圆幂定理：相交弦定理、切割线定理、割线定理

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圆幂定理是平面几何中关于圆与直线位置关系的核心定理，它统一了相交弦定理、切割线定理、割线定理，揭示了“过平面内一点向圆引直线，直线与圆交点所形成的线段长度之间的固定比例关系”。掌握该定理能快速解决与圆相关的线段长度计算、比例证明等问题。

圆幂定理的核心是“一个点对一个圆的圆幂是定值”，所有细分定理和推论均围绕这一定值展开。解题时需先判断“点与圆的位置关系”，再选择对应的定理（相交弦、切割线、割线），并结合相似三角形、勾股定理等工具，即可高效解决线段计算、四点共圆判定等问题。

过平面内任意一点 \( P \)，向半径为 \( R \) 的圆 \( O \) 引两条直线，分别与圆交于 \( A,B \) 和 \( C,D \)（若直线与圆相切，则两交点重合），则总有：\( \boxed{PA \cdot PB = PC \cdot PD} \)

这个定值称为点 \( P \) 对圆 \( O \) 的圆幂，其大小仅与点 \( P \) 到圆心 \( O \) 的距离 \( d \) 和圆的半径 \( R \) 有关，公式为：\( \boxed{圆幂 = d^2 - R^2} \)

点与圆的位置关系分类

根据点 \( P \) 相对于圆的位置不同，圆幂定理可分解为三个具体定理，核心区别在于直线与圆的交点数量（相交、相切）：

点在圆内：\( d^2 - R^2 < 0 \)，相交弦定理：过 \( P \) 的两条直线均与圆相交，形成两条弦 \( AB,CD \)，\( P \) 是两弦的内分点： \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)

点在圆上：\( d^2 - R^2 = 0 \)，过 \( P \) 的直线与圆交于 \( P \)（重合）和另一点，此时 \( PA=0 \) 或 \( PC=0 \) ：\( PA \cdot PB = 0 = PC \cdot PD \)

点在圆外：\( d^2 - R^2 > 0 \)，切割线定理：一条直线相切（切点为 \( T \)），另一条割线（交圆于 \( A,B \)）：\( PT^2 = PA \cdot PB \)

点在圆外：\( d^2 - R^2 > 0 \)，割线定理：两条直线均为割线（分别交圆于 \( A,B \) 和 \( C,D \)）：\( PA \cdot PB = PC \cdot PD \) 

圆幂的几何意义

点 \( P \) 对圆 \( O \) 的圆幂 \( = d^2 - R^2 \)，其中 \( d = PO \)。

当 \( P \) 在圆内时，圆幂为负，此时 \( PA \cdot PB = R^2 - d^2 \)（可由相交弦定理结合圆心到弦的距离推导）；

当 \( P \) 在圆外时，圆幂为正，此时 \( PA \cdot PB = d^2 - R^2 = PT^2 \)（与切割线定理一致）。

四点共圆的判定

若平面内四点 \( A,B,C,D \) 满足“过某点 \( P \) 有 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)”，则 \( A,B,C,D \) 四点共圆（圆幂定理的逆定理）。

切线长相等定理

从圆外一点 \( P \) 向圆引两条切线，切点分别为 \( T_1,T_2 \)，则 \( PT_1 = PT_2 \)（由切割线定理：\( PT_1^2 = PA \cdot PB \)，\( PT_2^2 = PA \cdot PB \)，故 \( PT_1 = PT_2 \)）。

证明：相交弦定理（点在圆内）

已知：圆 \( O \) 内一点 \( P \)，弦 \( AB \)、\( CD \) 交于 \( P \)。求证：\( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)。

连接 \( AC \)、\( BD \)，根据“同弧所对的圆周角相等”：

\( \angle PAC = \angle PDB \)（同弧 \( BC \) 所对的圆周角）；

\( \angle PCA = \angle PBD \)（同弧 \( AD \) 所对的圆周角）。

因此，\( \triangle PAC \sim \triangle PDB \)（AA 相似判定）。

由相似三角形的对应边成比例：\( \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \)，交叉相乘得 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)。

证明：切割线定理（点在圆外，一条直线相切）

已知：圆 \( O \) 外一点 \( P \)，切线 \( PT \)（\( T \) 为切点），割线 \( PAB \) 交圆于 \( A,B \)。求证：\( PT^2 = PA \cdot PB \)。

连接 \( PT \)、\( TA \)、\( TB \)，根据“切线与半径垂直”：\( OT \perp PT \)，即 \( \angle OTP = 90^\circ \)。

根据“弦切角等于所夹弧所对的圆周角”：\( \angle PTA = \angle PBT \)（弦切角 \( \angle PTA \) 夹弧 \( TA \)，圆周角 \( \angle PBT \) 也夹弧 \( TA \)）。

又因为 \( \angle P = \angle P \)（公共角），所以 \( \triangle PTA \sim \triangle PBT \)（AA 相似判定）。

由相似比：\( \frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} \)，交叉相乘得 \( PT^2 = PA \cdot PB \)。

证明：割线定理（点在圆外，两条直线均为割线）

已知：圆 \( O \) 外一点 \( P \)，割线 \( PAB \) 交圆于 \( A,B \)，割线 \( PCD \) 交圆于 \( C,D \)。求证：\( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)。

连接 \( AC \)、\( BD \)，根据“圆内接四边形的外角等于内对角”或“同弧所对的圆周角相等”：

\( \angle PAC = \angle PDB \)（同弧 \( BC \) 所对的圆周角）；

\( \angle P = \angle P \)（公共角）。

因此，\( \triangle PAC \sim \triangle PDB \)（AA 相似判定）。

由相似比：\( \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \)，交叉相乘得 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)。

例题1：相交弦定理的基础计算

题目：圆内两弦 \( AB \)、\( CD \) 交于 \( P \)，若 \( PA = 2 \)，\( PB = 6 \)，\( PC = 3 \)，求 \( PD \)。

解析：由相交弦定理 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)，代入得 \( 2 \times 6 = 3 \times PD \)，解得 \( PD = 4 \)。

答案：\( 4 \)

例题2：切割线定理求切线长

题目：从圆外一点 \( P \) 引圆的切线 \( PT \) 和割线 \( PAB \)，若 \( PA = 4 \)，\( AB = 5 \)，求 \( PT \)。

解析：先求 \( PB = PA + AB = 4 + 5 = 9 \)，由切割线定理 \( PT^2 = PA \cdot PB = 4 \times 9 = 36 \)，故 \( PT = 6 \)（切线长为正）。

答案：\( 6 \)

例题3：割线定理的多线段计算

题目：圆外一点 \( P \) 引两条割线 \( PAB \)、\( PCD \)，\( PA = 3 \)，\( PB = 9 \)，\( PC = CD \)，求 \( PC \)。

解析：设 \( PC = x \)，则 \( PD = PC + CD = 2x \)。由割线定理 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)，代入得 \( 3 \times 9 = x \times 2x \)，即 \( 2x^2 = 27 \)，解得 \( x = \frac{3\sqrt{6}}{2} \)（长度为正）。

答案：\( \frac{3\sqrt{6}}{2} \)

例题4：圆幂定理与相似三角形结合

题目：如图，\( PT \) 是圆 \( O \) 的切线，\( T \) 为切点，\( PAB \) 是割线，\( OT \) 交 \( AB \) 于 \( M \)，且 \( PT = PM \)，求证：\( OM \cdot MT = AM \cdot MB \)。

1. 连接 \( OP \)，由切线性质 \( OT \perp PT \)，故 \( \angle OTP = 90^\circ \)，即 \( \angle OMP + \angle TPM = 90^\circ \)；

2. 因 \( PT = PM \)，故 \( \angle PTM = \angle PMT \)，进而 \( \angle OMP = \angle PTM \)；

3. 由相交弦定理，\( AM \cdot MB = OM \cdot MN \)（\( MN \) 为过 \( M \) 的另一条弦），但更直接的是：由 \( \triangle OPA \sim \triangle OPB \)（或利用圆幂），结合 \( PT^2 = PA \cdot PB \)，最终可证 \( OM \cdot MT = AM \cdot MB \)。

例题5：逆定理判定四点共圆

题目：在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \perp BC \) 于 \( D \)，\( AE \) 是外接圆直径，求证：\( AB \cdot AC = AD \cdot AE \)。

1. 连接 \( BE \)，因 \( AE \) 是直径，故 \( \angle ABE = 90^\circ = \angle ADC \)；

2. 又 \( \angle AEB = \angle ACD \)（同弧 \( AB \) 所对的圆周角），故 \( \triangle ABE \sim \triangle ADC \)；

3. 由相似比 \( \frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC} \)，交叉相乘得 \( AB \cdot AC = AD \cdot AE \)（本质是圆幂定理的逆用：\( A \) 对 \( \triangle ABC \) 外接圆的圆幂为 \( AB \cdot AC = AD \cdot AE \)）。

例题6：切线长与线段和差

题目：从圆外一点 \( P \) 引圆的两条切线，切点为 \( A,B \)，过 \( P \) 引圆的割线 \( PCD \) 交圆于 \( C,D \)，若 \( PA = 6 \)，\( PC = 3 \)，求 \( CD \)。

1. 由切线长定理 \( PA = PB = 6 \)，再由切割线定理 \( PA^2 = PC \cdot PD \)；

2. 代入得 \( 6^2 = 3 \cdot PD \)，解得 \( PD = 12 \)；

3. 因 \( PD = PC + CD \)，故 \( CD = PD - PC = 12 - 3 = 9 \)。

答案：\( 9 \)

例题7：相交弦定理与勾股定理结合

题目：圆 \( O \) 的半径为 \( 5 \)，弦 \( AB \) 与 \( CD \) 交于 \( P \)，\( AB \perp CD \)，\( OP = 3 \)，若 \( PA = 1 \)，求 \( PC \cdot PD \)。

1. 过 \( O \) 作 \( OE \perp AB \) 于 \( E \)，\( OF \perp CD \) 于 \( F \)，则 \( AE = EB = \frac{AB}{2} \)，且 \( OEPF \) 是矩形（\( AB \perp CD \)），故 \( OE = PF \)，\( OF = PE \)；

2. 由勾股定理，\( AE^2 + OE^2 = OA^2 = 25 \)，且 \( PE = |PA - AE| = |1 - AE| \)，\( OP^2 = OE^2 + PE^2 = 9 \)；

3. 设 \( AE = x \)，则 \( OE^2 = 25 - x^2 \)，\( (x - 1)^2 + (25 - x^2) = 9 \)，解得 \( x = 4 \)，故 \( AB = 8 \)，\( PB = AB - PA = 7 \)；

4. 由相交弦定理 \( PC \cdot PD = PA \cdot PB = 1 \times 7 = 7 \)。

答案：\( 7 \)

例题8：割线定理与比例线段

题目：如图，\( AB \) 是圆 \( O \) 的直径，\( C \) 是圆上一点，\( CD \perp AB \) 于 \( D \)，延长 \( CD \) 交圆于 \( E \)，过 \( B \) 作圆的切线交 \( CE \) 的延长线于 \( F \)，求证：\( FD \cdot FE = FC^2 \)。

1. 由切割线定理，\( FB^2 = FE \cdot FC \)（\( FB \) 是切线，\( FEC \) 是割线）；

2. 连接 \( BC \)，因 \( AB \) 是直径，故 \( \angle ACB = 90^\circ \)，又 \( CD \perp AB \)，故 \( \angle BCD = \angle A \)；

3. 因 \( FB \) 是切线，故 \( \angle FBC = \angle A \)（弦切角等于圆周角），故 \( \angle FBC = \angle BCD \)，即 \( FB = FC \)；

4. 代入切割线定理：\( FC^2 = FE \cdot FC \)，整理得 \( FD \cdot FE = FC^2 \)（需补充 \( FD \) 与 \( FC \) 的关系，此处省略细节）。

例题9：圆幂定理的实际应用（测量半径）

题目：某人站在墙外，想测量墙内圆型花园的半径。他从墙外点 \( P \) 引两条直线：一条与花园相切于 \( T \)，另一条与花园交于 \( A,B \)，测得 \( PT = 8 \) 米，\( PA = 4 \) 米，求花园半径 \( R \)（已知 \( P \) 到墙的距离为 \( 5 \) 米，墙过圆心 \( O \)）。

1. 设 \( PO = d \)，因墙过 \( O \) 且 \( P \) 到墙的距离为 \( 5 \) 米，故 \( d > 5 \)，且 \( O \) 在墙内，\( PO \) 与墙垂直时 \( d = 5 + R \)（简化模型）；

2. 由切割线定理 \( PT^2 = PA \cdot PB \)，\( PB = PA + AB \)，但更直接用圆幂公式：\( PT^2 = d^2 - R^2 \)；

3. 因 \( d = 5 + R \)，代入得 \( 8^2 = (5 + R)^2 - R^2 \)，即 \( 64 = 25 + 10R \)，解得 \( R = 3.9 \) 米。

答案：\( 3.9 \) 米

例题10：综合题（多定理结合）

题目：如图，\( \triangle ABC \) 内接于圆 \( O \)，\( AD \) 平分 \( \angle BAC \) 交圆于 \( D \)，过 \( D \) 作圆的切线交 \( AC \) 的延长线于 \( E \)，求证：\( DE^2 = EC \cdot EA \)。

1. 由切割线定理，\( DE^2 = EC \cdot EA \) 是切割线定理的直接形式（\( DE \) 是切线，\( EAC \) 是割线），但需验证 \( EAC \) 是割线；

2. 因 \( D \) 在圆上，\( DE \) 是切线，\( E \) 在 \( AC \) 延长线上，故 \( EA \) 过 \( E,C,A \)，且 \( A,C \) 在圆上，因此 \( EAC \) 是圆 \( O \) 的割线；

3. 直接应用切割线定理：\( DE^2 = EC \cdot EA \)，得证（本题本质是切割线定理的直接应用，需注意“延长线”的割线定义）。

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