初中数学 15 反比例函数：\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）

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反比例函数的概念

定义：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数，叫做反比例函数，其中\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数。\(y=\frac{k}{x}\)也可以写成\(y=kx^{-1}\)的形式。例如，当\(k = 5\)时，函数\(y=\frac{5}{x}\)就是一个反比例函数。

反比例函数的图象与性质

图象：反比例函数的图象是双曲线。当\(k>0\)时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(k<0\)时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。例如，对于反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)，因为\(k = 2>0\)，所以它的图象在第一、三象限，且在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小；而对于\(y=-\frac{3}{x}\)，由于\(k = -3<0\)，其图象在第二、四象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。

对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。其对称轴为直线\(y = x\)和\(y = -x\)；对称中心是坐标原点\((0,0)\)。

反比例函数的应用

实际问题中的反比例关系：在实际生活中，许多问题都存在反比例关系。例如，当路程一定时，速度\(v\)与时间\(t\)成反比例关系，可表示为\(v=\frac{s}{t}\)（\(s\)为常数），这就是一个反比例函数的形式。又如，当压力一定时，压强\(p\)与受力面积\(S\)成反比例关系，即\(p=\frac{F}{S}\)（\(F\)为常数）。

解决实际问题的步骤：

首先，根据实际问题中的数量关系，设出反比例函数的表达式；

然后，根据已知条件确定表达式中的常数\(k\)；

最后，利用反比例函数的性质来解决相关问题。

例如，某工厂要生产一批零件，已知每个零件的生产时间\(y\)（分钟）与生产速度\(x\)（个/分钟）成反比例关系，当生产速度为\(20\)个/分钟时，生产时间为\(30\)分钟。设反比例函数表达式为\(y=\frac{k}{x}\)，将\(x = 20\)，\(y = 30\)代入可得\(k = 20×30 = 600\)，所以函数表达式为\(y=\frac{600}{x}\)。若要使生产时间不超过\(25\)分钟，则生产速度至少为\(x=\frac{600}{25}=24\)个/分钟。

反比例函数与一次函数的综合

交点问题：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)与一次函数\(y = mx + b\)的图象可能有交点，也可能没有交点。通过联立两个函数的方程，求解方程组\(\begin{cases}y=\frac{k}{x}\\y = mx + b\end{cases}\)，可以得到交点的坐标。例如，对于反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)和一次函数\(y = x + 1\)，联立方程可得\(\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y = x + 1\end{cases}\)，将\(y = x + 1\)代入\(y=\frac{4}{x}\)中，得到\(x + 1=\frac{4}{x}\)，整理得\(x^{2}+x - 4 = 0\)，解这个方程可求出交点的横坐标，进而求出纵坐标。

比较函数值大小：在同一坐标系中，根据反比例函数和一次函数的图象位置，可以比较它们在不同区间内函数值的大小。

例如，当\(x>0\)时，对于反比例函数\(y=\frac{3}{x}\)和一次函数\(y = 2x - 1\)，可以通过观察图象或代入具体值的方法来比较它们函数值的大小。

反比例函数是初中数学中重要的函数类型之一，它与实际生活联系紧密，通过学习反比例函数，能够培养学生的数学建模能力和函数思想，为进一步学习高中数学奠定基础。

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