解析几何 12 两条直线的位置关系、夹角

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1. 两条直线平行

判定条件：

对于两条直线\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0\)和\(l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，

当\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)时，两直线平行。

例如，直线\(l_1:2x + 3y + 4 = 0\)和\(l_2:4x + 6y + 7 = 0\)，这里\(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}\neq\frac{4}{7}\)，所以\(l_1\)与\(l_2\)平行。

几何解释：

两条平行直线的倾斜角相等，从斜率角度看（当直线斜率存在时），如果直线\(l_1\)的斜率\(k_1 = -\frac{A_1}{B_1}\)，直线\(l_2\)的斜率\(k_2 = -\frac{A_2}{B_2}\)，那么\(k_1 = k_2\)。就像两条铁轨一样，它们在平面内沿着相同的“方向”延伸，不会相交。

特殊情况：

当\(B_1 = 0\)且\(B_2 = 0\)（此时直线\(l_1\)垂直于\(y\)轴，直线\(l_2\)也垂直于\(y\)轴），

或者\(A_1 = 0\)且\(A_2 = 0\)（此时直线\(l_1\)垂直于\(x\)轴，直线\(l_2\)也垂直于\(x\)轴）时，两直线也平行。

2. 两条直线垂直

判定条件：

对于直线\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0\)和\(l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，

当\(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)时，两直线垂直。

例如，直线\(l_1:3x - 4y + 5 = 0\)和\(l_2:4x + 3y - 6 = 0\)，因为\(3\times4+(-4)\times3 = 0\)，所以\(l_1\)与\(l_2\)垂直。

几何解释：

从斜率角度（当直线斜率存在时），如果直线\(l_1\)的斜率\(k_1 = -\frac{A_1}{B_1}\)，直线\(l_2\)的斜率\(k_2 = -\frac{A_2}{B_2}\)，那么\(k_1\times k_2=-1\)。可以想象成两条直线相交成直角，就像墙角的两条边一样。

特殊情况：

当一条直线斜率为\(0\)（平行于\(x\)轴），另一条直线斜率不存在（垂直于\(x\)轴）时，两直线也垂直。

3. 两条直线相交

判定条件：

当\(\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}\)时，两条直线相交。

例如，直线\(l_1:2x + 3y + 4 = 0\)和\(l_2:3x - 2y + 5 = 0\)，因为\(\frac{2}{3}\neq\frac{3}{-2}\)，所以两直线相交。

几何解释：

相交的两条直线有且只有一个交点，这个交点的坐标可以通过联立两条直线的方程求解。从几何图形上看，它们在平面内穿过彼此。

求交点坐标方法：

联立两条直线的方程\(\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}\)，可求解交点的坐标。

例如，对于直线\(l_1:x + 2y - 3 = 0\)和\(l_2:2x - y + 1 = 0\)，交点坐标为\((\frac{1}{5},\frac{7}{5})\)。

1. 两条直线的夹角

两条直线相交会形成四个角，我们规定两条直线的夹角是指其中不大于\(90^{\circ}\)的角，这个角的范围是\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)。

2. 计算公式（基于斜率）

设直线\(l_1\)的斜率为\(k_1\)，直线\(l_2\)的斜率为\(k_2\)。

当\(1 + k_1k_2\neq0\)时，两条直线的夹角\(\theta\)的正切值\(\tan\theta=\left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|\)。

例如，直线\(l_1\)的斜率\(k_1 = 1\)，直线\(l_2\)的斜率\(k_2 = -1\)，则\(\tan\theta=\left|\frac{1-(-1)}{1 + 1\times(-1)}\right|=\infty\)，因为\(\tan\theta\)不存在，此时\(\theta = \frac{\pi}{2}\)，即两直线垂直。

3. 特殊情况说明

当一条直线斜率不存在时：

若直线\(l_1\)垂直于\(x\)轴（斜率不存在），直线\(l_2\)的斜率为\(k_2\)，此时两直线夹角\(\theta\)。若\(k_2 = 0\)，则\(\theta=\frac{\pi}{2}\)；若\(k_2\neq0\)，设直线\(l_1\)方程为\(x = a\)，直线\(l_2\)方程为\(y = k_2x + b\)，两直线交点为\((a,k_2a + b)\)，夹角\(\theta\)满足\(\tan\theta=\left|\frac{1}{k_2}\right|\)。

当两条直线斜率都不存在时：

若直线\(l_1\)和\(l_2\)都垂直于\(x\)轴，那么两直线平行或重合，夹角为\(0\)。

4. 基于直线一般式的夹角公式推导

对于直线\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0\)和\(l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，先求出它们的斜率\(k_1 = -\frac{A_1}{B_1}\)，\(k_2 = -\frac{A_2}{B_2}\)（当\(B_1\neq0\)且\(B_2\neq0\)时）。

将其代入夹角正切公式\(\tan\theta=\left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|\)，经过化简（过程涉及分式运算和绝对值处理）可以得到基于直线一般式的夹角公式\(\tan\theta=\left|\frac{A_1B_2 - A_2B_1}{A_1A_2 + B_1B_2}\right|\)（当\(A_1A_2 + B_1B_2\neq0\)时）。