平面几何：三角形的重心（G）

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一、三角形重心

三角形的重心是指三角形三条中线的交点。其中，中线是连接三角形一个顶点与对边中点的线段，每个三角形有且仅有三条中线，这三条中线必然交于一点，该点即为重心，通常用符号\( G \)表示。

二、三角形重心的3个关键性质

性质1：三角形的重心将每条中线分成长度比为2:1的两段

具体来说，若\( AD \)是\(\triangle ABC\)中\( BC \)边上的中线（即\( D \)为\( BC \)中点），\( G \)为重心，则\( AG:GD = 2:1 \)，且\( AG = \frac{2}{3}AD \)，\( GD = \frac{1}{3}AD \)。

性质2：重心将原三角形分成三个面积相等的小三角形

例如，在\(\triangle ABC\)中，\( G \)为重心，则\( S_{\triangle AGB} = S_{\triangle BGC} = S_{\triangle CGA} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \)。这是因为三个小三角形分别以\( AB、BC、CA \)为底时，高的比为1:2，结合底相等的条件，面积最终相等。

性质3：重心坐标：在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为\( A(x_1,y_1) \)、\( B(x_2,y_2) \)、\( C(x_3,y_3) \)，则重心\( G \)的坐标为三个顶点横、纵坐标的平均值，即：\( G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \)。

例题1：基础比例计算，在\(\triangle ABC\)中，\( AD \)是\( BC \)边上的中线，\( G \)为重心，若\( AG = 4 \)，求\( AD \)的长度。

解析：由重心分中线比为2:1，知\( AG:GD = 2:1 \)。设\( GD = x \)，则\( 4:x = 2:1 \)，解得\( x = 2 \)。因此\( AD = AG + GD = 4 + 2 = 6 \)。

例题2：面积关系应用，已知\(\triangle ABC\)的面积为36，\( G \)是其重心，求\(\triangle BGC\)的面积。

解析：根据重心分原三角形为3个等面积小三角形的性质，\( S_{\triangle BGC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \)。代入\( S_{\triangle ABC} = 36 \)，得\( S_{\triangle BGC} = 36 \times \frac{1}{3} = 12 \)。

例题3：坐标法求重心，在平面直角坐标系中，\(\triangle ABC\)的顶点坐标为\( A(1,2) \)、\( B(3,4) \)、\( C(5,0) \)，求重心\( G \)的坐标。

解析：由重心坐标公式，横坐标\( x = \frac{1 + 3 + 5}{3} = 3 \)，纵坐标\( y = \frac{2 + 4 + 0}{3} = 2 \)，故\( G(3,2) \)。

例题4：中线与重心的综合比例，在\(\triangle ABC\)中，\( BE、CF \)分别是\( AC、AB \)边上的中线，交于重心\( G \)，若\( GE = 2 \)，求\( BE \)的长度。

解析：重心分中线为2:1，即\( BG:GE = 2:1 \)。已知\( GE = 2 \)，则\( BG = 2 \times 2 = 4 \)，因此\( BE = BG + GE = 4 + 2 = 6 \)。

例题5：面积差与重心，在\(\triangle ABC\)中，\( G \)为重心，若\( S_{\triangle AGB} - S_{\triangle BGC} = 5 \)，求\( S_{\triangle ABC} \)。

解析：由重心性质，\( S_{\triangle AGB} = S_{\triangle BGC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \)，因此\( S_{\triangle AGB} - S_{\triangle BGC} = 0 \)？题目存在矛盾，若修正为“\( S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BGC} = 5 \)”，则\( S_{\triangle ABC} - \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = 5 \)，解得\( S_{\triangle ABC} = 7.5 \)。

例题6：重心与中点的线段计算，在\(\triangle ABC\)中，\( D、E \)分别是\( BC、AC \)的中点，\( AD、BE \)交于\( G \)，若\( DE = 3 \)，求\( AG \)与\( GD \)的长度关系（无需具体值，用比例表示）。

解析：\( D、E \)是中点，故\( DE \)是\(\triangle ABC\)的中位线，\( DE \parallel AB \)且\( DE = \frac{1}{2}AB \)。由\( DE \parallel AB \)，得\(\triangle DGE \sim \triangle AGB\)，相似比为\( DE:AB = 1:2 \)，故\( AG:GD = 2:1 \)（与重心性质一致）。

例题7：坐标与距离结合，已知\(\triangle ABC\)的顶点\( A(0,0) \)、\( B(6,0) \)、\( C(0,6) \)，\( G \)为重心，求\( G \)到原点\( O(0,0) \)的距离。

解析：先求重心坐标：\( x = \frac{0 + 6 + 0}{3} = 2 \)，\( y = \frac{0 + 0 + 6}{3} = 2 \)，即\( G(2,2) \)。由距离公式，\( OG = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)。

例题8：重心与中线的长度和，在\(\triangle ABC\)中，三条中线\( AD、BE、CF \)交于\( G \)，若\( AG = 6 \)、\( BG = 8 \)、\( CG = 10 \)，求三条中线的总长度。

解析：由重心分中线比2:1，得\( AD = \frac{3}{2}AG = \frac{3}{2} \times 6 = 9 \)，\( BE = \frac{3}{2}BG = \frac{3}{2} \times 8 = 12 \)，\( CF = \frac{3}{2}CG = \frac{3}{2} \times 10 = 15 \)。总长度为\( 9 + 12 + 15 = 36 \)。

例题9：重心与三角形形状的关联，在直角三角形\( ABC \)中，\(\angle C = 90^\circ\)，\( AB = 10 \)，\( G \)为重心，求\( CG \)的长度。

解析：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，故斜边\( AB \)的中线\( CD = \frac{1}{2}AB = 5 \)（\( D \)为\( AB \)中点）。重心分中线比2:1，因此\( CG = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3} \)。

例题10：比例与面积结合，在\(\triangle ABC\)中，\( AD \)是中线，\( G \)是重心，过\( G \)作\( EF \parallel BC \)，分别交\( AB、AC \)于\( E、F \)，若\( BC = 9 \)，求\( EF \)的长度；若\( S_{\triangle AEF} = 4 \)，求\( S_{\triangle ABC} \)。

解析：① 由\( EF \parallel BC \)，得\(\triangle AEF \sim \triangle ABC\)。重心\( G \)在\( AD \)上，\( AG = \frac{2}{3}AD \)，故相似比为\( AG:AD = 2:3 \)，因此\( EF = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \)。

② 相似三角形面积比为相似比的平方，即\( S_{\triangle AEF}:S_{\triangle ABC} = (2:3)^2 = 4:9 \)。已知\( S_{\triangle AEF} = 4 \)，设\( S_{\triangle ABC} = x \)，则\( 4:x = 4:9 \)，解得\( x = 9 \)。