初中数学 20 轴对称、中垂线、等腰三角形

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轴对称

轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。例如，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高（或顶角平分线）所在的直线；正方形有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和两组对边中点连线所在的直线。

轴对称的性质：

成轴对称的两个图形全等。

如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

中垂线（线段的垂直平分线）

定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。例如，若直线\(l\)是线段\(AB\)的中垂线，点\(P\)在\(l\)上，则\(PA = PB\)。

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形

定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

性质：

等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。例如，在等腰三角形\(ABC\)中，\(AB = AC\)，则\(\angle B=\angle C\)。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。例如，在等腰三角形\(ABC\)中，\(AB = AC\)，\(AD\)是\(\angle BAC\)的平分线，则\(AD\)也是\(BC\)边上的中线和高，即\(BD = CD\)，\(AD\perp BC\)。

判定：

有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”。例如，在\(\triangle ABC\)中，若\(\angle B=\angle C\)，则\(AB = AC\)，\(\triangle ABC\)是等腰三角形。

等边三角形

定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。

性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于\(60^{\circ}\)。

等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条边的垂直平分线。

等边三角形具有等腰三角形的一切性质，如三线合一等。

判定：

三条边都相等的三角形是等边三角形。

三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是\(60^{\circ}\)的等腰三角形是等边三角形。

轴对称、中垂线和等腰三角形的知识是初中数学几何部分的重要内容，它们之间相互联系，在解决几何问题和实际问题中都有广泛的应用，对于培养学生的几何直观和逻辑推理能力具有重要意义。

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