复数 07 复数 \(a + bi\)、几何意义、共轭复数、加减乘除运算

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复数的概念

数系的扩充：为了解决方程\(x^{2}+1 = 0\)这样在实数范围内无解的问题，人们引入了虚数单位\(i\)，规定\(i^{2}=-1\)

复数的定义：形如\(a + bi\)（\(a,b\in R\)）的数叫做复数，其中\(a\)叫做复数的实部，记作\(Re(z)=a\)；\(b\)叫做复数的虚部，记作\(Im(z)=b\)。

例如，\(3 + 2i\)是一个复数，其实部为\(3\)，虚部为\(2\)；\(5\)也可以看作复数\(5 + 0i\)，其虚部为\(0\)。

复数的分类：

当\(b = 0\)时，复数\(a + bi\)就是实数；

当\(b\neq0\)时，复数\(a + bi\)叫做虚数；

当\(a = 0\)且\(b\neq0\)时，复数\(a + bi\)叫做纯虚数。例如，\(2\)是实数，\(3i\)是纯虚数，\(2 + 3i\)是虚数。

复数的相等

两个复数\(a + bi\)与\(c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)）相等的充要条件是\(a = c\)且\(b = d\)

例如，若\(x + yi = 3 + 2i\)（\(x,y\in R\)），那么\(x = 3\)，\(y = 2\)

复数的几何意义

复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，\(x\)轴叫做实轴，\(y\)轴叫做虚轴。

在复平面内，复数\(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)）对应的点的坐标为\((a,b)\)。例如，复数\(2 + 3i\)在复平面内对应的点为\((2,3)\)。

复数的模：复数\(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)）的模记作\(\vert z\vert\)，\(\vert z\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)。它表示复平面内复数对应的点到原点的距离。例如，复数\(z = 3 + 4i\)的模\(\vert z\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)

复数的运算

复数的加法：

法则：设\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则\(z_{1}+z_{2}=(a + c)+(b + d)i\)

例如，\((2 + 3i)+(1 + 4i)=(2 + 1)+(3 + 4)i = 3 + 7i\)

几何意义：复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则或三角形法则来理解，在复平面内，复数\(z_{1}\)，\(z_{2}\)对应的向量分别为\(\overrightarrow{OZ_{1}}\)，\(\overrightarrow{OZ_{2}}\)，则\(z_{1}+z_{2}\)对应的向量就是以\(\overrightarrow{OZ_{1}}\)，\(\overrightarrow{OZ_{2}}\)为邻边的平行四边形的对角线所对应的向量（或三角形法则下首尾相连后的向量）。

复数的减法：

法则：设\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则\(z_{1}-z_{2}=(a - c)+(b - d)i\)

例如，\((3 + 2i)-(1 + 3i)=(3 - 1)+(2 - 3)i = 2 - i\)

几何意义：复数的减法同样可类比向量减法，\(z_{1}-z_{2}\)对应的向量是从\(z_{2}\)对应的向量的终点指向\(z_{1}\)对应的向量的终点的向量。

复数的乘法：

法则：设\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则\(z_{1}\cdot z_{2}=(ac - bd)+(ad + bc)i\)

例如，\((2 + i)(3 - i)=6 - 2i + 3i - i^{2}=6 + i - (-1)=7 + i\)

运算律：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律，与实数乘法的运算律类似。

复数的除法：

法则：复数的除法是乘法的逆运算，一般先将分母实数化，即把分子分母同时乘以分母的共轭复数（后面会介绍共轭复数概念）。

设\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}=\frac{ac + bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc - ad}{c^{2}+d^{2}}i\)（\(c^{2}+d^{2}\neq0\)）

例如，\(\frac{2 + i}{1 + i}=\frac{(2 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=\frac{2 - 2i + i - i^{2}}{1 - i^{2}}=\frac{3 - i}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\)

共轭复数：

两个实部相等，虚部互为相反数的复数叫做共轭复数。

复数\(z = a + bi\)的共轭复数记作\(\overline{z}=a - bi\)。

共轭复数有很多性质，比如\(z\cdot\overline{z}=\vert z\vert^{2}\)等。

复数在数学的许多领域以及物理等学科中都有广泛的应用，它完善了数系的结构，为解决一些复杂的数学和实际问题提供了有力的工具。 

复数相等的充分必要条件是：

设两个复数\(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)，\(i\)为虚数单位），那么\(z_1 = z_2\)的充分必要条件是\(a = c\)且\(b = d\)。

1. 已知\(3 + 4i = x + yi\)，求\(x\)和\(y\)的值。

解：根据复数相等的条件，可得\(x = 3\)，\(y = 4\)。

2. 若\(2 - 5i = a - bi\)，求\(a\)，\(b\)的值。

解：由复数相等条件可知\(a = 2\)，\(b = 5\)。

3. 已知\((2x - 1)+i = y-(3 - y)i\)，\(x,y\in R\)，求\(x\)，\(y\)的值。

解：根据复数相等条件可得\(\begin{cases}2x - 1 = y\\1 = -(3 - y)\end{cases}\)，解第二个方程得\(y = 4\)，将\(y = 4\)代入第一个方程得\(2x - 1 = 4\)，解得\(x=\frac{5}{2}\)。

4. 若\((3x + 2y)+(5x - y)i = 17 - 2i\)，求\(x\)，\(y\)的值。

解：由复数相等可得\(\begin{cases}3x + 2y = 17\\5x - y = -2\end{cases}\)，将第二个方程\(5x - y = -2\)两边同时乘以\(2\)得\(10x - 2y = -4\)，再与第一个方程\(3x + 2y = 17\)相加，可得\(13x = 13\)，解得\(x = 1\)，把\(x = 1\)代入\(3x + 2y = 17\)，得\(3 + 2y = 17\)，解得\(y = 7\)。

5. 已知\(z_1 = 3 + 2i\)，\(z_2 = x + yi\)，且\(z_1 + z_2 = 5 + 4i\)，求\(x\)，\(y\)的值。

解：\(z_1 + z_2=(3 + x)+(2 + y)i = 5 + 4i\)，根据复数相等条件有\(\begin{cases}3 + x = 5\\2 + y = 4\end{cases}\)，解得\(x = 2\)，\(y = 2\)。

6. 若\(z_1 = a + 3i\)，\(z_2 = 4 - bi\)，\(z_1 - z_2 = -2 + 5i\)，求\(a\)，\(b\)的值。

解：\(z_1 - z_2=(a - 4)+(3 + b)i=-2 + 5i\)，则\(\begin{cases}a - 4 = -2\\3 + b = 5\end{cases}\)，解得\(a = 2\)，\(b = 2\)。

7. 已知\(z_1 = 2 + i\)，\(z_2 = 1 + 2i\)，\(z = z_1\times z_2\)，且\(z = m + ni\)，求\(m\)，\(n\)的值。

解：\(z = z_1\times z_2=(2 + i)(1 + 2i)=2 + 4i + i + 2i^2 = 2 + 5i - 2 = 5i\)，即\(z = 0 + 5i\)，所以\(m = 0\)，\(n = 5\)。

8. 已知\((1 + i)x+(1 - i)y = 2\)，求实数\(x\)，\(y\)的值。

解：将原式展开得\(x + xi + y - yi = 2\)，即\((x + y)+(x - y)i = 2\)，根据复数相等条件可得\(\begin{cases}x + y = 2\\x - y = 0\end{cases}\)，两式相加得\(2x = 2\)，解得\(x = 1\)，将\(x = 1\)代入\(x + y = 2\)得\(y = 1\)。

9. 若\(a,b\in R\)，\((a - 2i)(1 + i)=b - i\)，求\(a\)，\(b\)的值。

解：将\((a - 2i)(1 + i)\)展开得\(a + ai - 2i - 2i^2=a + 2+(a - 2)i\)，所以\(a + 2+(a - 2)i=b - i\)，则\(\begin{cases}a + 2 = b\\a - 2 = -1\end{cases}\)，解得\(a = 1\)，\(b = 3\)。

10. 已知\(z_1=\frac{a^2 - 7a + 6}{a^2 - 1}+(a^2 - 5a - 6)i\)，\(z_2 = 1 - i\)，若\(z_1 = z_2\)，求实数\(a\)的值。

解：因为\(z_1 = z_2\)，所以\(\begin{cases}\frac{a^2 - 7a + 6}{a^2 - 1}=1\\a^2 - 5a - 6=-1\end{cases}\)，解第一个方程\(\frac{a^2 - 7a + 6}{a^2 - 1}=1\)，即\(a^2 - 7a + 6 = a^2 - 1\)，解得\(a = 1\)，但当\(a = 1\)时，\(a^2 - 1 = 0\)，不满足分母不为\(0\)的条件，舍去；解第二个方程\(a^2 - 5a - 6=-1\)，即\(a^2 - 5a - 5 = 0\)，解得\(a=\frac{5\pm3\sqrt{5}}{2}\)，又因为\(a = 1\)已舍去，所以\(a=\frac{5\pm3\sqrt{5}}{2}\)时满足条件。

共轭复数是复数中的一个重要概念，以下将从定义、表示方法、性质以及几何意义等方面进行详细介绍：

共轭复数的定义

对于复数 \(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)，\(i\)为虚数单位），其共轭复数是实部不变，虚部互为相反数的复数，记为 \(\overline{z}\)，即\(\overline{z}=a - bi\)。

例如：

若 \(z = 3 + 2i\)，则其共轭复数 \(\overline{z}=3 - 2i\)。

若 \(z=-1 - 4i\)，那么 \(\overline{z}=-1 + 4i\)。

当 \(b = 0\) 时，\(z = a\)（\(a\in R\)）为实数，此时它的共轭复数就是其本身，即\(\overline{z}=a\)，这表明实数的共轭复数是它自己。

共轭复数的性质

1. 共轭复数的和与积

和：\(z+\overline{z}=(a + bi)+(a - bi)=2a\)，结果为实数，且等于\(z\)实部的\(2\)倍。

积：\(z\cdot\overline{z}=(a + bi)(a - bi)=a^{2}-(bi)^{2}=a^{2}+b^{2}\)，同样为实数，并且\(z\cdot\overline{z}=\vert z\vert^{2}=\vert\overline{z}\vert^{2}\)。例如，若 \(z = 2 + 3i\)，则\(\overline{z}=2 - 3i\)，\(z+\overline{z}=(2 + 3i)+(2 - 3i)=4\)，\(z\cdot\overline{z}=(2 + 3i)(2 - 3i)=2^{2}-(3i)^{2}=4 + 9 = 13\)。

2. 共轭复数的运算性质

\(\overline{z_1 + z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\)：设\(z_1=a_1 + b_1i\)，\(z_2=a_2 + b_2i\)，则\(z_1 + z_2=(a_1 + a_2)+(b_1 + b_2)i\)，\(\overline{z_1 + z_2}=(a_1 + a_2)-(b_1 + b_2)i\)；\(\overline{z_1}=a_1 - b_1i\)，\(\overline{z_2}=a_2 - b_2i\)，\(\overline{z_1}+\overline{z_2}=(a_1 + a_2)-(b_1 + b_2)i\)，所以\(\overline{z_1 + z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\)。

\(\overline{z_1 - z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}\)：类似可通过设\(z_1\)、\(z_2\)的表达式进行证明。

\(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)：设\(z_1=a_1 + b_1i\)，\(z_2=a_2 + b_2i\)，\(z_1\cdot z_2=(a_1a_2 - b_1b_2)+(a_1b_2 + a_2b_1)i\)，\(\overline{z_1\cdot z_2}=(a_1a_2 - b_1b_2)-(a_1b_2 + a_2b_1)i\)；\(\overline{z_1}=a_1 - b_1i\)，\(\overline{z_2}=a_2 - b_2i\)，\(\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=(a_1 - b_1i)(a_2 - b_2i)=(a_1a_2 - b_1b_2)-(a_1b_2 + a_2b_1)i\)，所以\(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)。

\(\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}(z_2\neq0)\)：证明过程可利用复数的除法运算规则进行推导。

3. 共轭复数的共轭：\(\overline{\overline{z}} = z\)。

因为若\(z = a + bi\)，则\(\overline{z}=a - bi\)，那么\(\overline{\overline{z}}=\overline{a - bi}=a + bi = z\)。

共轭复数的几何意义

在复平面内，复数 \(z = a + bi\) 对应点 \(Z(a,b)\)，其共轭复数 \(\overline{z}=a - bi\) 对应点 \(\overline{Z}(a,-b)\)。这两个点关于实轴对称。例如，复数 \(z = 1 + 2i\) 对应复平面内的点 \((1,2)\)，其共轭复数 \(\overline{z}=1 - 2i\) 对应点 \((1,-2)\)，点 \((1,2)\) 与点 \((1,-2)\) 关于实轴对称。

共轭复数的应用

1. 复数除法运算：在进行复数除法 \(\frac{z_1}{z_2}(z_2\neq0)\) 时，通常将分子分母同时乘以分母的共轭复数，将分母实数化。例如计算\(\frac{2 + 3i}{1 - i}\)，分子分母同乘分母的共轭复数 \(1 + i\)，得到\(\frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}=\frac{2 + 2i+3i + 3i^{2}}{1 - i^{2}}=\frac{-1 + 5i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i\)。

2. 判断复数是否为实数：若 \(z=\overline{z}\)，则 \(z\) 为实数。因为若 \(z = a + bi\)，\(\overline{z}=a - bi\)，由 \(z=\overline{z}\) 可得 \(a + bi=a - bi\)，即 \(2bi = 0\)，由于 \(b\in R\)，所以 \(b = 0\)，那么 \(z = a\) 为实数。 

1. 复数加法运算

（1）运算法则

设两个复数\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)，\(i\)为虚数单位），则它们的和\(z_1 + z_2=(a + c)+(b + d)i\)。

也就是说，两个复数相加，实部与实部相加作为和的实部，虚部与虚部相加作为和的虚部。

（2）运算性质

交换律：对于任意两个复数\(z_1\)，\(z_2\)，都有\(z_1+z_2 = z_2 + z_1\)。

证明：设\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)，则\(z_1+z_2=(a + c)+(b + d)i\)，\(z_2+z_1=(c + a)+(d + b)i\)。由于实数加法满足交换律\(a + c=c + a\)，\(b + d=d + b\)，所以\(z_1+z_2 = z_2 + z_1\)。

结合律：对于任意三个复数\(z_1\)，\(z_2\)，\(z_3\)，都有\((z_1 + z_2)+z_3=z_1+(z_2 + z_3)\)。

证明：设\(z_1=a_1 + b_1i\)，\(z_2=a_2 + b_2i\)，\(z_3=a_3 + b_3i\)。

\((z_1 + z_2)+z_3=[(a_1 + a_2)+(b_1 + b_2)i]+(a_3 + b_3)i=[(a_1 + a_2)+a_3]+[(b_1 + b_2)+b_3]i\)；

\(z_1+(z_2 + z_3)=(a_1 + b_1i)+[(a_2 + a_3)+(b_2 + b_3)i]=[a_1+(a_2 + a_3)]+[b_1+(b_2 + b_3)]i\)。

因为实数加法满足结合律\((a_1 + a_2)+a_3=a_1+(a_2 + a_3)\)，\((b_1 + b_2)+b_3=b_1+(b_2 + b_3)\)，所以\((z_1 + z_2)+z_3=z_1+(z_2 + z_3)\)。

（3）几何意义

复数的加法可以按照向量的加法来进行。在复平面内，复数\(z_1=a + bi\)对应向量\(\overrightarrow{OZ_1}=(a,b)\)，复数\(z_2=c + di\)对应向量\(\overrightarrow{OZ_2}=(c,d)\)，则\(z_1 + z_2=(a + c)+(b + d)i\)对应向量\(\overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}=(a + c,b + d)\)，符合向量加法的平行四边形法则或三角形法则。

2. 复数减法运算

（1）运算法则

设两个复数\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则它们的差\(z_1 - z_2=(a - c)+(b - d)i\)。

即两个复数相减，实部与实部相减作为差的实部，虚部与虚部相减作为差的虚部。

（2）几何意义

在复平面内，复数\(z_1=a + bi\)对应向量\(\overrightarrow{OZ_1}=(a,b)\)，复数\(z_2=c + di\)对应向量\(\overrightarrow{OZ_2}=(c,d)\)，则\(z_1 - z_2\)对应向量\(\overrightarrow{Z_2Z_1}=\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}=(a - c,b - d)\)。它是以\(Z_2\)为起点，\(Z_1\)为终点的向量。

3. 示例

加法示例

计算\((3 + 2i)+(1 - 4i)\)：

根据加法法则，\((3 + 2i)+(1 - 4i)=(3 + 1)+(2-4)i = 4 - 2i\)。

计算\((-2 + 5i)+(3 + 3i)\)：

\((-2 + 5i)+(3 + 3i)=(-2 + 3)+(5 + 3)i = 1+8i\)。

减法示例

计算\((5 + 3i)-(2 - i)\)：

根据减法法则，\((5 + 3i)-(2 - i)=(5 - 2)+(3 + 1)i = 3+4i\)。

计算\((-4 + 2i)-(-3 - i)\)：

\((-4 + 2i)-(-3 - i)=(-4+3)+(2 + 1)i=-1 + 3i\)。 

复数的乘法运算

1. 运算法则

设\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)，\(i\)为虚数单位），则\(z_1\cdot z_2=(a + bi)\cdot(c + di)\)。

根据多项式乘法法则展开可得：

\[\begin{align*}z_1\cdot z_2&=ac+adi + bci+bdi^2\\&=ac + adi + bci - bd\\&=(ac - bd)+(ad + bc)i\end{align*}\]

简单来说，就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开后将\(i^2\)换成\(-1\)，再合并实部与虚部。

2. 运算性质

交换律：对于任意两个复数\(z_1\)，\(z_2\)，有\(z_1\cdot z_2 = z_2\cdot z_1\)。

证明：设\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)，则\(z_1\cdot z_2=(ac - bd)+(ad + bc)i\)，\(z_2\cdot z_1=(ca - db)+(cb + da)i\)，由于实数乘法满足交换律，所以\(z_1\cdot z_2 = z_2\cdot z_1\)。

结合律：对于任意三个复数\(z_1\)，\(z_2\)，\(z_3\)，有\((z_1\cdot z_2)\cdot z_3=z_1\cdot(z_2\cdot z_3)\)。

分配律：\(z_1\cdot(z_2 + z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3\)。

3. 示例

计算\((2 + 3i)\cdot(4 + 5i)\)

\[\begin{align*}(2 + 3i)\cdot(4 + 5i)&=2\times4+2\times5i+3i\times4 + 3i\times5i\\&=8 + 10i+12i+15i^2\\&=8 + 22i-15\\&=-7 + 22i\end{align*}\]

计算\((1 - i)\cdot(2 + i)\)

\[\begin{align*}(1 - i)\cdot(2 + i)&=1\times2+1\times i+(-i)\times2+(-i)\times i\\&=2 + i-2i - i^2\\&=2 - i+1\\&=3 - i\end{align*}\]

复数的除法运算

1. 运算法则

设\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)（\(c + di\neq0\)，即\(c^2 + d^2\neq0\)），则\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a + bi}{c + di}\)。

为了将分母实数化，给分子分母同时乘以分母的共轭复数\(c - di\)，即：

\[\begin{align*}\frac{a + bi}{c + di}&=\frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}\\&=\frac{ac-adi + bci - bdi^2}{c^2 - (di)^2}\\&=\frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2 + d^2}\\&=\frac{ac + bd}{c^2 + d^2}+\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i\end{align*}\]

2. 示例

计算\(\frac{3 + 2i}{1 - i}\)

将分子分母同时乘以分母的共轭复数\(1 + i\)：

\[\begin{align*}\frac{3 + 2i}{1 - i}&=\frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}\\&=\frac{3+3i + 2i+2i^2}{1 - i^2}\\&=\frac{3 + 5i-2}{2}\\&=\frac{1 + 5i}{2}\\&=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i\end{align*}\]

计算\(\frac{4 - i}{2 + 3i}\)

分子分母同乘\(2 - 3i\)：

\[\begin{align*}\frac{4 - i}{2 + 3i}&=\frac{(4 - i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)}\\&=\frac{8-12i-2i + 3i^2}{4 - 9i^2}\\&=\frac{8-14i-3}{4 + 9}\\&=\frac{5 - 14i}{13}\\&=\frac{5}{13}-\frac{14}{13}i\end{align*}\]

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