指数函数 04 根式运算、化简、根式不等式、有理化

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、根式的定义

若\(x^{n}=a\)（\(n\)是大于\(1\)的正整数），那么\(x\)叫做\(a\)的\(n\)次方根。

当\(n\)为偶数时，正数\(a\)有两个\(n\)次方根，它们互为相反数，记为\(\pm\sqrt[n]{a}\)；负数没有偶次方根！

当\(n\)为奇数时，正数\(a\)的\(n\)次方根是一个正数，负数\(a\)的\(n\)次方根是一个负数，都记为\(\sqrt[n]{a}\)。

式子\(\sqrt[n]{a}\)叫做根式，这里\(n\)叫做根指数（\(n\)是大于\(1\)的正整数），\(a\)叫做被开方数。

例如，\(2^{2}=4\)，\(( - 2)^{2}=4\)，所以\(4\)的平方根是\(\pm2\)，记为\(\pm\sqrt{4}\)；\(2^{3}=8\)，所以\(8\)的立方根是\(2\)，记为\(\sqrt[3]{8}\)。

二、根式的性质

当\(n\)为奇数时：\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\)

例如，\(\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2\)，因为\((-2)^{3}=-8\)，而\(\sqrt[3]{-8}=-2\)。

当\(n\)为偶数时：\(\sqrt[n]{a^{n}}=\vert a\vert\)

例如，\(\sqrt{4^{2}}=\vert4\vert = 4\)，\(\sqrt{(-4)^{2}}=\vert - 4\vert = 4\)。

这是因为当\(n\)为偶数时，\(a^{n}\)恒为非负数，开方后得到的结果也应该是非负的，所以是\(a\)的绝对值。

根式的乘法性质：\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)（\(a\geqslant0\)，\(b\geqslant0\)）

例如，\(\sqrt{4\times9}=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=2\times3 = 6\)。

根式的除法性质：\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)（\(a\geqslant0\)，\(b > 0\)）

例如，\(\sqrt{\frac{16}{4}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2}=2\)。

三、根式的化简

化简根式：把被开方数分解因数，将能开得尽方的因数或因式开出来。

例如，化简\(\sqrt{72}\)，先将\(72\)分解因数为\(72 = 36\times2\)，则\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)。

根式的有理化-分母有理化：当分母中含有根式时，通过一些运算将分母化为有理数的过程叫做分母有理化。

例如，对于\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，为了将分母有理化，分子分母同时乘以\(\sqrt{2}\)，得到\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。

对于含有形如\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)的分母，可利用平方差公式\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b\)进行分母有理化。

如对于\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)，分子分母同时乘以\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)，得到\(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)。

根式的有理化-分子有理化：与分母有理化类似，分子有理化是将分子中的根式去掉的过程。

例如，对于式子\(\sqrt{x + 1}-\sqrt{x}\)，为了便于分析其性质，可进行分子有理化。

分子分母同时乘以\(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}\)，得到\(\frac{(\sqrt{x + 1}-\sqrt{x})(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}=\frac{(x + 1)-x}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}\)。

复合根式的化简：对于复合根式\(\sqrt{a+\sqrt{b}}\)（\(a,b>0\)），有时可以通过设元的方法进行化简。

例如，对于\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)，设\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)（\(x,y>0\)），两边平方得

\(5 + 2\sqrt{6}=x + y + 2\sqrt{xy}\)，则\(\begin{cases}x + y = 5\\xy = 6\end{cases}\)，解这个方程组得\(\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\)或\(\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}\)，所以

\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)。

四、根式的运算

根式的加减法：先将根式化为最简根式，然后合并同类根式。同类根式是指根指数和被开方数都相同的根式。

例如，计算\(\sqrt{12}+\sqrt{27}\)，化简得\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)，所以

\(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)。

根式的乘除法：利用根式的乘除性质进行计算。

例如，计算\(\sqrt{6}\times\sqrt{3}\)，根据\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)，可得\(\sqrt{6}\times\sqrt{3}=\sqrt{6\times3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)。

计算\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}\)，根据\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)，可得\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}\)。

五、根式不等式

1. 根式不等式的定义及常见类型

定义：根式不等式是指不等式中含有根式的一类不等式。

例如，\(\sqrt{x - 1} > 2\)、\(\sqrt{2x + 3} < x\)等都是根式不等式，其特点就是不等式的表达式中至少有一项是根式的形式。

常见类型：

形如\(\sqrt{f(x)} > g(x)\)的不等式，比如\(\sqrt{x + 2} > 3x - 1\)。

形如\(\sqrt{f(x)} < g(x)\)的不等式，像\(\sqrt{3 - x} < 2x\)。

还有形如\(\sqrt{f(x)} \geq g(x)\)、\(\sqrt{f(x)} \leq g(x)\)等不等式类型，例如\(\sqrt{x^{2} - 1} \leq x\)。

2. 求解根式不等式的基本思路与方法

基本原则：

由于根式本身有取值范围的限制（根号下的式子非负），所以首先要确定使根式有意义的自变量取值范围，也就是要先求出\(f(x) \geq 0\)的解集。

然后根据不等式两边的正负情况进行分类讨论，并通过适当的变形来求解不等式。

对于\(\sqrt{f(x)} > g(x)\)型不等式的求解方法：

步骤一：确定根式有意义的范围：

先解不等式\(f(x) \geq 0\)，确定\(x\)的初步取值范围。

例如，对于不等式\(\sqrt{x - 1} > 2\)，要先解\(x - 1 \geq 0\)，得到\(x \geq 1\)。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当\(g(x) < 0\)时，只要满足\(f(x) \geq 0\)，原不等式就成立。

例如，在不等式\(\sqrt{x - 1} > 2 - x\)中，若\(2 - x < 0\)即\(x > 2\)，同时\(x \geq 1\)（由根式有意义的条件得出），那么\(x > 2\)这个范围就满足原不等式。

情况二：当\(g(x) \geq 0\)时，两边同时平方（因为此时两边都是非负的，可以平方保持不等号方向不变）来去掉根号，得到\(f(x) > g(x)^{2}\)，再解这个新的不等式。

例如，对于\(\sqrt{x - 1} > 2\)（这里\(2 \geq 0\)），两边平方得\(x - 1 > 4\)，即\(x > 5\)，结合前面\(x \geq 1\)的条件，最终不等式的解集就是\(x > 5\)。

对于\(\sqrt{f(x)} < g(x)\)型不等式的求解方法：

步骤一：同样先确定根式有意义的范围：

先求解\(f(x) \geq 0\)，确定\(x\)能取值的大致区间。例如对于\(\sqrt{3 - x} < 2x\)，先解\(3 - x \geq 0\)，得到\(x \leq 3\)。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当\(g(x) \leq 0\)时，原不等式无解，因为根号下的数是非负的，不可能小于一个非正数。

情况二：当\(g(x) > 0\)时，两边同时平方去掉根号，得到\(f(x) < g(x)^{2}\)，然后解这个不等式。比如对于\(\sqrt{3 - x} < 2x\)（这里\(2x > 0\)即\(x > 0\)），两边平方得\(3 - x < 4x^{2}\)，整理为\(4x^{2} + x - 3 > 0\)，因式分解得\((4x - 3)(x + 1) > 0\)，解得\(x > \frac{3}{4}\)或\(x < - 1\)，再结合\(x \leq 3\)和\(x > 0\)的条件，最终解集为\(x > \frac{3}{4}\)且\(x \leq 3\)，即\(\frac{3}{4} < x \leq 3\)。

3. 求解根式不等式的注意事项

平方操作的条件性：

只有当不等式两边都是非负的时候，才能通过两边平方的方式去掉根号进行求解，否则平方后不等号方向可能会出现错误，导致解集出错。

检验解集的准确性：

求出解集后，最好选取解集中的几个值代入原不等式进行检验，确保所得到的解集是完全正确的，避免出现增根或漏解的情况。例如在求解复杂的根式不等式经过多次变形后，有可能会引入一些不符合原不等式的多余解，通过检验就能发现并排除这些情况。

4. 应用举例

求解不等式\(\sqrt{2x + 5} \leq x + 1\)。

步骤一：确定根式有意义的范围：

解\(2x + 5 \geq 0\)，得\(x \geq -\frac{5}{2}\)。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当\(x + 1 \leq 0\)即\(x \leq - 1\)时，原不等式无解，因为根号下是非负的，不可能小于等于一个非正数。

情况二：当\(x + 1 > 0\)即\(x > - 1\)时，两边同时平方得\(2x + 5 \leq (x + 1)^{2}\)，展开并整理得\(x^{2} - 3\)，因式分解得\((x - 3)(x + 1) \geq 0\)，解得\(x \geq 3\)或\(x \leq - 1\)，结合\(x > - 1\)的条件，最终解集为\(x \geq 3\)。

综上，不等式\(\sqrt{2x + 5} \leq x + 1\)的解集为\(x \geq 3\)。

一、分数指数幂的定义

对于正分数指数幂，规定\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)（\(a > 0\)，\(m,n\in N^+\)，且\(n > 1\)）。

例如，\(8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4\)。

这是将根式运算与指数幂运算联系起来的一种定义方式，它使得指数的范围从整数扩展到了分数。

对于负分数指数幂，规定\(a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\)（\(a > 0\)，\(m,n\in N^+\)，且\(n > 1\)）。

例如，\(27^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27^{2}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{729}}=\frac{1}{9}\)。

二、分数指数幂的运算性质

同底数幂相乘：\(a^{\frac{m}{n}}\times a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m + p}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p\in N^+\)，且\(n > 1\)）

例如，\(3^{\frac{1}{2}}\times3^{\frac{3}{2}}=3^{\frac{1 + 3}{2}}=3^{2}=9\)

这一性质与整数指数幂的同底数幂相乘性质\(a^{m}\times a^{n}=a^{m + n}\)类似，只不过指数为分数形式。

同底数幂相除：\(a^{\frac{m}{n}}\div a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m - p}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p\in N^+\)，且\(n > 1\)）

例如，\(4^{\frac{3}{2}}\div4^{\frac{1}{2}}=4^{\frac{3 - 1}{2}}=4^{1}=4\)

同样类似于整数指数幂的同底数幂相除性质\(a^{m}\div a^{n}=a^{m - n}\)。

幂的乘方：\((a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p,q\in N^+\)，且\(n > 1\)，\(q > 1\)）

例如，\((2^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{2\times3}{3\times4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

该性质也是整数指数幂幂的乘方性质\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)在分数指数幂中的推广。

三、负数与0的分数指数幂

1. 负数的分数指数幂

分母为偶数的情况：

当指数的分母为偶数时，负数的分数指数幂在实数范围内没有意义。这是因为在实数范围内，负数开偶次方根没有定义。例如，考虑\((-1)^{\frac{1}{2}}\)，它相当于求\(-1\)的平方根。根据平方根的定义，对于任何实数\(x\)，\(x^{2}\geq0\)，所以不存在一个实数使得它的平方是\(-1\)，即\((-1)^{\frac{1}{2}}\)在实数范围内无意义。

分母为奇数的情况：

当指数的分母为奇数时，负数的分数指数幂有意义。此时定义\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)（\(a < 0\)，\(m,n\in N^+\)，\(n\)为奇数）。例如，\((-8)^{\frac{1}{3}}\)，因为\(n = 3\)是奇数，所以\((-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2\)，这里\((-2)^{3}=-8\)，符合分数指数幂的定义。

2. 0的分数指数幂

正分数指数幂：

\(0\)的正分数指数幂等于\(0\)。即\(0^{\frac{m}{n}} = 0\)（\(m,n\in N^+\)，\(n > 1\)）。这是因为\(0\)的任何正整数次幂都是\(0\)，所以当指数为正分数时，根据分数指数幂与根式的关系\(0^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{0^{m}}\)，其结果也为\(0\)。例如，\(0^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{0^{3}} = 0\)。

负分数指数幂：

\(0\)的负分数指数幂没有意义。因为\(0\)的负分数指数幂等于\(\frac{1}{0^{\frac{m}{n}}}\)（\(m,n\in N^+\)，\(n > 1\)），而分母不能为\(0\)，所以\(0\)的负分数指数幂不存在。例如，\(0^{-\frac{2}{3}}\)是没有意义的。

四、分数指数幂与根式的关系

1. 分数指数幂与根式的相互定义关系

分数指数幂到根式的转换：

对于正分数指数幂\(a^{\frac{m}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n\in N^+\)，且\(n > 1\)），它被定义为\(n\)次根式的形式，即\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)。

例如，\(4^{\frac{3}{2}}\)可以写成\(\sqrt[2]{4^{3}}\)，进一步计算可得\(\sqrt{64}=8\)。

这表明正分数指数幂是根式的一种指数形式的表示方法，通过这种定义，将指数幂运算与根式运算联系起来。

根式到分数指数幂的转换：

反过来，根式\(\sqrt[n]{a^{m}}\)（\(a > 0\)，\(m,n\in N^+\)，且\(n > 1\)）可以用分数指数幂表示为\(a^{\frac{m}{n}}\)。

例如，\(\sqrt[3]{x^{2}}\)可以写成\(x^{\frac{2}{3}}\)。

这种转换使得在进行一些复杂的根式运算时，可以利用指数幂的运算性质来简化计算。

2. 运算性质的联系与对比

指数幂运算性质在分数指数幂和根式中的体现：

同底数幂相乘性质：

在分数指数幂中，同底数幂相乘\(a^{\frac{m}{n}}\times a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m + p}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p\in N^+\)，且\(n > 1\)）。

例如，\(2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1 + 2}{3}}=2^{1}=2\)。

对于根式，若将其转换为分数指数幂后也遵循相同的规律。

例如，\(\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{4}\)，将其写成\(2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{2}{3}}\)（因为\(\sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}\)），结果为\(2\)，这和直接用根式运算\(\sqrt[3]{2\times4}=\sqrt[3]{8}=2\)是一致的。

同底数幂相除性质：

分数指数幂的同底数幂相除\(a^{\frac{m}{n}}\div a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m - p}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p\in N^+\)，且\(n > 1\)）。

例如，\(3^{\frac{3}{4}}\div3^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{3 - 1}{4}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)。

对于根式，如\(\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3}}\)，写成分数指数幂形式为\(3^{\frac{3}{4}}\div3^{\frac{1}{4}}\)，结果为\(\sqrt{3}\)，也和直接用根式运算\(\sqrt[4]{\frac{27}{3}}=\sqrt[4]{9}=\sqrt{3}\)相同。

幂的乘方性质：

分数指数幂的幂的乘方\((a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p,q\in N^+\)，且\(n > 1\)，\(q > 1\)）。

例如，\((2^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{2\times3}{3\times4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)。

对于根式，如\((\sqrt[3]{x^{2}})^{\frac{3}{2}}\)，转换为分数指数幂为\((x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}=x^{\frac{2\times3}{3\times2}}=x^{1}=x\)，这和直接用根式运算\(\sqrt[3]{(x^{2})^{\frac{3}{2}}}=\sqrt[3]{x^{3}}=x\)等价。

3. 在化简与求值中的相互应用

化简中的应用：

利用分数指数幂和根式的转换来化简式子。

例如，化简\(\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}\)，可将其写成\((x^{2}y^{4})^{\frac{1}{3}}\)，再根据指数幂运算性质展开得到\(x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}\)。反之，对于\(a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\)，可以写成\(\sqrt[5]{a^{3}b^{2}}\)的根式形式来化简一些复杂的指数幂式子。

求值中的应用：

在求值过程中，根据具体情况灵活转换。

例如，计算\((\sqrt[4]{81})^{3}\)，可以先将\(\sqrt[4]{81}\)写成\(81^{\frac{1}{4}}\)，那么\((\sqrt[4]{81})^{3}=(81^{\frac{1}{4}})^{3}=81^{\frac{3}{4}}\)，再进一步计算\(81^{\frac{3}{4}}=(3^{4})^{\frac{3}{4}}=3^{3}=27\)。或者先求出\(\sqrt[4]{81}=3\)，再计算\(3^{3}=27\)。

1. 无理数指数幂的定义

对于无理数指数幂\(a^{\alpha}\)（\(a>0\)，\(\alpha\)是无理数），它是通过有理数指数幂来逼近定义的。例如，\(\sqrt{2}\)是无理数，考虑\(a^{\sqrt{2}}\)的定义。

我们知道\(\sqrt{2}\)可以用有理数序列来逼近，如\(1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots\)这些有理数逐渐逼近\(\sqrt{2}\)。

那么\(a^{\sqrt{2}}\)就定义为当\(r_n\)（\(r_n\)是逼近\(\sqrt{2}\)的有理数序列）趋近于\(\sqrt{2}\)时，\(a^{r_n}\)的极限。即\(a^{\sqrt{2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}\)。

2. 无理数指数幂的运算性质

无理数指数幂的运算性质和有理数指数幂的运算性质相似。

对于\(a>0\)，\(b>0\)，\(\alpha\)，\(\beta\)是无理数：

\(a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha + \beta}\)。例如，\(2^{\sqrt{3}}2^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)。这个性质可以通过有理数指数幂逼近的极限性质来证明。当用有理数序列\(r_{n1}\)逼近\(\alpha\)，\(r_{n2}\)逼近\(\beta\)时，\(a^{r_{n1}}a^{r_{n2}}=a^{r_{n1}+r_{n2}}\)，取极限后就得到\(a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha + \beta}\)。

\((a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}\)。比如\((3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{2}\times\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{6}}\)。同样可以利用有理数逼近和极限的运算来证明，当\(r_{n1}\)逼近\(\alpha\)，\(r_{n2}\)逼近\(\beta\)时，\((a^{r_{n1}})^{r_{n2}}=a^{r_{n1}r_{n2}}\)，取极限得到\((a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}\)。

\((ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}\)。例如\((2\times3)^{\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5}}\times3^{\sqrt{5}}\)。证明方法也是通过有理数逼近，设\(r_n\)逼近\(\alpha\)，\((ab)^{r_n}=a^{r_n}b^{r_n}\)，取极限得到\((ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}\)。

3. 函数性质（以\(y = a^{x}\)，\(a>0\)且\(a\neq1\)为例，\(x\)为实数包括无理数）

单调性：

当\(a>1\)时，函数\(y = a^{x}\)在\(R\)上单调递增。例如，\(y = 2^{x}\)，对于任意两个实数\(x_1<x_2\)，包括无理数，都有\(2^{x_1}<2^{x_2}\)。如果\(x_1=\sqrt{2}\)，\(x_2=\sqrt{3}\)，因为\(\sqrt{2}<\sqrt{3}\)，所以\(2^{\sqrt{2}}<2^{\sqrt{3}}\)。

当\(0<a<1\)时，函数\(y = a^{x}\)在\(R\)上单调递减。比如\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)，对于任意\(x_1<x_2\)，有\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}>\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\)。

值域：

函数\(y = a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的值域是\((0,+\infty)\)。因为对于任意实数\(x\)（包括无理数），\(a^{x}>0\)。例如，\(a = 3\)，不管\(x\)是有理数还是无理数，\(3^{x}\)的值始终大于\(0\)。

连续性：

指数函数\(y = a^{x}\)在\(R\)上是连续的。这意味着当\(x\)的值在实数范围内（包括无理数）连续变化时，函数值\(y = a^{x}\)也连续变化。例如，当\(x\)从一个有理数趋近于一个无理数时，函数\(y = a^{x}\)的极限值等于该无理数对应的函数值。

如何证明无理数指数幂的连续性？

1. 回顾连续性的定义

函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)处连续的定义是：\(\lim_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x)=f(x_0)\)

对于指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)），我们要证明它在整个实数域上连续，包括无理数点。

2. 利用有理数指数幂逼近无理数指数幂

设\(\alpha\)是一个无理数，我们可以用一个有理数序列\(\{r_n\}\)来逼近\(\alpha\)，即\(\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\alpha\)。

对于指数函数\(y = a^{x}\)，考虑\(\lim_{x\rightarrow\alpha}a^{x}\)。因为\(\{r_n\}\)逼近\(\alpha\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}=a^{\alpha}\)（这是无理数指数幂的定义方式）。

3. 证明左右极限相等且等于函数值（以\(a > 1\)为例）

左极限：

设\(x\)从左侧趋近于\(\alpha\)，即\(x\rightarrow\alpha^{-}\)。我们可以构造一个单调递增的有理数序列\(\{r_n\}\)，使得\(r_n<\alpha\)且\(\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\alpha\)。

对于指数函数\(y = a^{x}\)，由于\(a > 1\)且\(r_n\)单调递增趋近于\(\alpha\)，根据有理数指数幂的单调性（当\(a > 1\)，\(m < n\)时，\(a^{m}<a^{n}\)），\(\{a^{r_n}\}\)是一个单调递增的序列。

由单调有界定理可知，单调递增有上界的序列必有极限。因为\(a^{r_n}<a^{\alpha}\)（因为\(r_n<\alpha\)），所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}\)存在，且\(\lim_{x\rightarrow\alpha^{-}}a^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}=a^{\alpha}\)。

右极限：

设\(x\)从右侧趋近于\(\alpha\)，即\(x\rightarrow\alpha^{+}\)。构造一个单调递减的有理数序列\(\{s_n\}\)，使得\(s_n>\alpha\)且\(\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=\alpha\)。

由于\(a > 1\)且\(s_n\)单调递减趋近于\(\alpha\)，根据有理数指数幂的单调性，\(\{a^{s_n}\}\)是一个单调递减的序列。

同样由单调有界定理，\(\{a^{s_n}\}\)有极限。因为\(a^{s_n}>a^{\alpha}\)（因为\(s_n>\alpha\)），所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a^{s_n}\)存在，且\(\lim_{x\rightarrow\alpha^{+}}a^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{s_n}=a^{\alpha}\)。

4. 当\(0 < a < 1\)时的证明类似

对于\(0 < a < 1\)，指数函数\(y = a^{x}\)是单调递减的。同样用有理数序列逼近无理数\(\alpha\)，无论是从左侧还是右侧趋近，通过类似的单调有界定理的应用，可以证明左右极限相等且等于函数值\(a^{\alpha}\)。

5. 结论

综上，对于任意无理数\(\alpha\)，\(\lim_{x\rightarrow\alpha}a^{x}=a^{\alpha}\)，所以指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)）在整个实数域上是连续的。

实数指数幂基本包括整数指数幂、分数指数幂与无理数指数幂，其一般形式为\(a^n\)（\(n\)是实数）。

整数指数幂

正整数指数幂：\(n\)个相同的因数\(a\)相乘，即\(\underset{n个a}{\underbrace{a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}}\)记作\(a^{n}\)，叫做正整数指数幂.

零指数幂：任何不为\(0\)的数的\(0\)次幂都等于\(1\)，即\(a^{0}=1(a\neq0)\)，\(0\)的\(0\)次幂没有意义.

负整数指数幂：任何不为\(0\)的数的\(-n\)次幂（\(n\)为正整数）等于这个数的\(n\)次幂的倒数，即\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}(a\neq0,n\in N^{*})\)，\(0\)的负整数次幂没有意义.

分数指数幂

正分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}(a\gt0,m,n\in N^{*},且 n\gt1)\)，\(0\)的正分数指数幂等于\(0\).

负分数指数幂：正数的负分数指数幂与负整数指数幂的意义相仿，即\(a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}(a\gt0,m,n\in N^{*},且 n\gt1)\)，\(0\)的负分数指数幂没有意义.