一、复合函数的定义

定义：设函数 $y = f(u)$ 的定义域为 $D_f$，函数 $u = g(x)$ 的定义域为 $D_g$，值域为 $R_g$。若 $R_g \cap D_f \neq \varnothing$，则称函数 $y = f[g(x)]$ 为由 $f$ 和 $g$ 复合而成的复合函数，其中 $u$ 称为中间变量。

例：若 $f(u) = \sqrt{u}$，$g(x) = x^2 + 1$，则复合函数为 $f[g(x)] = \sqrt{x^2 + 1}$，其中 $u = x^2 + 1$ 是中间变量。

二、复合函数的定义域

1. 核心原则：

复合函数 $f[g(x)]$ 的定义域是满足以下条件的 $x$ 的集合：

$x$ 满足内层函数 $g(x)$ 的定义域；

内层函数的值 $g(x)$ 满足外层函数 $f(u)$ 的定义域，即 $g(x) \in D_f$。

2. 求定义域的步骤：

第一步：确定内层函数 $g(x)$ 的定义域 $D_g$；

第二步：解不等式 $g(x) \in D_f$，得到 $x$ 的范围；

第三步：取两步结果的交集，即为复合函数的定义域。

3. 示例：

设 $f(u) = \frac{1}{u-1}$，$g(x) = \sqrt{x}$，求 $f[g(x)]$ 的定义域。

内层 $g(x) = \sqrt{x}$ 的定义域为 $x \geq 0$；

外层 $f(u)$ 的定义域为 $u \neq 1$，即 $\sqrt{x} \neq 1$，解得 $x \neq 1$；

因此，复合函数的定义域为 $x \geq 0$ 且 $x \neq 1$，即 $[0,1) \cup (1, +\infty)$。

三、复合函数的值域

1. 核心原则：

复合函数 $f[g(x)]$ 的值域是内层函数 $g(x)$ 的值域 $R_g$ 在外层函数 $f(u)$ 下的像，即：

先求内层函数 $u = g(x)$ 的值域 $R_g$；

再求 $f(u)$ 在 $u \in R_g \cap D_f$ 上的值域，即为复合函数的值域。

2. 示例：

设 $f(u) = u^2$，$g(x) = \sin x$，求 $f[g(x)] = (\sin x)^2$ 的值域。

内层 $g(x) = \sin x$ 的值域为 $[-1, 1]$；

外层 $f(u) = u^2$ 在 $u \in [-1, 1]$ 上的值域为 $[0, 1]$，即复合函数的值域为 $[0, 1]$。

四、复合函数的求导（链式法则）

1. 链式法则：

若 $y = f(u)$ 在 $u$ 处可导，$u = g(x)$ 在 $x$ 处可导，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 在 $x$ 处可导，且导数为：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad f'[g(x)] = f'(u) \cdot g'(x)$

本质：外层函数对中间变量求导 × 中间变量对自变量求导。

2. 多层复合的链式法则：

若 $y = f(u)$，$u = g(v)$，$v = h(x)$，则：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

3. 示例：

求 $y = \sin(x^2)$ 的导数：

设 $y = \sin u$，$u = x^2$，则 $\frac{dy}{du} = \cos u$，$\frac{du}{dx} = 2x$，

故 $\frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$。

求 $y = e^{\sqrt{x}}$ 的导数：

设 $y = e^u$，$u = \sqrt{v}$，$v = x$，则 $\frac{dy}{du} = e^u$，$\frac{du}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$，$\frac{dv}{dx} = 1$，

故 $\frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$。

五、复合函数的单调性

1. 单调性法则：

设 $u = g(x)$ 在区间 $I$ 上单调，$y = f(u)$ 在 $g(I)$ 上单调，则：

若 $g(x)$ 与 $f(u)$ 同增或同减（单调性相同），则复合函数 $f[g(x)]$ 在 $I$ 上单调递增；

若 $g(x)$ 与 $f(u)$ 一增一减（单调性相反），则复合函数 $f[g(x)]$ 在 $I$ 上单调递减。

简记为：同增异减。

2. 判断步骤：

第一步：确定内层函数 $g(x)$ 的单调区间；

第二步：确定外层函数 $f(u)$ 在对应 $u = g(x)$ 范围内的单调性；

第三步：根据“同增异减”判断复合函数的单调性。

3. 示例：

求 $y = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$ 的单调区间：

设 $u = x^2 - 2x + 3$，$y = \sqrt{u}$。

内层 $u = (x-1)^2 + 2$：在 $(-\infty, 1]$ 上递减，在 $[1, +\infty)$ 上递增；

外层 $y = \sqrt{u}$ 在 $u \geq 2$ 上递增（因 $u \geq 2$ 恒成立）；

根据“同增异减”：

当 $x \in [1, +\infty)$ 时，内外层同增，复合函数递增；

当 $x \in (-\infty, 1]$ 时，内层减、外层增，复合函数递减。

六、总结与注意事项

定义与结构：复合函数的本质是函数的嵌套，需明确中间变量；

定义域与值域：定义域由内、外层函数共同限制，值域需逐层推导；

求导：链式法则是核心，多层复合需逐步分解，避免遗漏导数；

单调性：“同增异减”法则需结合内外层函数的单调区间综合判断。

通过以上分析，可系统掌握复合函数的核心性质及应用方法。

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