重要极限：\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\) 与 \(\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^{n}=e\)

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重要极限：\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

例1：直接应用极限形式

计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。

令\(t = 3x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式可化为\(\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{\frac{t}{3}} = 3\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=3\times1 = 3\)。

例2：函数变形后应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\)。

可将原式变形为\(\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\)，根据重要极限，结果为\(1^{2}=1\)。

例3：与其他函数组合应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x(1 + x)}\)。

可将原式拆分为\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{1 + x}\)，根据重要极限和函数极限的四则运算法则，结果为\(1\times1 = 1\)。

例4：在分式分母中的应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin2x}\)。

令\(t = 2x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}\frac{\frac{t}{2}}{\sin t}=\frac{1}{2}\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=\frac{1}{2}\)。

例5：与根式结合应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x + 1}\sin x}{x}\)。

可将原式拆分为\(\lim_{x\to0}\sqrt{x + 1}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\)，根据函数极限的四则运算法则和重要极限，结果为\(1\times1 = 1\)。

例6：在三角函数复合函数中的应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\)。

令\(t=\sin x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1\)。

例7：在复杂分式中的应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^{3}}\)。

利用等价无穷小\(\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\)（泰勒展开式），则原式\(=\lim_{x\to0}\frac{x-\frac{x^{3}}{6}-x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}\)。这里先利用了更高级的知识来展示与重要极限的联系，也可以通过洛必达法则求解。

例8：在三角函数乘积中的应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x\sin2x}{x^{2}}\)。

可变形为\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}\)，进一步处理\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot2\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}\)，结果为\(1\times2\times1 = 2\)。

例9：在含指数函数的式子中的应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{e^{x}\sin x}{x}\)。

拆分为\(\lim_{x\to0}e^{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\)，根据指数函数极限和重要极限，结果为\(1\times1 = 1\)。

例10：在分式分子分母都含三角函数的式子中的应用

计算\(\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{\sin x}\)。

因为\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，原式可化为\(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}\)，结果为\(1\times1\times1 = 1\)。

重要极限：\(\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^{n}=e\)

当\(x\to\infty\)时 \(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\)

当\(x\to0\)时，\(\lim_{x\to0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}=e\)

例1：直接应用极限形式（数列）

计算\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{3n}\)。

令\(m = 3n\)，当\(n\to\infty\)时，\(m\to\infty\)。则原式可化为\(\lim_{m\to\infty}(1 + \frac{1}{m/3})^{m}=\lim_{m\to\infty}[(1 + \frac{1}{m/3})^{\frac{m}{3}}]^{3}=e^{3}\)。

例2：函数变形后应用（函数）

计算\(\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{x}\)。

令\(t=-x\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to-\infty\)。则原式变为\(\lim_{t\to-\infty}(1+\frac{1}{t})^{-t}=\lim_{t\to-\infty}\frac{1}{(1 + \frac{1}{t})^{t}}=\frac{1}{e}\)。

例3：与其他函数组合应用（函数）

计算\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x + 1}\)。

可将原式变形为\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\cdot\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})\)，根据重要极限和函数极限的四则运算法则，结果为\(e\times1 = e\)。

例4：在复杂指数函数中的应用（函数）

计算\(\lim_{x\to0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}}\)。

令\(t = 2x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{2}{t}}=\lim_{t\to0}[(1 + t)^{\frac{1}{t}}]^{2}=e^{2}\)。

例5：在分式指数中的应用（函数）

计算\(\lim_{x\to\infty}(\frac{x + 1}{x - 1})^{x}\)。

先将原式变形为\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x - 1})^{x}\)，令\(t=\frac{x - 1}{2}\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to\infty\)。则式子变为\(\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{2t + 1}=\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{2t}\cdot\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})\)，结果为\(e^{2}\times1 = e^{2}\)。

例6：在复合函数中的应用（函数）

计算\(\lim_{x\to0}(1 + \sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\)。

令\(t=\sin x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{1}{t}}=e\)。

例7：在极限运算中与对数函数结合（函数）

计算\(\lim_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})\)。

令\(t=\frac{1}{x}\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}\frac{\ln(1 + t)}{t}\)，根据等价无穷小\(\ln(1 + t)\sim t\)（当\(t\to0\)），结果为\(1\)。

例8：在指数函数与幂函数组合中的应用（函数）

计算\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x^{2}})^{x^{2}}\)。

令\(t = x^{2}\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to\infty\)。则原式变为\(\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{t}=e\)。

例9：在含三角函数的指数函数中的应用（函数）

计算\(\lim_{x\to0}(1+\tan x)^{\frac{1}{\tan x}}\)。

令\(t = \tan x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{1}{t}}=e\)。

例10：在复杂函数组合中的应用（函数）

计算\(\lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})]^{x}\)。

可将原式变形为\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\cdot\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{x}\)，进一步处理得到\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\cdot\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{\frac{x}{2}\times2}\)，结果为\(e\cdot e^{2}=e^{3}\)。