圆锥曲线 13 椭圆与直线的位置关系

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

1. 联立方程判断

设椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)，直线方程为\(y = kx + m\)。

将直线方程代入椭圆方程，得到\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(kx + m)^{2}}{b^{2}}=1\)。

展开并整理可得\((a^{2}k^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}kmx+a^{2}(m^{2}-b^{2}) = 0\)。

这是一个一元二次方程，我们可以通过判别式\(\Delta=(2a^{2}km)^{2}-4(a^{2}k^{2}+b^{2})\times a^{2}(m^{2}-b^{2})\)来判断直线与椭圆的位置关系。

2. 位置关系的具体情况

相交：

当\(\Delta>0\)时，直线与椭圆相交，此时直线与椭圆有两个不同的交点。例如，椭圆方程\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)和直线方程\(y = x + 1\)，联立方程得到\((3 + 4)x^{2}+8x - 8 = 0\)，\(\Delta=8^{2}-4\times7\times(- 8)>0\)，所以直线与椭圆相交。

相切：

当\(\Delta = 0\)时，直线与椭圆相切，直线与椭圆只有一个公共点。比如椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)和直线\(y=\frac{2}{3}x + 2\)，联立后通过计算\(\Delta\)会发现\(\Delta = 0\)，说明直线与椭圆相切。