指数函数 04 根式运算、化简、根式不等式、有理化

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一、根式的定义

若 $x^{n}=a$ （ $n$ 是大于 $1$ 的正整数），那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根。

当 $n$ 为偶数时，正数 $a$ 有两个 $n$ 次方根，它们互为相反数，记为 $\pm\sqrt[n]{a}$ ；负数没有偶次方根！

当 $n$ 为奇数时，正数 $a$ 的 $n$ 次方根是一个正数，负数 $a$ 的 $n$ 次方根是一个负数，都记为 $\sqrt[n]{a}$ 。

式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式，这里 $n$ 叫做根指数（ $n$ 是大于 $1$ 的正整数）， $a$ 叫做被开方数。

例如， $2^{2}=4$ ， $( - 2)^{2}=4$ ，所以 $4$ 的平方根是 $\pm2$ ，记为 $\pm\sqrt{4}$ ； $2^{3}=8$ ，所以 $8$ 的立方根是 $2$ ，记为 $\sqrt[3]{8}$ 。

二、根式的性质

当 $n$ 为奇数时： $\sqrt[n]{a^{n}}=a$

例如， $\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2$ ，因为 $(-2)^{3}=-8$ ，而 $\sqrt[3]{-8}=-2$ 。

当 $n$ 为偶数时： $\sqrt[n]{a^{n}}=\vert a\vert$

例如， $\sqrt{4^{2}}=\vert4\vert = 4$ ， $\sqrt{(-4)^{2}}=\vert - 4\vert = 4$ 。

这是因为当 $n$ 为偶数时， $a^{n}$ 恒为非负数，开方后得到的结果也应该是非负的，所以是 $a$ 的绝对值。

根式的乘法性质： $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ （ $a\geqslant0$ ， $b\geqslant0$ ）

例如， $\sqrt{4\times9}=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=2\times3 = 6$ 。

根式的除法性质： $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ （ $a\geqslant0$ ， $b > 0$ ）

例如， $\sqrt{\frac{16}{4}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2}=2$ 。

三、根式的化简

化简根式：把被开方数分解因数，将能开得尽方的因数或因式开出来。

例如，化简 $\sqrt{72}$ ，先将 $72$ 分解因数为 $72 = 36\times2$ ，则 $\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}$ 。

根式的有理化-分母有理化：当分母中含有根式时，通过一些运算将分母化为有理数的过程叫做分母有理化。

例如，对于 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ，为了将分母有理化，分子分母同时乘以 $\sqrt{2}$ ，得到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

对于含有形如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的分母，可利用平方差公式 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b$ 进行分母有理化。

如对于 $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ ，分子分母同时乘以 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ ，得到 $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 。

根式的有理化-分子有理化：与分母有理化类似，分子有理化是将分子中的根式去掉的过程。

例如，对于式子 $\sqrt{x + 1}-\sqrt{x}$ ，为了便于分析其性质，可进行分子有理化。

分子分母同时乘以 $\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}$ ，得到 $\frac{(\sqrt{x + 1}-\sqrt{x})(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}=\frac{(x + 1)-x}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}$ 。

复合根式的化简：对于复合根式 $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ （ $a,b>0$ ），有时可以通过设元的方法进行化简。

例如，对于 $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ ，设 $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ （ $x,y>0$ ），两边平方得

$5 + 2\sqrt{6}=x + y + 2\sqrt{xy}$ ，则 $\begin{cases}x + y = 5\\xy = 6\end{cases}$ ，解这个方程组得 $\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$ ，所以

$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 。

四、根式的运算

根式的加减法：先将根式化为最简根式，然后合并同类根式。同类根式是指根指数和被开方数都相同的根式。

例如，计算 $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ ，化简得 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ ， $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ ，所以

$\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ 。

根式的乘除法：利用根式的乘除性质进行计算。

例如，计算 $\sqrt{6}\times\sqrt{3}$ ，根据 $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ ，可得 $\sqrt{6}\times\sqrt{3}=\sqrt{6\times3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ 。

计算 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$ ，根据 $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ ，可得 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}$ 。

五、根式不等式

1. 根式不等式的定义及常见类型

定义：根式不等式是指不等式中含有根式的一类不等式。

例如， $\sqrt{x - 1} > 2$ 、 $\sqrt{2x + 3} < x$ 等都是根式不等式，其特点就是不等式的表达式中至少有一项是根式的形式。

常见类型：

形如 $\sqrt{f(x)} > g(x)$ 的不等式，比如 $\sqrt{x + 2} > 3x - 1$ 。

形如 $\sqrt{f(x)} < g(x)$ 的不等式，像 $\sqrt{3 - x} < 2x$ 。

还有形如 $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$ 、 $\sqrt{f(x)} \leq g(x)$ 等不等式类型，例如 $\sqrt{x^{2} - 1} \leq x$ 。

2. 求解根式不等式的基本思路与方法

基本原则：

由于根式本身有取值范围的限制（根号下的式子非负），所以首先要确定使根式有意义的自变量取值范围，也就是要先求出 $f(x) \geq 0$ 的解集。

然后根据不等式两边的正负情况进行分类讨论，并通过适当的变形来求解不等式。

对于 $\sqrt{f(x)} > g(x)$ 型不等式的求解方法：

步骤一：确定根式有意义的范围：

先解不等式 $f(x) \geq 0$ ，确定 $x$ 的初步取值范围。

例如，对于不等式 $\sqrt{x - 1} > 2$ ，要先解 $x - 1 \geq 0$ ，得到 $x \geq 1$ 。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当 $g(x) < 0$ 时，只要满足 $f(x) \geq 0$ ，原不等式就成立。

例如，在不等式 $\sqrt{x - 1} > 2 - x$ 中，若 $2 - x < 0$ 即 $x > 2$ ，同时 $x \geq 1$ （由根式有意义的条件得出），那么 $x > 2$ 这个范围就满足原不等式。

情况二：当 $g(x) \geq 0$ 时，两边同时平方（因为此时两边都是非负的，可以平方保持不等号方向不变）来去掉根号，得到 $f(x) > g(x)^{2}$ ，再解这个新的不等式。

例如，对于 $\sqrt{x - 1} > 2$ （这里 $2 \geq 0$ ），两边平方得 $x - 1 > 4$ ，即 $x > 5$ ，结合前面 $x \geq 1$ 的条件，最终不等式的解集就是 $x > 5$ 。

对于 $\sqrt{f(x)} < g(x)$ 型不等式的求解方法：

步骤一：同样先确定根式有意义的范围：

先求解 $f(x) \geq 0$ ，确定 $x$ 能取值的大致区间。例如对于 $\sqrt{3 - x} < 2x$ ，先解 $3 - x \geq 0$ ，得到 $x \leq 3$ 。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当 $g(x) \leq 0$ 时，原不等式无解，因为根号下的数是非负的，不可能小于一个非正数。

情况二：当 $g(x) > 0$ 时，两边同时平方去掉根号，得到 $f(x) < g(x)^{2}$ ，然后解这个不等式。比如对于 $\sqrt{3 - x} < 2x$ （这里 $2x > 0$ 即 $x > 0$ ），两边平方得 $3 - x < 4x^{2}$ ，整理为 $4x^{2} + x - 3 > 0$ ，因式分解得 $(4x - 3)(x + 1) > 0$ ，解得 $x > \frac{3}{4}$ 或 $x < - 1$ ，再结合 $x \leq 3$ 和 $x > 0$ 的条件，最终解集为 $x > \frac{3}{4}$ 且 $x \leq 3$ ，即 $\frac{3}{4} < x \leq 3$ 。

3. 求解根式不等式的注意事项

平方操作的条件性：

只有当不等式两边都是非负的时候，才能通过两边平方的方式去掉根号进行求解，否则平方后不等号方向可能会出现错误，导致解集出错。

检验解集的准确性：

求出解集后，最好选取解集中的几个值代入原不等式进行检验，确保所得到的解集是完全正确的，避免出现增根或漏解的情况。例如在求解复杂的根式不等式经过多次变形后，有可能会引入一些不符合原不等式的多余解，通过检验就能发现并排除这些情况。

4. 应用举例

求解不等式 $\sqrt{2x + 5} \leq x + 1$ 。

步骤一：确定根式有意义的范围：

解 $2x + 5 \geq 0$ ，得 $x \geq -\frac{5}{2}$ 。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当 $x + 1 \leq 0$ 即 $x \leq - 1$ 时，原不等式无解，因为根号下是非负的，不可能小于等于一个非正数。

情况二：当 $x + 1 > 0$ 即 $x > - 1$ 时，两边同时平方得 $2x + 5 \leq (x + 1)^{2}$ ，展开并整理得 $x^{2} - 3$ ，因式分解得 $(x - 3)(x + 1) \geq 0$ ，解得 $x \geq 3$ 或 $x \leq - 1$ ，结合 $x > - 1$ 的条件，最终解集为 $x \geq 3$ 。

综上，不等式 $\sqrt{2x + 5} \leq x + 1$ 的解集为 $x \geq 3$ 。

一、分数指数幂的定义

对于正分数指数幂，规定 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ （ $a > 0$ ， $m,n\in N^+$ ，且 $n > 1$ ）。

例如， $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4$ 。

这是将根式运算与指数幂运算联系起来的一种定义方式，它使得指数的范围从整数扩展到了分数。

对于负分数指数幂，规定 $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ （ $a > 0$ ， $m,n\in N^+$ ，且 $n > 1$ ）。

例如， $27^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27^{2}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{729}}=\frac{1}{9}$ 。

二、分数指数幂的运算性质

同底数幂相乘： $a^{\frac{m}{n}}\times a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m + p}{n}}$ （ $a > 0$ ， $m,n,p\in N^+$ ，且 $n > 1$ ）

例如， $3^{\frac{1}{2}}\times3^{\frac{3}{2}}=3^{\frac{1 + 3}{2}}=3^{2}=9$

这一性质与整数指数幂的同底数幂相乘性质 $a^{m}\times a^{n}=a^{m + n}$ 类似，只不过指数为分数形式。

同底数幂相除： $a^{\frac{m}{n}}\div a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m - p}{n}}$ （ $a > 0$ ， $m,n,p\in N^+$ ，且 $n > 1$ ）

例如， $4^{\frac{3}{2}}\div4^{\frac{1}{2}}=4^{\frac{3 - 1}{2}}=4^{1}=4$

同样类似于整数指数幂的同底数幂相除性质 $a^{m}\div a^{n}=a^{m - n}$ 。

幂的乘方： $(a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}$ （ $a > 0$ ， $m,n,p,q\in N^+$ ，且 $n > 1$ ， $q > 1$ ）

例如， $(2^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{2\times3}{3\times4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

该性质也是整数指数幂幂的乘方性质 $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ 在分数指数幂中的推广。

三、负数与0的分数指数幂

1. 负数的分数指数幂

分母为偶数的情况：

当指数的分母为偶数时，负数的分数指数幂在实数范围内没有意义。这是因为在实数范围内，负数开偶次方根没有定义。例如，考虑 $(-1)^{\frac{1}{2}}$ ，它相当于求 $-1$ 的平方根。根据平方根的定义，对于任何实数 $x$ ， $x^{2}\geq0$ ，所以不存在一个实数使得它的平方是 $-1$ ，即 $(-1)^{\frac{1}{2}}$ 在实数范围内无意义。

分母为奇数的情况：

当指数的分母为奇数时，负数的分数指数幂有意义。此时定义 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ （ $a < 0$ ， $m,n\in N^+$ ， $n$ 为奇数）。例如， $(-8)^{\frac{1}{3}}$ ，因为 $n = 3$ 是奇数，所以 $(-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2$ ，这里 $(-2)^{3}=-8$ ，符合分数指数幂的定义。

2. 0的分数指数幂

正分数指数幂：

$0$ 的正分数指数幂等于 $0$ 。即 $0^{\frac{m}{n}} = 0$ （ $m,n\in N^+$ ， $n > 1$ ）。这是因为 $0$ 的任何正整数次幂都是 $0$ ，所以当指数为正分数时，根据分数指数幂与根式的关系 $0^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{0^{m}}$ ，其结果也为 $0$ 。例如， $0^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{0^{3}} = 0$ 。

负分数指数幂：

$0$ 的负分数指数幂没有意义。因为 $0$ 的负分数指数幂等于 $\frac{1}{0^{\frac{m}{n}}}$ （ $m,n\in N^+$ ， $n > 1$ ），而分母不能为 $0$ ，所以 $0$ 的负分数指数幂不存在。例如， $0^{-\frac{2}{3}}$ 是没有意义的。

四、分数指数幂与根式的关系

1. 分数指数幂与根式的相互定义关系

分数指数幂到根式的转换：

对于正分数指数幂 $a^{\frac{m}{n}}$ （ $a > 0$ ， $m,n\in N^+$ ，且 $n > 1$ ），它被定义为 $n$ 次根式的形式，即 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ 。

例如， $4^{\frac{3}{2}}$ 可以写成 $\sqrt[2]{4^{3}}$ ，进一步计算可得 $\sqrt{64}=8$ 。

这表明正分数指数幂是根式的一种指数形式的表示方法，通过这种定义，将指数幂运算与根式运算联系起来。

根式到分数指数幂的转换：

反过来，根式 $\sqrt[n]{a^{m}}$ （ $a > 0$ ， $m,n\in N^+$ ，且 $n > 1$ ）可以用分数指数幂表示为 $a^{\frac{m}{n}}$ 。

例如， $\sqrt[3]{x^{2}}$ 可以写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

这种转换使得在进行一些复杂的根式运算时，可以利用指数幂的运算性质来简化计算。

2. 运算性质的联系与对比

指数幂运算性质在分数指数幂和根式中的体现：

同底数幂相乘性质：

在分数指数幂中，同底数幂相乘 $a^{\frac{m}{n}}\times a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m + p}{n}}$ （ $a > 0$ ， $m,n,p\in N^+$ ，且 $n > 1$ ）。

例如， $2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1 + 2}{3}}=2^{1}=2$ 。

对于根式，若将其转换为分数指数幂后也遵循相同的规律。

例如， $\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{4}$ ，将其写成 $2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{2}{3}}$ （因为 $\sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}$ ），结果为 $2$ ，这和直接用根式运算 $\sqrt[3]{2\times4}=\sqrt[3]{8}=2$ 是一致的。

同底数幂相除性质：

分数指数幂的同底数幂相除 $a^{\frac{m}{n}}\div a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m - p}{n}}$ （ $a > 0$ ， $m,n,p\in N^+$ ，且 $n > 1$ ）。

例如， $3^{\frac{3}{4}}\div3^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{3 - 1}{4}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$ 。

对于根式，如 $\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3}}$ ，写成分数指数幂形式为 $3^{\frac{3}{4}}\div3^{\frac{1}{4}}$ ，结果为 $\sqrt{3}$ ，也和直接用根式运算 $\sqrt[4]{\frac{27}{3}}=\sqrt[4]{9}=\sqrt{3}$ 相同。

幂的乘方性质：

分数指数幂的幂的乘方 $(a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}$ （ $a > 0$ ， $m,n,p,q\in N^+$ ，且 $n > 1$ ， $q > 1$ ）。

例如， $(2^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{2\times3}{3\times4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$ 。

对于根式，如 $(\sqrt[3]{x^{2}})^{\frac{3}{2}}$ ，转换为分数指数幂为 $(x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}=x^{\frac{2\times3}{3\times2}}=x^{1}=x$ ，这和直接用根式运算 $\sqrt[3]{(x^{2})^{\frac{3}{2}}}=\sqrt[3]{x^{3}}=x$ 等价。

3. 在化简与求值中的相互应用

化简中的应用：

利用分数指数幂和根式的转换来化简式子。

例如，化简 $\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}$ ，可将其写成 $(x^{2}y^{4})^{\frac{1}{3}}$ ，再根据指数幂运算性质展开得到 $x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}$ 。反之，对于 $a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}$ ，可以写成 $\sqrt[5]{a^{3}b^{2}}$ 的根式形式来化简一些复杂的指数幂式子。

求值中的应用：

在求值过程中，根据具体情况灵活转换。

例如，计算 $(\sqrt[4]{81})^{3}$ ，可以先将 $\sqrt[4]{81}$ 写成 $81^{\frac{1}{4}}$ ，那么 $(\sqrt[4]{81})^{3}=(81^{\frac{1}{4}})^{3}=81^{\frac{3}{4}}$ ，再进一步计算 $81^{\frac{3}{4}}=(3^{4})^{\frac{3}{4}}=3^{3}=27$ 。或者先求出 $\sqrt[4]{81}=3$ ，再计算 $3^{3}=27$ 。

1. 无理数指数幂的定义

对于无理数指数幂 $a^{\alpha}$ （ $a>0$ ， $\alpha$ 是无理数），它是通过有理数指数幂来逼近定义的。例如， $\sqrt{2}$ 是无理数，考虑 $a^{\sqrt{2}}$ 的定义。

我们知道 $\sqrt{2}$ 可以用有理数序列来逼近，如 $1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots$ 这些有理数逐渐逼近 $\sqrt{2}$ 。

那么 $a^{\sqrt{2}}$ 就定义为当 $r_n$ （ $r_n$ 是逼近 $\sqrt{2}$ 的有理数序列）趋近于 $\sqrt{2}$ 时， $a^{r_n}$ 的极限。即 $a^{\sqrt{2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}$ 。

2. 无理数指数幂的运算性质

无理数指数幂的运算性质和有理数指数幂的运算性质相似。

对于 $a>0$ ， $b>0$ ， $\alpha$ ， $\beta$ 是无理数：

$a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha + \beta}$ 。例如， $2^{\sqrt{3}}2^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ 。这个性质可以通过有理数指数幂逼近的极限性质来证明。当用有理数序列 $r_{n1}$ 逼近 $\alpha$ ， $r_{n2}$ 逼近 $\beta$ 时， $a^{r_{n1}}a^{r_{n2}}=a^{r_{n1}+r_{n2}}$ ，取极限后就得到 $a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha + \beta}$ 。

$(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}$ 。比如 $(3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{2}\times\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{6}}$ 。同样可以利用有理数逼近和极限的运算来证明，当 $r_{n1}$ 逼近 $\alpha$ ， $r_{n2}$ 逼近 $\beta$ 时， $(a^{r_{n1}})^{r_{n2}}=a^{r_{n1}r_{n2}}$ ，取极限得到 $(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}$ 。

$(ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}$ 。例如 $(2\times3)^{\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5}}\times3^{\sqrt{5}}$ 。证明方法也是通过有理数逼近，设 $r_n$ 逼近 $\alpha$ ， $(ab)^{r_n}=a^{r_n}b^{r_n}$ ，取极限得到 $(ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}$ 。

3. 函数性质（以 $y = a^{x}$ ， $a>0$ 且 $a\neq1$ 为例， $x$ 为实数包括无理数）

单调性：

当 $a>1$ 时，函数 $y = a^{x}$ 在 $R$ 上单调递增。例如， $y = 2^{x}$ ，对于任意两个实数 $x_1<x_2$ ，包括无理数，都有 $2^{x_1}<2^{x_2}$ 。如果 $x_1=\sqrt{2}$ ， $x_2=\sqrt{3}$ ，因为 $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ ，所以 $2^{\sqrt{2}}<2^{\sqrt{3}}$ 。

当 $0<a<1$ 时，函数 $y = a^{x}$ 在 $R$ 上单调递减。比如 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ ，对于任意 $x_1<x_2$ ，有 $\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}>\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}$ 。

值域：

函数 $y = a^{x}$ （ $a>0$ 且 $a\neq1$ ）的值域是 $(0,+\infty)$ 。因为对于任意实数 $x$ （包括无理数）， $a^{x}>0$ 。例如， $a = 3$ ，不管 $x$ 是有理数还是无理数， $3^{x}$ 的值始终大于 $0$ 。

连续性：

指数函数 $y = a^{x}$ 在 $R$ 上是连续的。这意味着当 $x$ 的值在实数范围内（包括无理数）连续变化时，函数值 $y = a^{x}$ 也连续变化。例如，当 $x$ 从一个有理数趋近于一个无理数时，函数 $y = a^{x}$ 的极限值等于该无理数对应的函数值。

如何证明无理数指数幂的连续性？

1. 回顾连续性的定义

函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的定义是： $\lim_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$

对于指数函数 $y = a^{x}$ （ $a>0,a\neq1$ ），我们要证明它在整个实数域上连续，包括无理数点。

2. 利用有理数指数幂逼近无理数指数幂

设 $\alpha$ 是一个无理数，我们可以用一个有理数序列 $\{r_n\}$ 来逼近 $\alpha$ ，即 $\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\alpha$ 。

对于指数函数 $y = a^{x}$ ，考虑 $\lim_{x\rightarrow\alpha}a^{x}$ 。因为 $\{r_n\}$ 逼近 $\alpha$ ，所以 $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}=a^{\alpha}$ （这是无理数指数幂的定义方式）。

3. 证明左右极限相等且等于函数值（以 $a > 1$ 为例）

左极限：

设 $x$ 从左侧趋近于 $\alpha$ ，即 $x\rightarrow\alpha^{-}$ 。我们可以构造一个单调递增的有理数序列 $\{r_n\}$ ，使得 $r_n<\alpha$ 且 $\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\alpha$ 。

对于指数函数 $y = a^{x}$ ，由于 $a > 1$ 且 $r_n$ 单调递增趋近于 $\alpha$ ，根据有理数指数幂的单调性（当 $a > 1$ ， $m < n$ 时， $a^{m}<a^{n}$ ）， $\{a^{r_n}\}$ 是一个单调递增的序列。

由单调有界定理可知，单调递增有上界的序列必有极限。因为 $a^{r_n}<a^{\alpha}$ （因为 $r_n<\alpha$ ），所以 $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}$ 存在，且 $\lim_{x\rightarrow\alpha^{-}}a^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}=a^{\alpha}$ 。

右极限：

设 $x$ 从右侧趋近于 $\alpha$ ，即 $x\rightarrow\alpha^{+}$ 。构造一个单调递减的有理数序列 $\{s_n\}$ ，使得 $s_n>\alpha$ 且 $\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=\alpha$ 。

由于 $a > 1$ 且 $s_n$ 单调递减趋近于 $\alpha$ ，根据有理数指数幂的单调性， $\{a^{s_n}\}$ 是一个单调递减的序列。

同样由单调有界定理， $\{a^{s_n}\}$ 有极限。因为 $a^{s_n}>a^{\alpha}$ （因为 $s_n>\alpha$ ），所以 $\lim_{n\rightarrow\infty}a^{s_n}$ 存在，且 $\lim_{x\rightarrow\alpha^{+}}a^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{s_n}=a^{\alpha}$ 。

4. 当 $0 < a < 1$ 时的证明类似

对于 $0 < a < 1$ ，指数函数 $y = a^{x}$ 是单调递减的。同样用有理数序列逼近无理数 $\alpha$ ，无论是从左侧还是右侧趋近，通过类似的单调有界定理的应用，可以证明左右极限相等且等于函数值 $a^{\alpha}$ 。

5. 结论

综上，对于任意无理数 $\alpha$ ， $\lim_{x\rightarrow\alpha}a^{x}=a^{\alpha}$ ，所以指数函数 $y = a^{x}$ （ $a>0,a\neq1$ ）在整个实数域上是连续的。

实数指数幂基本包括整数指数幂、分数指数幂与无理数指数幂，其一般形式为 $a^n$ （ $n$ 是实数）。

整数指数幂

正整数指数幂： $n$ 个相同的因数 $a$ 相乘，即 $\underset{n个a}{\underbrace{a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}}$ 记作 $a^{n}$ ，叫做正整数指数幂.

零指数幂：任何不为 $0$ 的数的 $0$ 次幂都等于 $1$ ，即 $a^{0}=1(a\neq0)$ ， $0$ 的 $0$ 次幂没有意义.

负整数指数幂：任何不为 $0$ 的数的 $-n$ 次幂（ $n$ 为正整数）等于这个数的 $n$ 次幂的倒数，即 $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}(a\neq0,n\in N^{*})$ ， $0$ 的负整数次幂没有意义.

分数指数幂

正分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}(a\gt0,m,n\in N^{*},且 n\gt1)$ ， $0$ 的正分数指数幂等于 $0$ .

负分数指数幂：正数的负分数指数幂与负整数指数幂的意义相仿，即 $a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}(a\gt0,m,n\in N^{*},且 n\gt1)$ ， $0$ 的负分数指数幂没有意义.