∑ 求和符号、∏ 连乘符号

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∑ 是一个求和符号，英语名称：sigma，汉语名称：西格玛（大写Σ，小写σ），

∑ 英文意思为Sum，Summation，汉语意思为“和”“总和”。

在数学中，通常把∑作为求和符号使用，∑ 是由Sum的首字母S演化而来；用小写字母σ，表示标准差。

求和的功能类似下面这段C++代码：

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

const int n = 5; // 这里假设数组大小为n，你可以根据实际情况修改

int arr[n + 1]; // 数组大小多分配1个位置，使索引能从1开始

// 初始化数组（这里简单示例赋值，实际可能有不同来源的数据）

for (int i = 1; i <= n; ++i) {

arr[i] = i;

}

int sum = 0;

for (int i = 1; i <= n; ++i) {

sum += arr[i];

}

cout << "数组从1到" << n << "的元素之和为: " << sum << endl;

return 0;

}

1. 线性性质

加法性质：对于两个数列\(\left\{a_{n}\right\}\)和\(\left\{b_{n}\right\}\)，以及整数\(m\)和\(n\)（\(m\leq n\)），有

\(\sum_{i = m}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum_{i = m}^{n}a_{i}+\sum_{i = m}^{n}b_{i}\)。

例如，若\(a_{i}=i\)，\(b_{i}=2i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，则

\(\sum_{i = 1}^{3}(a_{i}+b_{i})=(1 + 2\times1)+(2+2\times2)+(3 + 2\times3)\)

\(= (1+2)+(2 + 4)+(3+6)=3+6 + 9 = 18\)

\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=\sum_{i = 1}^{3}i=1 + 2+3 = 6\)

\(\sum_{i = 1}^{3}b_{i}=\sum_{i = 1}^{3}2i=2\times1+2\times2 + 2\times3=2 + 4+6 = 12\)

可以验证\(\sum_{i = 1}^{3}(a_{i}+b_{i})=\sum_{i = 1}^{3}a_{i}+\sum_{i = 1}^{3}b_{i}\)。

数乘性质：对于数列\(\left\{a_{n}\right\}\)，常数\(c\)，以及整数\(m\)和\(n\)（\(m\leq n\)），有\(\sum_{i = m}^{n}ca_{i}=c\sum_{i = m}^{n}a_{i}\)。

例如，若\(a_{i}=i\)，\(c = 3\)，\(m = 1\)，\(n = 4\)，则

\(\sum_{i = 1}^{4}3a_{i}=3\times1+3\times2+3\times3 + 3\times4\)

\(=3\times(1 + 2+3+4)=3\times10 = 30\)

\(\sum_{i = 1}^{4}a_{i}=1 + 2+3+4 = 10\)

可以验证\(\sum_{i = 1}^{4}3a_{i}=3\sum_{i = 1}^{4}a_{i}\)。

2. 求和指标的变换性质

平移性质：设\(k\)为常数，对于整数\(m\)，\(n\)（\(m\leq n\)），\(\sum_{i = m}^{n}a_{i}=\sum_{j=m + k}^{n + k}a_{j - k}\)。

例如，若\(a_{i}=i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，\(k = 2\)，则

\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=1 + 2+3 = 6\)，\(\sum_{j=3}^{5}a_{j - 2}\)，

当\(j = 3\)时，\(a_{3 - 2}=a_{1}=1\)；

当\(j = 4\)时，\(a_{4 - 2}=a_{2}=2\)；

当\(j = 5\)时，\(a_{5 - 2}=a_{3}=3\)，

所以\(\sum_{j=3}^{5}a_{j - 2}=1 + 2+3 = 6\)，可以验证\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=\sum_{j=3}^{5}a_{j - 2}\)。

换元性质（重命名性质）：若\(j = f(i)\)是一个一一对应的映射（双射），那么

\(\sum_{i = m}^{n}a_{i}=\sum_{j = f(m)}^{f(n)}a_{f^{-1}(j)}\)（这里\(f^{-1}\)是\(f\)的反函数）。

例如，设\(a_{i}=i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，令\(j = i + 1\)，则\(i=j - 1\)，\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=1 + 2+3 = 6\)，\(\sum_{j = 2}^{4}a_{j - 1}\)，

当\(j = 2\)时，\(a_{2 - 1}=a_{1}=1\)；

当\(j = 3\)时，\(a_{3 - 1}=a_{2}=2\)；

当\(j = 4\)时，\(a_{4 - 1}=a_{3}=3\)，

所以\(\sum_{j = 2}^{4}a_{j - 1}=1 + 2+3 = 6\)，可以验证\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=\sum_{j = 2}^{4}a_{j - 1}\)。

3. 拆分与合并区间性质

拆分性质：对于整数\(m\)，\(n\)，\(p\)（\(m\leq n\leq p\)），\(\sum_{i = m}^{p}a_{i}=\sum_{i = m}^{n}a_{i}+\sum_{i = n + 1}^{p}a_{i}\)。

例如，若\(a_{i}=i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，\(p = 5\)，则

\(\sum_{i = 1}^{5}a_{i}=1 + 2+3+4 + 5 = 15\)

\(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}=1 + 2+3 = 6\)

\(\sum_{i = 4}^{5}a_{i}=4 + 5 = 9\)，可以验证

\(\sum_{i = 1}^{5}a_{i}=\sum_{i = 1}^{3}a_{i}+\sum_{i = 4}^{5}a_{i}\)。

合并性质（相反过程）：如果有\(\sum_{i = m}^{n}a_{i}\)和\(\sum_{i = n + 1}^{p}a_{i}\)，可以合并为\(\sum_{i = m}^{p}a_{i}\)，前提是区间是连续的。

4. 有限求和的结合律性质

对于整数\(m\)，\(n\)（\(m\leq n\)），\(\left(\sum_{i = m}^{n}a_{i}\right)+\left(\sum_{i = m}^{n}b_{i}\right)=\sum_{i = m}^{n}(a_{i}+b_{i})\)，

这其实也是线性性质中加法性质的一种体现，不过从结合律的角度可以加深理解。

例如，设\(a_{i}=2i\)，\(b_{i}=3i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)

\(\left(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}\right)+\left(\sum_{i = 1}^{3}b_{i}\right)\)

\(=(2\times1+2\times2+2\times3)+(3\times1+3\times2+3\times3)\)

\(=(2 + 4+6)+(3 + 6+9)=12 + 18 = 30\)

\(\sum_{i = 1}^{3}(a_{i}+b_{i})=(2\times1+3\times1)+(2\times2+3\times2)+(2\times3+3\times3)\)

\(=(2 + 3)+(4 + 6)+(6 + 9)=5+10 + 15 = 30\)，

可以验证

\(\left(\sum_{i = 1}^{3}a_{i}\right)+\left(\sum_{i = 1}^{3}b_{i}\right)=\sum_{i = 1}^{3}(a_{i}+b_{i})\)。

1. 乘法交换律性质

对于连乘符号\(\prod_{i = 1}^{n}a_{i}\)，如果\(\{a_i\}\)是一个数列，交换其中因子的顺序，连乘的结果不变。即

\(\prod_{i = 1}^{n}a_{i}=\prod_{j = 1}^{n}a_{\sigma(j)}\)，其中\(\sigma\)是\(\{1,2,\cdots,n\}\)的一个排列。

例如，对于\(a_1 = 2\)，\(a_2 = 3\)，\(a_3 = 4\)，\(\prod_{i = 1}^{3}a_{i}=2\times3\times4 = 24\)。

如果交换顺序，比如按照\(a_2,a_3,a_1\)的顺序，即\(a_{\sigma(1)} = 3\)，\(a_{\sigma(2)} = 4\)，\(a_{\sigma(3)} = 2\)，

\(\prod_{j = 1}^{3}a_{\sigma(j)}=3\times4\times2 = 24\)。

2. 乘法结合律性质

对于连乘符号\(\prod_{i = 1}^{n}a_{i}\)，可以将相邻的因子结合起来进行计算，结果不变。

例如，\(\prod_{i = 1}^{n}a_{i}=\left(\prod_{i = 1}^{k}a_{i}\right)\left(\prod_{i = k + 1}^{n}a_{i}\right)\)，其中\(1\leq k < n\)。

例如，对于\(a_1 = 2\)，\(a_2 = 3\)，\(a_3 = 4\)，\(a_4 = 5\)，\(\prod_{i = 1}^{4}a_{i}=2\times3\times4\times5 = 120\)。

如果令\(k = 2\)，\(\left(\prod_{i = 1}^{2}a_{i}\right)\left(\prod_{i = 3}^{4}a_{i}\right)=(2\times3)\times(4\times5)=6\times20 = 120\)。

3. 分配律性质（与常数相乘）

对于常数\(c\)和数列\(\{a_i\}\)，\(c\prod_{i = 1}^{n}a_{i}=\prod_{i = 1}^{n}(ca_{i})\)。

例如，对于\(a_1 = 2\)，\(a_2 = 3\)，\(c = 4\)，\(c\prod_{i = 1}^{2}a_{i}=4\times(2\times3)=4\times6 = 24\)，

\(\prod_{i = 1}^{2}(ca_{i})=(4\times2)\times(4\times3)=8\times12 = 24\)。

4. 连乘指标的变换性质

平移性质：设\(k\)为常数，\(\prod_{i = m}^{n}a_{i}=\prod_{j=m + k}^{n + k}a_{j - k}\)。

例如，对于\(a_i = i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，\(k = 1\)，\(\prod_{i = 1}^{3}a_{i}=1\times2\times3 = 6\)，\(\prod_{j = 2}^{4}a_{j - 1}\)，当\(j = 2\)时，\(a_{j - 1}=a_1 = 1\)；当\(j = 3\)时，\(a_{j - 1}=a_2 = 2\)；当\(j = 4\)时，\(a_{j - 1}=a_3 = 3\)，所以\(\prod_{j = 2}^{4}a_{j - 1}=1\times2\times3 = 6\)。

换元性质（重命名性质）：若\(j = f(i)\)是一个一一对应的映射（双射），那么

\(\prod_{i = m}^{n}a_{i}=\prod_{j = f(m)}^{f(n)}a_{f^{-1}(j)}\)（这里\(f^{-1}\)是\(f\)的反函数）。

例如，设\(a_i = i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，令\(j = i+1\)，则\(i = j - 1\)，\(\prod_{i = 1}^{3}a_{i}=1\times2\times3 = 6\)，\(\prod_{j = 2}^{4}a_{j - 1}\)，

当\(j = 2\)时，\(a_{j - 1}=a_1 = 1\)；

当\(j = 3\)时，\(a_{j - 1}=a_2 = 2\)；

当\(j = 4\)时，\(a_{j - 1}=a_3 = 3\)，所以\(\prod_{j = 2}^{4}a_{j - 1}=1\times2\times3 = 6\)。

5. 拆分与合并区间性质

拆分性质：对于整数\(m\)，\(n\)，\(p\)（\(m\leq n\leq p\)），\(\prod_{i = m}^{p}a_{i}=\left(\prod_{i = m}^{n}a_{i}\right)\left(\prod_{i = n + 1}^{p}a_{i}\right)\)。

例如，对于\(a_1 = 2\)，\(a_2 = 3\)，\(a_3 = 4\)，\(a_4 = 5\)，\(\prod_{i = 1}^{4}a_{i}=2\times3\times4\times5 = 120\)。

如果令\(n = 2\)，\(\left(\prod_{i = 1}^{2}a_{i}\right)\left(\prod_{i = 3}^{4}a_{i}\right)=(2\times3)\times(4\times5)=6\times20 = 120\)。

合并性质（相反过程）：如果有\(\prod_{i = m}^{n}a_{i}\)和\(\prod_{i = n + 1}^{p}a_{i}\)，可以合并为\(\prod_{i = m}^{p}a_{i}\)，前提是区间是连续的。