不等式 02 等式的基本性质、不等式的基本性质

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

1. 等式的基本性质概述

等式是表示两个数或者表达式之间用等号“=”连接的语句，它具有一些重要的性质，这些性质是解方程和进行代数式变形的重要依据。

2. 等式的性质内容

性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。

用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(a + c=b + c\)，\(a - c=b - c\)。

例如，对于等式\(x + 3 = 5\)，等式两边同时减去\(3\)，得到\(x+3 - 3 = 5 - 3\)，即\(x = 2\)。这个性质可以理解为在天平的两边同时增加或减少相同的重量，天平仍然保持平衡。

再如，若\(2x-1 = 3\)，两边同时加上\(1\)，则\(2x-1+1 = 3 + 1\)，也就是\(2x = 4\)。

性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，等式仍然成立。

用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)（\(c\neq0\)）；\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（\(c\neq0\)）。

例如，对于等式\(\frac{x}{2}=3\)，等式两边同时乘以\(2\)，得到\(\frac{x}{2}\times2 = 3\times2\)，即\(x = 6\)。这就好比把天平两边的物体同时扩大或缩小相同的倍数，天平依然平衡。

又如，若\(3x = 9\)，两边同时除以\(3\)，则\(\frac{3x}{3}=\frac{9}{3}\)，即\(x = 3\)。需要注意的是，在除法运算中，除数不能为\(0\)，因为\(0\)做除数没有意义。

3. 等式性质的应用

解方程：

例如解方程\(2x + 5 = 13\)，首先根据等式性质1，两边同时减去\(5\)，得到\(2x+5 - 5 = 13 - 5\)，即\(2x = 8\)。然后根据等式性质2，两边同时除以\(2\)，\(\frac{2x}{2}=\frac{8}{2}\)，解得\(x = 4\)。

代数式的变形：

若已知\(a = b\)，要证明\(3a + 2 = 3b+2\)。根据等式性质2，因为\(a = b\)，所以\(3a = 3b\)（两边同时乘以\(3\)），再根据等式性质1，\(3a+2 = 3b + 2\)（两边同时加上\(2\)）。

4. 等式性质的拓展

等式还有传递性，即如果\(a = b\)，\(b = c\)，那么\(a = c\)。例如，已知\(x = y\)，\(y = 3\)，那么可以得出\(x = 3\)。这种传递性在解决一些较为复杂的等式关系问题时非常有用，比如在几何证明或者多个方程联立求解等情况中经常会用到。

预备知识：在逻辑关系中，“∧”表示“且”的意思。例如在 \((x > y)\land(y > z)\Rightarrow x > z\) 这个表达式中，它表示“\(x > y\)”这个条件和“\(y > z\)”这个条件同时成立。只有当这两个条件都满足的时候，才能根据这个逻辑关系推出后面的结论。

1. 对称性

若\(x > y\)，则\(y < x\)，可表示为\(x > y\Rightarrow y < x\)；

若\(y < x\)，则\(x > y\)，可表示为\(y < x\Rightarrow x > y\)。

2. 传递性

若\(x > y\)且\(y > z\)，那么\(x > z\)，表示为\((x > y)\land(y > z)\Rightarrow x > z\)。

3. 加法单调性（可加性）

若\(x > y\)，对于任意实数\(z\)，有\(x+z > y + z\)，表示为\(x > y\Rightarrow x + z>y + z\)。

4. 乘法单调性（可乘性）

若\(x > y\)，当\(z > 0\)时，\(xz > yz\)，表示为\((x > y)\land(z > 0)\Rightarrow xz > yz\)；

若\(x > y\)，当\(z < 0\)时，\(xz < yz\)，表示为\((x > y)\land(z < 0)\Rightarrow xz < yz\)。

5. 同向可加性

若\(x > y\)且\(m > n\)，那么\(x + m>y + n\)，表示为\((x > y)\land(m > n)\Rightarrow x + m>y + n\)。

6. 同向同正可乘性

若\(x > y>0\)且\(m > n>0\)，那么\(xm > yn\)，表示为\((x > y>0)\land(m > n>0)\Rightarrow xm > yn\)。

7. 正值不等式可乘方

若\(x > y>0\)，对于正数\(n\)，有\(x^{n}>y^{n}\)，表示为\((x > y>0)\land(n>0)\Rightarrow x^{n}>y^{n}\)。

8. 正值不等式可开方

若\(x > y>0\)，对于正数\(n\)（\(n > 1\)），有\(\sqrt[n]{x}>\sqrt[n]{y}\)，表示为\((x > y>0)\land(n>1)\Rightarrow\sqrt[n]{x}>\sqrt[n]{y}\)。

9. 倒数法则

若\(ab>0\)且\(a > b\)，那么\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)，表示为\((ab > 0)\land(a > b)\Rightarrow\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。

对于非零实数\(a\)，\(\frac{1}{a}\)称为\(a\)的倒数。例如，\(2\)的倒数是\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{1}{3}\)的倒数是\(-3\)。

同号两数的倒数法则

当\(a\)和\(b\)是同号的两个正数时，如果\(a > b\)，那么\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，\(3>2\)，它们的倒数分别是\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{1}{2}\)，而\(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\)。

当\(a\)和\(b\)是同号的两个负数时，如果\(a > b\)（此时\(a\)的绝对值小于\(b\)的绝对值），那么\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，\(-2>-3\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(-3\)的倒数是\(-\frac{1}{3}\)，而\(-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}\)。

异号两数的倒数法则

正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。所以正数大于负数，正数的倒数小于负数的倒数。例如，\(4\)是正数，\(-2\)是负数，\(4>-2\)，\(4\)的倒数是\(\frac{1}{4}\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{4}>-\frac{1}{2}\)。

不等式两边取倒数的规则

当\(a > b > 0\)时，两边同时取倒数，不等号方向改变，即\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，对于不等式\(3>2>0\)，两边取倒数得到\(\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\)。

当\(0 > a > b\)时，两边同时取倒数，不等号方向改变，即\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。例如，对于不等式\(-2 > - 3>0\)，两边取倒数得到\(-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}\)。

当\(a > 0 > b\)时，\(\frac{1}{a}>0\)，\(\frac{1}{b}<0\)，所以\(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)。例如，对于\(4>0>-2\)，\(4\)的倒数是\(\frac{1}{4}\)，\(-2\)的倒数是\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{4}>-\frac{1}{2}\)。

在分数除法中，除以一个数等于乘以它的倒数。例如，\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}\)，这里\(\frac{4}{5}\)的倒数是\(\frac{5}{4}\)。

在化简分式时，也经常用到倒数。例如，对于分式\(\frac{1}{\frac{1}{x}+1}\)，先将分母中的\(\frac{1}{x}+1\)通分得到\(\frac{1 + x}{x}\)，那么原分式就变为\(\frac{x}{1 + x}\)，这里就是利用了倒数的关系进行化简。