初中数学 24 图形的平移与旋转、中心对称

图形的平移

定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。

性质：

平移前后图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。

平移前后图形的对应角相等。

平移前后图形的对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

平移的要素：平移的方向和平移的距离是平移的两个要素。例如，将三角形\(ABC\)向右平移\(5\)个单位长度，得到三角形\(A'B'C'\)，这里“向右”是平移的方向，“\(5\)个单位长度”是平移的距离。

平移的应用：平移常常用于解决几何问题中的图形拼接、图案设计等。例如，通过平移可以将不规则图形转化为规则图形，从而方便计算其面积。

定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。

性质：

旋转前后图形的对应线段相等。

旋转前后图形的对应角相等。

旋转前后图形的对应点到旋转中心的距离相等。

旋转前后图形的对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

旋转的要素：旋转中心、旋转角和旋转方向是旋转的三个要素。例如，将三角形\(ABC\)绕点\(O\)顺时针旋转\(60^{\circ}\)得到三角形\(A'B'C'\)，其中“点\(O\)”是旋转中心，“\(60^{\circ}\)”是旋转角，“顺时针”是旋转方向。

旋转的应用：旋转在解决几何问题中也有广泛应用，如通过旋转构造全等三角形来证明线段相等或角相等，在图案设计中可以创造出具有对称美和动感的图案。

定义：把一个图形绕着某一个点旋转\(180^{\circ}\)，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

性质：

中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。

中心对称的两个图形是全等图形。

中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转\(180^{\circ}\)后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。例如，平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点是对称中心。

中心对称的应用：中心对称在建筑设计、艺术创作等领域有广泛应用，如许多建筑物的布局、图案设计等都利用了中心对称的性质，给人以平衡、稳定的美感。

图形的平移、旋转与中心对称是初中数学中重要的几何变换内容，它们丰富了图形的变化形式，对于培养学生的空间观念、几何直观和逻辑思维能力具有重要意义，同时在实际生活中也有诸多应用。