不等式 02 绝对值不等式、绝对值三角不等式

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一、绝对值的基本定义（基础前提）

在理解不等式前，需先明确绝对值的代数与几何意义，这是推导所有性质的基础：

代数意义：对任意实数\(a\)，其绝对值定义为：\(|a| = \begin{cases}a & (a > 0) \\0 & (a = 0) \\-a & (a < 0)\end{cases}\)

核心是“非负性”——\(|a| \geq 0\)，且仅当\(a = 0\)时取等号。

几何意义：在数轴上，\(|a|\)表示“实数\(a\)对应的点到原点的距离”；

推广到两点间距离，\(|x - a|\)表示“数轴上点\(x\)到点\(a\)的距离”（这是解绝对值不等式的关键直观工具）。

二、含绝对值的一元一次不等式（具体求解）

基本形式为\(|ax + b| < c\)或\(|ax + b| > c\)（\(a \neq 0\)，\(c\)为常数），需根据\(c\)的正负性分类讨论，核心是“去掉绝对值符号”，转化为不含绝对值的常规不等式。

设不等式为\(|f(x)| < k\)或\(|f(x)| > k\)（其中\(f(x) = ax + b\)，\(k\)为常数），具体解法如下：

\(|f(x)| < k\)，\(k > 0\) 等价转化 \(-k < f(x) < k\) ，几何意义： 点\(f(x)\)到原点的距离小于\(k\)

\(|f(x)| < k\)，\(k = 0\) 等价转化 \(f(x) = 0\) ，几何意义： 点\(f(x)\)与原点重合

\(|f(x)| < k\)，\(k < 0\) 等价转化 无解（距离不可能为负） ，几何意义：无符合条件的点

\(|f(x)| > k\)，\(k > 0\) 等价转化 \(f(x) > k\) 或 \(f(x) < -k\) ，几何意义：点\(f(x)\)到原点的距离大于\(k\)

\(|f(x)| > k\)，\(k = 0\) 等价转化 \(f(x) \neq 0\)（除原点外所有点） ，几何意义： 点\(f(x)\)不与原点重合

\(|f(x)| > k\)，\(k < 0\) 等价转化全体实数（距离恒大于负数） ，几何意义： 所有点均符合条件

例1：求解\(|2x - 1| < 3\)

解：

1. 由前提\(k = 3 > 0\)，等价转化为：\(-3 < 2x - 1 < 3\)；

2. 解中间不等式：

左半部分：\(-3 < 2x - 1 \implies -2 < 2x \implies x > -1\)；

右半部分：\(2x - 1 < 3 \implies 2x < 4 \implies x < 2\)；

3. 合并解集：\(-1 < x < 2\)（区间表示：\((-1, 2)\)）。

例2：求解\(|3x + 2| > 5\)

解：

1. 由前提\(k = 5 > 0\)，等价转化为：\(3x + 2 > 5\) 或 \(3x + 2 < -5\)；

2. 分别解两个不等式：

第一个：\(3x + 2 > 5 \implies 3x > 3 \implies x > 1\)；

第二个：\(3x + 2 < -5 \implies 3x < -7 \implies x < -\frac{7}{3}\)；

3. 合并解集：\(x < -\frac{7}{3}\) 或 \(x > 1\)（区间表示：\((-\infty, -\frac{7}{3}) \cup (1, +\infty)\)）。

三、绝对值三角不等式（核心性质）

绝对值三角不等式是描述“两个（或多个）数绝对值的和/差与和/差的绝对值之间关系”的不等式，因其形式类似三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）而得名，是解决绝对值最值、证明的核心工具。

对任意实数\(a, b\)，以下不等式恒成立：\(||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|\)

需重点掌握“等号成立条件”（应用中需判断何时取最值），具体拆解如下：

\(|a + b| \leq |a| + |b|\) 取等条件： \(ab \geq 0\)（\(a, b\)同号或至少一个为0）几何意义：点\(a\)、\(b\)在原点同侧（或过原点），距离叠加

\(|a + b| \geq ||a| - |b||\) 取等条件： \(ab \leq 0\)（\(a, b\)异号或至少一个为0）几何意义：点\(a\)、\(b\)在原点异侧（或过原点），距离抵消

\(|a - b| \leq |a| + |b|\) 取等条件：\(ab \leq 0\)（\(a, -b\)同号，即\(a, b\)异号）几何意义：点\(a\)、\(b\)在原点异侧，距离叠加

\(|a - b| \geq ||a| - |b||\) 取等条件： \(ab \geq 0\)（\(a, -b\)异号，即\(a, b\)同号）几何意义：点\(a\)、\(b\)在原点同侧，距离抵消

对任意实数\(a_1, a_2, \dots, a_n\)，不等式可推广为：

\(||a_1| - |a_2| - \dots - |a_n|| \leq |a_1 + a_2 + \dots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|\)

右侧“和的绝对值≤绝对值的和”等号成立条件：所有数同号（或部分为0）；

左侧“和的绝对值≥绝对值的差”等号成立条件：其余数与“绝对值最大的数”同号（或为0）。

例1：求\(y = |x - 1| + |x + 2|\)的最小值。

解：

方法1（三角不等式）：将\(y\)变形为\(|x - 1| + |x - (-2)|\)，根据\(|a| + |b| \geq |a - b|\)，令\(a = x - 1\)，\(b = - (x + 2)\)，则：

\(|x - 1| + |x + 2| = |x - 1| + |-(x + 2)| \geq |(x - 1) - (x + 2)| = |-3| = 3\)

当且仅当\((x - 1)(x + 2) \leq 0\)（即\(-2 \leq x \leq 1\)）时，等号成立，故最小值为3。

方法2（几何意义）：\(|x - 1|\)是点\(x\)到1的距离，\(|x + 2|\)是点\(x\)到-2的距离，\(y\)表示“点\(x\)到1和-2两点的距离之和”。当\(x\)在-2和1之间（含端点）时，距离和最小，即1与-2的距离3。

例2：证明对任意实数\(a, b\)，有\(|a^2 + b^2| \geq \frac{1}{2}(|a + b|^2)\)。

证明：

1. 由三角不等式\(|a + b| \leq |a| + |b|\)，两边平方（非负，不等号方向不变）：

\(|a + b|^2 \leq (|a| + |b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2\)

2. 由基本不等式\(2|a||b| \leq |a|^2 + |b|^2\)（\((|a| - |b|)^2 \geq 0\)展开可得），代入上式：

\(|a + b|^2 \leq |a|^2 + (|a|^2 + |b|^2) + |b|^2 = 2(|a|^2 + |b|^2)\)

3. 又因\(|a^2 + b^2| = a^2 + b^2 = |a|^2 + |b|^2\)（平方数非负），故：

\(|a + b|^2 \leq 2|a^2 + b^2| \implies |a^2 + b^2| \geq \frac{1}{2}|a + b|^2\)

得证。

四、核心总结与易错点提醒

1. 解绝对值不等式的关键：先判断常数\(k\)的正负，再准确转化为不含绝对值的不等式（注意“或”与“且”的区别：\(|f(x)| > k\)用“或”，\(|f(x)| < k\)用“且”）。

2. 三角不等式的核心：记住“和的绝对值≤绝对值的和”“差的绝对值≥绝对值的差”，并熟练掌握等号成立条件（直接影响最值求解的正确性）。

3. 易错点：

解\(|ax + b| < k\)时，若\(k \leq 0\)，易误写为“全体实数”或“无解”（需严格按\(k\)的正负分类）；

用三角不等式求最值时，易忽略等号成立的条件（需验证“何时取到最值”，否则结果不完整）。

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