高等数学：复合函数：定义域、值域、求导、单调性

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一、复合函数的定义

定义：设函数 \( y = f(u) \) 的定义域为 \( D_f \)，函数 \( u = g(x) \) 的定义域为 \( D_g \)，值域为 \( R_g \)。若 \( R_g \cap D_f \neq \varnothing \)，则称函数 \( y = f[g(x)] \) 为由 \( f \) 和 \( g \) 复合而成的复合函数，其中 \( u \) 称为中间变量。

例：若 \( f(u) = \sqrt{u} \)，\( g(x) = x^2 + 1 \)，则复合函数为 \( f[g(x)] = \sqrt{x^2 + 1} \)，其中 \( u = x^2 + 1 \) 是中间变量。

二、复合函数的定义域

1. 核心原则：

复合函数 \( f[g(x)] \) 的定义域是满足以下条件的 \( x \) 的集合：

\( x \) 满足内层函数 \( g(x) \) 的定义域；

内层函数的值 \( g(x) \) 满足外层函数 \( f(u) \) 的定义域，即 \( g(x) \in D_f \)。

2. 求定义域的步骤：

第一步：确定内层函数 \( g(x) \) 的定义域 \( D_g \)；

第二步：解不等式 \( g(x) \in D_f \)，得到 \( x \) 的范围；

第三步：取两步结果的交集，即为复合函数的定义域。

3. 示例：

设 \( f(u) = \frac{1}{u-1} \)，\( g(x) = \sqrt{x} \)，求 \( f[g(x)] \) 的定义域。

内层 \( g(x) = \sqrt{x} \) 的定义域为 \( x \geq 0 \)；

外层 \( f(u) \) 的定义域为 \( u \neq 1 \)，即 \( \sqrt{x} \neq 1 \)，解得 \( x \neq 1 \)；

因此，复合函数的定义域为 \( x \geq 0 \) 且 \( x \neq 1 \)，即 \( [0,1) \cup (1, +\infty) \)。

三、复合函数的值域

1. 核心原则：

复合函数 \( f[g(x)] \) 的值域是内层函数 \( g(x) \) 的值域 \( R_g \) 在外层函数 \( f(u) \) 下的像，即：

先求内层函数 \( u = g(x) \) 的值域 \( R_g \)；

再求 \( f(u) \) 在 \( u \in R_g \cap D_f \) 上的值域，即为复合函数的值域。

2. 示例：

设 \( f(u) = u^2 \)，\( g(x) = \sin x \)，求 \( f[g(x)] = (\sin x)^2 \) 的值域。

内层 \( g(x) = \sin x \) 的值域为 \( [-1, 1] \)；

外层 \( f(u) = u^2 \) 在 \( u \in [-1, 1] \) 上的值域为 \( [0, 1] \)，即复合函数的值域为 \( [0, 1] \)。

四、复合函数的求导（链式法则）

1. 链式法则：

若 \( y = f(u) \) 在 \( u \) 处可导，\( u = g(x) \) 在 \( x \) 处可导，则复合函数 \( y = f[g(x)] \) 在 \( x \) 处可导，且导数为：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad f'[g(x)] = f'(u) \cdot g'(x)\)

本质：外层函数对中间变量求导 × 中间变量对自变量求导。

2. 多层复合的链式法则：

若 \( y = f(u) \)，\( u = g(v) \)，\( v = h(x) \)，则：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}\)

3. 示例：

求 \( y = \sin(x^2) \) 的导数：

设 \( y = \sin u \)，\( u = x^2 \)，则 \( \frac{dy}{du} = \cos u \)，\( \frac{du}{dx} = 2x \)，

故 \( \frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) \)。

求 \( y = e^{\sqrt{x}} \) 的导数：

设 \( y = e^u \)，\( u = \sqrt{v} \)，\( v = x \)，则 \( \frac{dy}{du} = e^u \)，\( \frac{du}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \)，\( \frac{dv}{dx} = 1 \)，

故 \( \frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \)。

五、复合函数的单调性

1. 单调性法则：

设 \( u = g(x) \) 在区间 \( I \) 上单调，\( y = f(u) \) 在 \( g(I) \) 上单调，则：

若 \( g(x) \) 与 \( f(u) \) 同增或同减（单调性相同），则复合函数 \( f[g(x)] \) 在 \( I \) 上单调递增；

若 \( g(x) \) 与 \( f(u) \) 一增一减（单调性相反），则复合函数 \( f[g(x)] \) 在 \( I \) 上单调递减。

简记为：同增异减。

2. 判断步骤：

第一步：确定内层函数 \( g(x) \) 的单调区间；

第二步：确定外层函数 \( f(u) \) 在对应 \( u = g(x) \) 范围内的单调性；

第三步：根据“同增异减”判断复合函数的单调性。

3. 示例：

求 \( y = \sqrt{x^2 - 2x + 3} \) 的单调区间：

设 \( u = x^2 - 2x + 3 \)，\( y = \sqrt{u} \)。

内层 \( u = (x-1)^2 + 2 \)：在 \( (-\infty, 1] \) 上递减，在 \( [1, +\infty) \) 上递增；

外层 \( y = \sqrt{u} \) 在 \( u \geq 2 \) 上递增（因 \( u \geq 2 \) 恒成立）；

根据“同增异减”：

当 \( x \in [1, +\infty) \) 时，内外层同增，复合函数递增；

当 \( x \in (-\infty, 1] \) 时，内层减、外层增，复合函数递减。

六、总结与注意事项

定义与结构：复合函数的本质是函数的嵌套，需明确中间变量；

定义域与值域：定义域由内、外层函数共同限制，值域需逐层推导；

求导：链式法则是核心，多层复合需逐步分解，避免遗漏导数；

单调性：“同增异减”法则需结合内外层函数的单调区间综合判断。

通过以上分析，可系统掌握复合函数的核心性质及应用方法。

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