函数 03 分段函数：定义域、值域、求导方法

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、分段函数的定义

分段函数是指在定义域的不同区间上，用不同表达式表示的函数。分段函数是一个函数，不是多个函数。其形式通常为：

\(f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in D_1 \\f_2(x), & x \in D_2 \\\vdots & \vdots \\f_n(x), & x \in D_n \\\end{cases}\)

其中，\(D_1, D_2, \dots, D_n\) 是定义域的互不相交子集，且它们的并集为整个定义域。

二、分段函数的定义域

1. 定义：分段函数的定义域是各分段区间的并集，即所有分段表达式对应定义域的交集为空、并集为整体的区间组合。

2. 求解步骤：

分别求出每个分段表达式的自然定义域（如分式分母不为0、偶次根式被开方数非负等）。

结合分段条件（如 \(x < a\)、\(x \geq b\) 等）确定每个分段的实际定义域。

所有分段定义域的并集即为整个函数的定义域。

3. 例：

函数 \(f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \geq 0 \\\frac{1}{x-1}, & x < 0 \end{cases}\)

第一段 \(\sqrt{x}\) 的自然定义域为 \(x \geq 0\)，结合分段条件，定义域为 \([0, +\infty)\)；

第二段 \(\frac{1}{x-1}\) 的自然定义域为 \(x \neq 1\)，结合分段条件 \(x < 0\)，定义域为 \((-\infty, 0)\)；

故整体定义域为 \((-\infty, 0) \cup [0, +\infty) = \mathbb{R}\)。

三、分段函数的值域

1. 定义：分段函数的值域是各分段表达式在对应定义域上的值域的并集。

2. 求解步骤：

分别求出每个分段在其定义域上的值域（可通过单调性、图像、最值等方法）。

合并所有分段的值域，去除重复部分，得到整体值域。

3. 例：

函数 \(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \in [-1, 1] \\2x-1, & x \in (1, 3] \end{cases}\)

第一段 \(x^2\) 在 \([-1, 1]\) 上的值域为 \([0, 1]\)（当 \(x=0\) 取最小值0，\(x=\pm1\) 取最大值1）；

第二段 \(2x-1\) 在 \((1, 3]\) 上单调递增，值域为 \((1, 5]\)（\(x=1\) 时趋近1，\(x=3\) 时取5）；

故整体值域为 \([0, 1] \cup (1, 5] = [0, 5]\)。

四、分段函数的图像

1. 绘制步骤：

确定各分段的定义域区间，用数轴标记分界点（注意开区间/闭区间对应空心点/实心点）。

分别绘制每个分段在对应区间内的图像（按基本函数图像性质绘制，如一次函数、二次函数、指数函数等）。

检查分界点处的函数值是否连续（若分段点处左右表达式均有定义，需验证 \(f(x_0^-) = f(x_0^+) = f(x_0)\)）。

2. 例：绘制 \(f(x) = \begin{cases} -x, & x < 0 \\x^2, & x \geq 0 \end{cases}\) 的图像：

当 \(x < 0\) 时，图像为斜率为 \(-1\) 的射线（过原点，向左下方延伸，\(x=0\) 处为空心点）；

当 \(x \geq 0\) 时，图像为开口向上的抛物线 \(y=x^2\)（\(x=0\) 处为实心点，与左段在 \(x=0\) 处连续）。

五、分段函数的求导方法

1. 内部区间求导：在每个分段的开区间内，直接对表达式求导（按基本求导公式，如多项式、指数、对数函数等）。

2. 分界点处的导数（关键难点）：

需用导数定义判断左右导数是否存在且相等，即：

左导数：\(f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)

右导数：\(f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)

若 \(f'_-(x_0) = f'_+(x_0)\)，则分界点处可导，导数为该值；否则不可导。

3. 注意事项：

若分段点处函数不连续，则一定不可导（连续是可导的必要条件）。

若分段点两侧表达式不同，必须用定义求导，不能直接代公式（除非表达式在分界点处可合并）。

六、分段函数例题及解析

例题1：求定义域与值域

函数：\(f(x) = \begin{cases} \ln(x+1), & x > 0 \\\frac{1}{x}, & -1 < x \leq 0 \\x^2 - 2x, & x \leq -1 \end{cases}\)

解析：

定义域：

第一段：\(x > 0\)；

第二段：\(-1 < x \leq 0\)；

第三段：\(x \leq -1\)；

并集为 \((-\infty, +\infty)\)，即全体实数。

值域：

第一段 \(\ln(x+1)\) 在 \(x > 0\) 时，\(x+1 > 1\)，故 \(\ln(x+1) > 0\)，值域为 \((0, +\infty)\)；

第二段 \(\frac{1}{x}\) 在 \(-1 < x \leq 0\) 时，\(x \in (-1, 0]\)，故 \(\frac{1}{x} \in (-\infty, -1]\)；

第三段 \(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1\) 在 \(x \leq -1\) 时单调递减，\(x=-1\) 时取最小值 \(3\)，值域为 \([3, +\infty)\)；

整体值域为 \((-\infty, -1] \cup (0, +\infty) \cup [3, +\infty) = (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)\)。

例题2：绘制图像

函数：\(f(x) = \begin{cases} 2^x, & x < 1 \\2, & x = 1 \\-x + 3, & x > 1\end{cases}\)

解析：

\(x < 1\) 时，图像为指数函数 \(y=2^x\)，左段在 \(x=1\) 处趋近 \(2^1=2\)（空心点）；

\(x=1\) 时，函数值为 \(2\)（实心点）；

\(x > 1\) 时，图像为直线 \(y=-x+3\)，\(x=1\) 时趋近 \(2\)（空心点），与左段和中点连续，整体图像在 \(x=1\) 处连续。

例题3：分界点处的可导性判断

函数：\(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\x, & x < 0 \end{cases}\)，求 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处的导数。

解析：

左导数（\(x < 0\)）：

\(f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - 0}{x} = 1\)

右导数（\(x \geq 0\)）：

\(f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0\)

由于 \(f'_-(0) \neq f'_+(0)\)，故 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处不可导。

例题4：分段函数求导（连续可导）

函数：\(f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \\x + 1, & x > 0 \end{cases}\)，求 \(f'(x)\)。

解析：

当 \(x < 0\) 时，\(f'(x) = (e^x)' = e^x\)；

当 \(x > 0\) 时，\(f'(x) = (x+1)' = 1\)；

分界点 \(x=0\) 处：

左导数：\(f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)（利用 \(e^x \approx 1 + x\) 或洛必达法则）；

右导数：\(f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x+1) - 1}{x} = 1\)；

左右导数相等，故 \(f'(0) = 1\)。

最终导数：\(f'(x) = \begin{cases} e^x, & x < 0 \\1, & x \geq 0 \end{cases}\)。

例题5：含绝对值的分段函数处理

函数：\(f(x) = |x^2 - 1|\)，求定义域、值域、导数。

解析：

分段表达式：

\(f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \leq -1 \text{ 或 } x \geq 1 \\1 - x^2, & -1 < x < 1 \end{cases}\)

定义域：\(\mathbb{R}\)；

值域：

\(x \leq -1\) 或 \(x \geq 1\) 时，\(x^2 - 1 \geq 0\)；

\(-1 < x < 1\) 时，\(1 - x^2 \in (0, 1]\)；

故值域为 \([0, +\infty)\)；

导数：

当 \(x < -1\) 或 \(x > 1\) 时，\(f'(x) = 2x\)；

当 \(-1 < x < 1\) 时，\(f'(x) = -2x\)；

分界点 \(x = \pm1\) 处：

以 \(x=1\) 为例，左导数 \(f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1 - x^2 - 0}{x - 1} = -2\)，右导数 \(f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1 - 0}{x - 1} = 2\)，左右导数不等，故 \(x=1\) 处不可导；同理 \(x=-1\) 处也不可导。

七、总结

分段函数的核心是“按区间拆分处理”，定义域和值域通过并集整合，图像需注意分界点连续性，求导时尤其要在分界点处用定义验证左右导数。熟练掌握基本函数性质和极限运算，是解决分段函数问题的关键。

八、常见的分段函数

（1）绝对值函数

函数形式：\(y = |x|\)，它可以写成分段函数的形式\(y=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\geqslant0\\ - x, & x < 0\end{array}\right.\)。

图像特点：其图像是以原点为转折点的“V”字形。当\(x\geqslant0\)时，函数图像是直线\(y = x\)；当\(x < 0\)时，函数图像是直线\(y=-x\)。

例如，\(y = |x - 1|\)可以写成\(y=\left\{\begin{array}{ll}x - 1, & x\geqslant1\\1 - x, & x < 1\end{array}\right.\)，它的图像是将\(y = |x|\)的图像向右平移\(1\)个单位得到的。

应用场景：在距离问题、误差分析等场景中经常出现。比如计算一个点到另一个点的距离，当坐标差值为正时和为负时，距离都用绝对值表示。

（2）符号函数

函数形式：\(y=\text{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x > 0\\0, & x = 0\\ - 1, & x < 0\end{array}\right.\)。

图像特点：函数图像是在\(x>0\)时为水平直线\(y = 1\)，在\(x = 0\)时为点\((0,0)\)，在\(x < 0\)时为水平直线\(y=-1\)。

应用场景：在计算机科学、信号处理等领域用于判断一个数的正负性相关的操作。例如，在控制系统中判断信号的方向。

（3）取整函数

函数形式：\(y = [x]\)，表示不超过\(x\)的最大整数。

例如，\([3.7]=3\)，\([-2.3]=-3\)。它可以写成\(y=\left\{\begin{array}{ll}n, & n\leqslant x < n + 1,n\in Z\end{array}\right.\)。

图像特点：图像呈阶梯状。在每个整数区间\([n,n + 1)\)（\(n\in Z\)）内，函数值保持为\(n\)，然后在整数点处发生跳跃。

应用场景：在统计人数、计算物品个数等需要取整的实际问题中广泛应用。比如计算一个仓库能容纳完整包装物品的数量。

（4）阶梯收费函数

函数形式（以水电费为例）：设水费的收费标准为：当用水量\(x\leqslant a\)时，每吨水费为\(m\)元；当用水量\(x > a\)时，超出部分每吨水费为\(n\)元（\(n>m\)）。则水费\(y\)关于用水量\(x\)的函数为\(y=\left\{\begin{array}{ll}mx, & x\leqslant a\\ma+(x - a)n, & x > a\end{array}\right.\)。

图像特点：在用水量未超过\(a\)时，函数图像是一条斜率为\(m\)的直线；当用水量超过\(a\)后，函数图像是另一条斜率为\(n\)的直线，在\(x = a\)处有一个转折点。

应用场景：在各种收费系统中，如水电费、出租车计费（起步价加上超出里程的费用）等场景经常使用。

（5）行程问题

一辆汽车在不同的路段有不同的速度。假设汽车在\(0\leq t\leq2\)小时内，速度\(v = 50\)千米/小时；在\(t>2\)小时后，速度\(v = 60\)千米/小时。那么汽车行驶的路程\(s\)与时间\(t\)之间的函数关系是\(s=\begin{cases}50t, & 0\leq t\leq2\\100 + 60(t - 2), & t>2\end{cases}\)。