高中数学 14 数列的通项公式

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数列的通项公式是表示数列中每一项与项数之间关系的公式。

定义

对于数列\(\{a_{n}\}\)，如果存在一个公式\(a_{n}=f(n)\)，使得对于数列中的每一项\(a_{n}\)，都能通过项数\(n\)代入该公式得到唯一确定的值，那么这个公式\(a_{n}=f(n)\)就叫做数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式。

常见数列的通项公式

等差数列：通项公式为\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(d\)为公差。例如，数列\(1, 3, 5, 7, 9, \cdots\)，首项\(a_{1}=1\)，公差\(d = 2\)，其通项公式为\(a_{n}=1+(n - 1)\times2 = 2n - 1\)。

等比数列：通项公式为\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)，其中\(a_{1}\)为首项，\(q\)为公比且\(q\neq0\)。例如，数列\(2, 4, 8, 16, 32, \cdots\)，首项\(a_{1}=2\)，公比\(q = 2\)，其通项公式为\(a_{n}=2\times2^{n - 1}=2^{n}\)。

求通项公式的方法

观察法：通过观察数列的前几项，分析其规律，从而归纳出通项公式。例如，对于数列\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots\)，可直接观察出通项公式为\(a_{n}=\frac{1}{n}\)。

公式法：若已知数列是等差数列或等比数列，可直接利用相应的通项公式求解。

累加法：当\(a_{n}-a_{n - 1}=f(n)\)（\(n\geq2\)），且\(f(1)+f(2)+\cdots+f(n)\)可求时，常用累加法求通项公式，即\(a_{n}=(a_{n}-a_{n - 1})+(a_{n - 1}-a_{n - 2})+\cdots+(a_{2}-a_{1})+a_{1}\)。

累乘法：当\(\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=f(n)\)（\(n\geq2\)），且\(f(1)\times f(2)\times\cdots\times f(n)\)可求时，常用累乘法求通项公式，即\(a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}\cdot\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}\cdots\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdot a_{1}\)。

构造法：对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推公式进行变形，构造出一个新的等差数列或等比数列，进而求出原数列的通项公式。例如，对于递推公式\(a_{n}=2a_{n - 1}+1\)（\(n\geq2\)），可通过设\(a_{n}+x = 2(a_{n - 1}+x)\)，求出\(x = 1\)，从而得到\(\{a_{n}+ 1\}\)是以\(a_{1}+1\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，进而求出\(a_{n}\)。