导数 15 导数基础：定义、几何意义、运算法则

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1. 导数的定义

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)的某个邻域内有定义，当自变量\(x\)在\(x_0\)处取得增量\(\Delta x\)（点\(x_0+\Delta x\)仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量\(\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)。

如果\(\Delta y\)与\(\Delta x\)之比当\(\Delta x\to0\)时的极限存在，则称函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)处可导，并称这个极限为函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)处的导数，记作\(f^\prime(x_0)\)，即\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，求在\(x = 1\)处的导数。

首先计算\(\Delta y=(1 + \Delta x)^{2}-1^{2}=1 + 2\Delta x+\Delta x^{2}-1=2\Delta x+\Delta x^{2}\)。

则\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=2+\Delta x\)，当\(\Delta x\to0\)时，\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}(2+\Delta x)=2\)，所以\(y = x^{2}\)在\(x = 1\)处的导数为\(2\)。

2. 导数的几何意义

函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)\)的几何意义是曲线\(y = f(x)\)在点\((x_0,f(x_0))\)处的切线斜率。

例如，对于函数\(y = x^{3}\)，设切点为\((x_0,x_{0}^{3})\)，对\(y = x^{3}\)求导得\(y^\prime=3x^{2}\)，那么在点\((x_0,x_{0}^{3})\)处的切线斜率为\(3x_{0}^{2}\)，切线方程为\(y - x_{0}^{3}=3x_{0}^{2}(x - x_0)\)，即\(y = 3x_{0}^{2}x - 2x_{0}^{3}\)。

3. 基本函数的导数公式

常数函数：若\(y = C\)（\(C\)为常数），则\(y^\prime=0\)。例如，\(y = 5\)，其导数\(y^\prime=0\)。

幂函数：若\(y = x^{n}\)（\(n\in Q\)），则\(y^\prime=nx^{n - 1}\)。如\(y = x^{3}\)，\(y^\prime=3x^{2}\)。

正弦函数和余弦函数：\((\sin x)^\prime=\cos x\)，\((\cos x)^\prime=-\sin x\)。例如，\(y=\sin x\)，其导数\(y^\prime=\cos x\)。

指数函数：若\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)），则\(y^\prime=a^{x}\ln a\)。特别地，当\(a = e\)时，\(y = e^{x}\)，\(y^\prime=e^{x}\)。

对数函数：若\(y=\log_{a}x\)（\(a>0,a\neq1\)），则\(y^\prime=\frac{1}{x\ln a}\)。当\(a = e\)时，\(y=\ln x\)，\(y^\prime=\frac{1}{x}\)。

4. 导数的四则运算法则

加法法则：\((u + v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)。

例如，若\(y = x^{2}+\sin x\)，\(y^\prime=(x^{2})^\prime+(\sin x)^\prime=2x+\cos x\)。

减法法则：\((u - v)^\prime=u^\prime-v^\prime\)。

如\(y = x^{3}-\cos x\)，\(y^\prime=(x^{3})^\prime-(\cos x)^\prime=3x^{2}+\sin x\)。

乘法法则：\((uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime\)。

例如，若\(y = x^{2}\sin x\)，\(u = x^{2}\)，\(v=\sin x\)，则\(u^\prime = 2x\)，\(v^\prime=\cos x\)，\(y^\prime=2x\sin x + x^{2}\cos x\)。

除法法则：\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}(v\neq0)\)。

比如，若\(y=\frac{\sin x}{x}\)，\(u=\sin x\)，\(v = x\)，则\(u^\prime=\cos x\)，\(v^\prime = 1\)，\(y^\prime=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot1}{x^{2}}=\frac{x\cos x - \sin x}{x^{2}}\)。