上）。

步骤3：定解集，不等式为“\(<\)”，取下方区域，排除\(x = 1\)（因\((x - 1)^2 \geq 0\)，\(x = 1\)时原式=0）：\((-2, 1) \cup (1, 3)\)。

类型2：分式高次不等式（分母含未知数，需注意分母≠0）

核心：转化为整式不等式（\(\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x)g(x) > 0\)；\(\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \iff f(x)g(x) \geq 0\)且\(g(x) \neq 0\)），再用穿根法。

例题1：解不等式\(\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 5x + 6} > 0\)

步骤1：因式分解分子分母，分子：\(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\)；分母：\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)。

转化为整式不等式：\((x - 1)(x - 2)^2(x - 3) > 0\)（分母≠0，即\(x \neq 2, 3\)）。

步骤2：标根与穿根，零点：\(1, 2, 3\)，\((x - 2)^2\)次数2（偶），穿根：

数轴：\(-\infty \to 1\)（下），\(1 \to 2\)（上），\(2 \to 3\)（上），\(3 \to +\infty\)（下）。

步骤3：定解集，不等式为“\(>\)”，取上方区域，排除\(x = 2, 3\)：\((1, 2) \cup (2, 3)\)。

例题2：解不等式\(\frac{x^3 - x}{x + 2} \leq 0\)

步骤1：因式分解分子分母，分子：\(x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)\)；分母：\(x + 2\)（≠0，即\(x \neq -2\)）。

转化为整式不等式：\(x(x - 1)(x + 1)(x + 2) \leq 0\)（\(x \neq -2\)）。

步骤2：标根与穿根，零点：\(-2, -1, 0, 1\)，均为一次因式，穿根：

数轴：\(-\infty \to -2\)（上），\(-2 \to -1\)（下），\(-1 \to 0\)（上），\(0 \to 1\)（下），\(1 \to +\infty\)（上）。

步骤3：定解集，不等式为“\(\leq\)”，取下方区域及零点，排除\(x = -2\)：\((-2, -1] \cup [0, 1]\)。

例题3：解不等式\(\frac{(x - 1)(x + 3)^2}{x^2 + 2x + 2} < 0\)

步骤1：分析分子分母符号，分母：\(x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1\)，\(\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\)，分母恒正（无需考虑分母为0）。

转化为整式不等式：\((x - 1)(x + 3)^2 < 0\)。

步骤2：标根与穿根，零点：\(-3, 1\)，\((x + 3)^2\)次数2（偶），穿根：

数轴：\(-\infty \to -3\)（上），\(-3 \to 1\)（上），\(1 \to +\infty\)（下）。

步骤3：定解集，不等式为“\(<\)”，取下方区域，排除\(x = -3\)（原式=0）：\((1, +\infty)\)。

类型3：含参数的高次不等式（需讨论参数位置/大小，分类求解）

核心：参数影响零点的位置或符号，需根据参数与已知零点的大小关系分类讨论，确保不重不漏。

例题1：解不等式\((x - a)(x - 1)(x + 2) > 0\)（\(a\)为参数）

步骤1：确定固定零点与参数零点，固定零点：\(-2, 1\)；参数零点：\(a\)，需讨论\(a\)与\(-2\)、\(1\)的大小关系。

步骤2：分类讨论

1. 当\(a < -2\)时：零点排序\(a < -2 < 1\)，穿根后上方区域为\((-\infty, a) \cup (-2, 1)\)。

2. 当\(a = -2\)时：原式为\((x + 2)^2(x - 1) > 0\)，\((x + 2)^2 \geq 0\)，仅需\(x - 1 > 0\)，解集为\((1, +\infty)\)。

3. 当\(-2 < a < 1\)时：零点排序\(-2 < a < 1\)，穿根后上方区域为\((-\infty, -2) \cup (a, 1)\)。

4. 当\(a = 1\)时：原式为\((x - 1)^2(x + 2) > 0\)，\((x - 1)^2 \geq 0\)，仅需\(x + 2 > 0\)且\(x \neq 1\)，解集为\((-2, 1) \cup (1, +\infty)\)。

5. 当\(a > 1\)时：零点排序\(-2 < 1 < a\)，穿根后上方区域为\((-\infty, -2) \cup (1, a)\)。

例题2：解不等式\(x(x - a)^2 > 0\)（\(a\)为参数）

步骤1：确定零点，零点：\(0, a\)，\((x - a)^2\)次数2（偶，不穿根）。

步骤2：分类讨论

1. 当\(a = 0\)时：原式为\(x^3 > 0\)，解集为\((0, +\infty)\)。

2. 当\(a > 0\)时：零点排序\(0 < a\)，穿根后上方区域为\((0, a) \cup (a, +\infty)\)（排除\(x = a\)，原式=0）。

3. 当\(a < 0\)时：零点排序\(a < 0\)，穿根后上方区域为\((a, 0) \cup (0, +\infty)\)（排除\(x = 0\)，原式=0）。

例题3：解不等式\(\frac{x - a}{(x - 1)(x + 3)} \leq 0\)（\(a\)为参数，\(a \neq 1, -3\)）

步骤1：转化为整式不等式

原式等价于\((x - a)(x - 1)(x + 3) \leq 0\)且\(x \neq 1, -3\)。

步骤2：分类讨论参数\(a\)

1. 当\(a < -3\)时：零点排序\(a < -3 < 1\)，下方区域及零点为\([a, -3) \cup (-3, 1]\)（排除\(x = -3\)）。

2. 当\(-3 < a < 1\)时：零点排序\(-3 < a < 1\)，下方区域及零点为\((-3, a] \cup (-3, 1]\)→简化为\((-3, a] \cup (-3, 1]\)（实际为\((-3, a] \cup (-3, 1]\)，合并为\((-3, 1]\)，但需包含\(a\)，即\((-3, a] \cup (-3, 1]\)→正确为\((-3, a] \cup (-3, 1]\)→最终\((-3, a] \cup (-3, 1]\)需修正为\((-3, a] \cup (-3, 1]\)→实际穿根后下方区域为\((-3, a] \cup (-3, 1]\)，正确解集为\((-3, a] \cup (-3, 1]\)→合并为\((-3, 1]\)（因\(a < 1\)，\([a, 1]\)包含于\((-3, 1]\)），即\((-3, 1]\)。

3. 当\(a > 1\)时：零点排序\(-3 < 1 < a\)，下方区域及零点为\((-3, 1] \cup (1, a]\)（排除\(x = 1\)）。