高等数学：映射与函数的定义

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、映射

设\(X\)、\(Y\)是两个非空集合，如果存在一个法则\(f\)，使得对于\(X\)中每个元素\(x\)，在\(Y\)中都有唯一确定的元素\(y\)与之对应，那么就称\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的一个映射，记作\(f:X→Y\)。

元素\(y\)称为元素\(x\)（在映射\(f\)下）的像，记作\(y = f(x)\)；

元素\(x\)称为元素\(y\)（在映射\(f\)下）的一个原像。集合\(X\)称为映射\(f\)的定义域，记作\(D_f\)

\(X\)中所有元素的像所组成的集合称为映射\(f\)的值域，记作\(R_f\)，即\(R_f=\{y|y = f(x),x\in D_f\}\)。

例如，设\(X = \{1,2,3\}\)，\(Y = \{a,b,c,d\}\)

规定\(f(1)=a\)，\(f(2)=b\)，\(f(3)=c\)，这就定义了一个从\(X\)到\(Y\)的映射。这里\(D_f = X=\{1,2,3\}\)，\(R_f = \{a,b,c\}\)。

定义域是映射开始的集合，即所有原像的集合；

值域是映射结束后像的集合的一个子集（对于一般映射而言，值域可能不等于像的集合所在的整个集合）。

例如，对于映射\(f(x)=\sqrt{x}\)，定义域为\([0,+\infty)\)，值域也是\([0,+\infty)\)。

对应法则是映射的核心，它决定了定义域中的元素如何对应到值域中的元素。

对应法则可以是一个公式（如\(y = 2x + 1\)）、一个表格（列出不同原像对应的像）、一个描述性的规则（如将自然数映射为它的因数个数）等多种形式。

1、单射（一一映射）

定义：如果映射\(f:X→Y\)对\(X\)中任意两个不同元素\(x_1\neq x_2\)，它们的像\(f(x_1)\neq f(x_2)\)，那么称\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的单射。

举例：设\(X=\{1,2,3\}\)，\(Y = \{a,b,c,d\}\)，定义\(f(1)=a\)，\(f(2)=b\)，\(f(3)=d\)，这个映射\(f\)就是单射，因为\(X\)中不同元素在\(Y\)中有不同的像。

特点：不同的原像对应不同的像，保证了元素之间的一对一对应关系（在像和原像之间）。

例如，在身份验证系统中，每个用户（原像）对应唯一的身份识别码（像），这种单射关系确保了身份识别的准确性。

意义：在数学结构的嵌入和比较中很重要。比如在代数结构里，单射同态可以把一个结构嵌入到另一个结构中，方便比较不同结构的性质。从集合的角度看，单射可以用于比较集合的基数，若存在从集合\(A\)到集合\(B\)的单射，则\(\vert A\vert\leq\vert B\vert\)。

2、满射（到上映射）

定义：如果映射\(f:X→Y\)的值域\(R_f = Y\)，即\(Y\)中的每一个元素都是\(X\)中某元素的像，那么称\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的满射。

举例：设\(X=\{1,2,3\}\)，\(Y = \{a,b,c\}\)，定义\(f(1)=a\)，\(f(2)=b\)，\(f(3)=c\)，这个映射\(f\)就是满射，因为\(Y\)中的每个元素都有\(X\)中的元素与之对应。

特点：值域中的每个元素都有原像，即映射能够“覆盖”整个值域。

例如，将一个班级学生分组，使每个小组（值域元素）都有学生（原像）与之对应，这就是满射的一种体现。

意义：在研究映射的覆盖范围和结构的完备性方面有重要作用。在函数论中，满射函数可以保证值域中的每个值都能通过定义域中的某个元素得到，这对于反函数的存在性等问题有一定的启示。

3、双射（一一对应）

定义：如果映射\(f:X→Y\)既是单射又是满射，那么称\(f\)是双射。

举例：设\(X = \{1,2,3\}\)，\(Y=\{a,b,c\}\)，定义\(f(1)=a\)，\(f(2)=b\)，\(f(3)=c\)，这个映射\(f\)是双射，因为它既满足单射的条件（不同\(x\)对应不同\(y\)），又满足满射的条件（\(Y\)中每个元素都有原像）。

特点：既是单射又是满射，建立了两个集合元素之间完美的一对一对应关系。就像在一场座位全部坐满的演出中，观众（一个集合）和座位（另一个集合）之间是双射关系，每个观众有唯一的座位，每个座位也有唯一的观众。

意义：双射在集合论中有重要地位，用于判断两个集合等势（即元素个数“相同”的一种等价关系）。在实际应用中，双射常用来建立两个不同结构之间的同构关系，意味着这两个结构在本质上是相同的，只是元素的表示形式不同。

4、复合映射

定义：设映射\(f:X→Y\)，\(g:Y→Z\)，则由映射\(f\)和\(g\)可以确定一个从\(X\)到\(Z\)的复合映射，记作\(g\circ f\)，对于任意\(x\in X\)，有\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)。

举例：设\(X=\{1,2\}\)，\(Y = \{a,b\}\)，\(Z=\{m,n\}\)

\(f(1)=a\)，\(f(2)=b\)，\(g(a)=m\)，\(g(b)=n\)，那么复合映射\(g\circ f\)满足\((g\circ f)(1)=g(f(1)) = g(a)=m\)，\((g\circ f)(2)=g(f(2)) = g(b)=n\)。

5、逆映射

定义：设\(f:X→Y\)是双射，则它的逆映射\(f^{-1}:Y→X\)定义为：对于任意\(y\in Y\)，如果\(y = f(x)\)，那么\(x = f^{-1}(y)\)。

需要注意的是，只有双射才有逆映射。

举例：设\(X = \{1,2,3\}\)，\(Y=\{a,b,c\}\)，\(f(1)=a\)，\(f(2)=b\)，\(f(3)=c\)是一个双射，那么它的逆映射\(f^{-1}\)为\(f^{-1}(a)=1\)，\(f^{-1}(b)=2\)，\(f^{-1}(c)=3\)。

二、函数

设数集\(D\subseteq R\)（\(R\)为实数集），则映射\(f:D\to R\)称为定义在\(D\)上的函数，简记为\(y = f(x),x\in D\)。

其中\(x\)称为自变量，\(y\)称为因变量，\(D\)称为函数的定义域，记作\(D_f\)。

函数值\(f(x)\)的全体所构成的集合称为值域，记作\(R_f=\left\{y\vert y = f(x),x\in D_f\right\}\)。

例如，对于函数\(y = \sqrt{x}\)，其定义域\(D = [0,+\infty)\)，因为对于任何非负实数\(x\)，\(\sqrt{x}\)都有唯一的非负实数与之对应。

当\(x\)在定义域\([0,+\infty)\)内取值时，值域\(R_f=[0,+\infty)\)。

定义域的重要性：定义域是函数的基础，它规定了自变量的取值范围。函数只有在定义域内才有意义。

例如，函数\(y=\frac{1}{x}\)，其定义域是\(x\neq0\)，因为当\(x = 0\)时，\(\frac{1}{x}\)无定义。

不同的定义域可以导致函数具有不同的性质。

例如，\(y = x^2\)在定义域\((-\infty,+\infty)\)上是偶函数，而如果将定义域限制为\([0,+\infty)\)，它就失去了关于\(y\)轴对称的性质。

对应法则的唯一性：对于定义域内的每一个\(x\)，按照给定的规则（对应法则），有且只有一个\(y\)与之对应。这是函数区别于一般关系的重要特征。

例如，对于关系\(x^2 + y^2 = 1\)（\(x,y\in R\)），它不是函数，因为当\(x = 0\)时，\(y=\pm1\)，不满足一个\(x\)对应唯一的\(y\)的要求。但如果将其改写为\(y=\sqrt{1 - x^2}\)（\(y\geq0\)），此时对于给定的\(x\in[-1,1]\)，就有唯一的\(y\)与之对应，这就构成了一个函数。

值域的确定：值域是由定义域和对应法则共同决定的。它是函数所有可能输出值的集合。通过分析定义域和对应法则，可以确定函数的值域。

例如，对于函数\(y = 2x + 1\)，当定义域为\((-\infty,+\infty)\)时，由于\(x\)可以取任意实数，\(2x\)也可以取任意实数，\(2x + 1\)同样可以取任意实数，所以值域为\((-\infty,+\infty)\)。

多元函数：当自变量的个数超过一个时，就形成了多元函数。

例如，\(z = f(x,y)\)是一个二元函数，它的定义域是\(x - y\)平面上的一个区域\(D\)，对于\(D\)中的每一对\((x,y)\)，按照一定的规则对应唯一的\(z\)值。

例如，\(z = x^2 + y^2\)，其定义域可以是整个\(x - y\)平面\(R^2\)，当\((x,y)\)在平面上取值时，\(z\)的值由\(x^2 + y^2\)确定，值域是\([0,+\infty)\)。

隐函数：有些函数不是以\(y = f(x)\)这种显式形式给出的，而是通过一个方程\(F(x,y)=0\)来定义的，这种函数称为隐函数。

例如，方程\(x^2 + y^2 - 1 = 0\)在一定条件下可以确定\(y\)是\(x\)的隐函数。在某些区间内，可以解出\(y=\pm\sqrt{1 - x^2}\)，但隐函数并不总是能显式地解出\(y\)关于\(x\)的表达式，不过它依然满足函数的基本定义，即对于给定的\(x\)在一定范围内，有唯一确定的\(y\)与之对应（可能需要根据具体情况确定范围和唯一性）。

函数是特殊的映射：当映射的定义域和值域都是数集时，这个映射就是函数。

函数继承了映射的所有基本特性，并且在数学分析等领域中，对函数的研究更加侧重于其数值变化规律、极限、连续性、可导性等性质。

函数\(y = \sin x\)是从实数集（定义域）的一个子集到实数集（值域）的映射，同时可以研究它的周期、最值、导数等函数特有的性质。