初中数学 28 尺规作图与命题的证明

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尺规作图

定义：尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规来作图的方法，它是起源于古希腊的数学课题，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

基本作图：

作一条线段等于已知线段：已知线段\(a\)，用直尺画射线\(AC\)，再用圆规量取线段\(a\)的长度，然后以\(A\)为圆心，\(a\)长为半径画弧，交射线\(AC\)于点\(B\)，则线段\(AB\)即为所求作的等于已知线段\(a\)的线段。

作一个角等于已知角：已知\(\angle AOB\)，先作射线\(O'A'\)，以\(O\)为圆心，任意长为半径画弧，分别交\(OA\)、\(OB\)于点\(C\)、\(D\)；再以\(O'\)为圆心，\(OC\)长为半径画弧，交\(O'A'\)于点\(C'\)；然后以\(C'\)为圆心，\(CD\)长为半径画弧，与前弧相交于点\(D'\)；最后过\(D'\)作射线\(O'B'\)，则\(\angle A'O'B'\)就是所求作的等于\(\angle AOB\)的角。

作已知线段的垂直平分线：已知线段\(AB\)，分别以\(A\)、\(B\)为圆心，大于\(\frac{1}{2}AB\)长为半径画弧，两弧相交于点\(M\)、\(N\)，过\(M\)、\(N\)作直线，则直线\(MN\)就是线段\(AB\)的垂直平分线。

作已知角的平分线：已知\(\angle AOB\)，以\(O\)为圆心，任意长为半径画弧，交\(OA\)于点\(C\)，交\(OB\)于点\(D\)；分别以\(C\)、\(D\)为圆心，大于\(\frac{1}{2}CD\)长为半径画弧，两弧在\(\angle AOB\)内部相交于点\(P\)；作射线\(OP\)，则\(OP\)为\(\angle AOB\)的平分线。

应用：尺规作图在几何图形的构造、证明等方面有广泛应用。例如，通过尺规作图可以构造出各种特殊的三角形、四边形等几何图形，进而研究它们的性质和关系；还可以用于解决一些实际问题，如平分一个角、确定线段的中点等。

命题的证明

命题的组成：命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。例如，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，“两个角是对顶角”就是题设，“这两个角相等”就是结论。

真命题与假命题：如果一个命题的题设成立时，结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。例如，“三角形的内角和为\(180^{\circ}\)”是真命题，“相等的角是对顶角”就是假命题。

证明的必要性：通过证明可以确定一个命题的真假性，使我们对数学知识有更准确、更深入的理解。对于一些直观上看起来正确的结论，只有经过严格的证明，才能成为公认的数学定理。

证明的步骤：

理解题意，分清命题的题设和结论。

根据题意，画出图形，并在图形上标注出相关的字母和符号。

结合图形，写出已知、求证。

分析证明思路，从已知条件出发，运用所学的定义、公理、定理等，逐步推导出结论。

写出证明过程，每一步推理都要有依据，做到条理清晰、逻辑严密。

例如，证明“三角形的内角和为\(180^{\circ}\)”：

已知：\(\triangle ABC\)。

求证：\(\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}\)。

证明：过点\(A\)作直线\(EF\parallel BC\)。

因为\(EF\parallel BC\)，所以\(\angle B=\angle EAB\)（两直线平行，内错角相等），\(\angle C=\angle FAC\)（两直线平行，内错角相等）。

又因为\(\angle EAB+\angle BAC+\angle FAC = 180^{\circ}\)（平角的定义），所以\(\angle B+\angle BAC+\angle C = 180^{\circ}\)，即三角形的内角和为\(180^{\circ}\)。

尺规作图和命题的证明是初中数学中培养学生逻辑思维能力和几何直观能力的重要内容，对于学生今后学习更深入的数学知识和解决复杂的数学问题具有重要的基础作用。

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