初中数学 22 平行四边形、中位线、矩形、菱形、正方形

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平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

性质：

平行四边形的对边平行且相等。

平行四边形的对角相等，邻角互补。

平行四边形的对角线互相平分。

判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。例如，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)的中点，则\(DE\parallel BC\)，且\(DE=\frac{1}{2}BC\)。

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。若梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallel BC\)，\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)、\(CD\)的中点，则\(EF\parallel AD\parallel BC\)，且\(EF=\frac{1}{2}(AD + BC)\)。

矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

性质：

矩形具有平行四边形的所有性质。

矩形的四个角都是直角。

矩形的对角线相等。

判定：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

性质：

菱形具有平行四边形的所有性质。

菱形的四条边都相等。

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边相等的四边形是菱形。

正方形

定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是矩形又是菱形，具有矩形和菱形的所有性质。

性质：

正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

判定：

有一组邻边相等的矩形是正方形。

有一个角是直角的菱形是正方形。

梯形

定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两底之间的距离叫做梯形的高。

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形的同一底边上的两个角相等，两条对角线相等。等腰梯形的判定方法为：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

这些图形的性质和判定定理是初中几何的重要内容，它们之间既有联系又有区别，在解决几何问题时经常需要综合运用这些知识，对于培养学生的逻辑推理能力和空间观念具有重要意义。

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