高等数学：无穷小 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=0\) 与无穷大 \(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)

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一、无穷小

若函数\(f(x)\)当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的极限为零，则称函数\(f(x)\)为当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的无穷小。

例如，当\(x\to0\)时，函数\(y = x\)是无穷小，因为\(\lim_{x\to0}x = 0\)；当\(x\to\infty\)时，\(y=\frac{1}{x}\)是无穷小，因为\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)。

性质1：有限个无穷小的和还是无穷小

设\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)，\(\lim_{x\to x_{0}}\beta(x)=0\)。

令\(\gamma(x)=\alpha(x)+\beta(x)\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)，所以存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)；同理，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\beta(x)=0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)+\beta(x)\vert\leqslant\vert\alpha(x)\vert+\vert\beta(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to x_{0}}\gamma(x)=0\)，即\(\alpha(x)+\beta(x)\)是无穷小。

例如，当\(x\to0\)时，\(x\)和\(x^{2}\)都是无穷小，\(x + x^{2}\)也是无穷小。

性质2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

设函数\(u(x)\)在\(x\to x_{0}\)的某邻域内有界，即存在\(M>0\)和\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert u(x)\vert\leqslant M\)；设\(\alpha(x)\)是当\(x\to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert u(x)\alpha(x)\vert=\vert u(x)\vert\vert\alpha(x)\vert\leqslant M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to x_{0}}u(x)\alpha(x)=0\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(\sin x\)是有界函数（\(\vert\sin x\vert\leqslant1\)），\(x\)是无穷小，所以\(x\sin x\)是无穷小。

性质3：有限个无穷小的乘积是无穷小

设\(\alpha(x)\)、\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)时的无穷小，令\(\gamma(x)=\alpha(x)\beta(x)\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)；同理，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\beta(x)=0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)\beta(x)\vert=\vert\alpha(x)\vert\vert\beta(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\cdot\sqrt{\varepsilon}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to x_{0}}\gamma(x)=0\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(x\)和\(x^{2}\)是无穷小，\(x\cdot x^{2}=x^{3}\)也是无穷小。

高阶无穷小：设\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的无穷小，如果\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0\)，则称\(\alpha(x)\)是\(\beta(x)\)当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的高阶无穷小，记作\(\alpha(x)=o(\beta(x))\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(x^{2}\)是\(x\)的高阶无穷小，因为\(\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{x}=0\)，可记作\(x^{2}=o(x)\)。

低阶无穷小：如果\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty\)，则称\(\alpha(x)\)是\(\beta(x)\)当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的低阶无穷小。

同阶无穷小：如果\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\neq0\)，则称\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的同阶无穷小。特别地，当\(C = 1\)时，称\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的等价无穷小，记作\(\alpha(x)\sim\beta(x)\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(\sin x\)和\(x\)是等价无穷小，因为\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)，记作\(\sin x\sim x\)。

设\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的无穷小。如果\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1\)，则称\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的等价无穷小，记作\(\alpha(x)\sim\beta(x)\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(\sin x\sim x\)，这是因为\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)。

常见的等价无穷小（当\(x\to0\)时）

\(\sin x\sim x\)

\(\tan x\sim x\)

\(\arcsin x\sim x\)

\(\arctan x\sim x\)

\(1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^{2}\)

\(e^{x}-1\sim x\)

\(\ln(1 + x)\sim x\)

\((1 + x)^{a}-1\sim ax\)（\(a\neq0\)）

等价无穷小替换定理

设\(\alpha(x)\sim\alpha_{1}(x)\)，\(\beta(x)\sim\beta_{1}(x)\)，且\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha_{1}(x)}{\beta_{1}(x)}\)存在（或为无穷大），则\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha_{1}(x)}{\beta_{1}(x)}\)。

例如，计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\)。因为当\(x\to0\)时，\(\sin 2x\sim2x\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}=2\)。

使用等价无穷小的注意事项

乘除运算中可直接替换：等价无穷小一般在乘除运算中可以放心使用。但在加减运算中要谨慎使用，因为直接替换可能会导致错误结果。

例如，计算\(\lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}\)，如果直接将\(\tan x\)和\(\sin x\)都替换为\(x\)，会得到\(\lim_{x\to0}\frac{x - x}{x^{3}}=0\)，这是错误的。

正确的做法（加减运算）：应该先将式子进行化简。对于\(\lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}\)，将\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)代入式子得到\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^{3}\cos x}\)。因为当\(x\to0\)时，\(1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^{2}\)，\(\sin x\sim x\)，所以原式\(=\lim_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^{2}}{x^{3}\cos x}=\frac{1}{2}\)。

二、无穷大

当\(x\to x_0\)时：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数\(M\)（不论它多么大），总存在正数\(\delta\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，有\(|f(x)| > M\)，那么就称函数\(f(x)\)当\(x\to x_0\)时为无穷大，记作\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)。

例如，\(y = \frac{1}{(x - 1)^2}\)，当\(x\to1\)时，对于任意给定的\(M > 0\)，要使\(\frac{1}{(x - 1)^2}>M\)，只要\(|x - 1| < \frac{1}{\sqrt{M}}\)，取\(\delta=\frac{1}{\sqrt{M}}\)，当\(0 < |x - 1| < \delta\)时，\(\frac{1}{(x - 1)^2}>M\)，所以\(\lim_{x \to 1}\frac{1}{(x - 1)^2}=\infty\)。

当\(x\to\infty\)时：设函数\(f(x)\)当\(|x|\)大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数\(M\)（不论它多么大），总存在正数\(X\)，使得当\(|x| > X\)时，有\(|f(x)| > M\)，那么就称函数\(f(x)\)当\(x\to\infty\)时为无穷大，记作\(\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty\)。

例如，\(y = x^3\)，当\(x\to\infty\)时，对于任意给定的\(M > 0\)，要使\(x^3 > M\)，只要\(x > \sqrt[3]{M}\)，取\(X = \sqrt[3]{M}\)，当\(|x| > X\)时，\(x^3 > M\)，所以\(\lim_{x \to \infty}x^3=\infty\)。

若\(y = f(x)\)为无穷大，则\(\frac{1}{f(x)}\)为无穷小；反之，若\(y = f(x)\)为无穷小（\(f(x)\neq0\)），则\(\frac{1}{f(x)}\)为无穷大。

例如，当\(x\to0\)时，\(y=\frac{1}{x}\)是无穷大，那么\(x\)（此时\(x\neq0\)）就是无穷小；当\(x\to\infty\)时，\(y=\frac{1}{x}\)是无穷小，那么\(x\)就是无穷大。

性质1：两个无穷大的乘积是无穷大

设\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x \to x_0}g(x)=\infty\)。对于任意给定的正数\(M\)，因为\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，存在\(\delta_1 > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta_1\)时，\(|f(x)| > \sqrt{M}\)；又因为\(\lim_{x \to x_0}g(x)=\infty\)，存在\(\delta_2 > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta_2\)时，\(|g(x)| > \sqrt{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，\(|f(x)g(x)| = |f(x)|\times|g(x)| > M\)，所以\(\lim_{x \to x_0}f(x)g(x)=\infty\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(y = \frac{1}{x^2}\)和\(y=\frac{1}{x^3}\)都是无穷大，它们的乘积\(\frac{1}{x^5}\)也是无穷大。

性质2：无穷大与有界函数的和是无穷大

设\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，函数\(g(x)\)在\(x_0\)的某去心邻域内有界，即存在正数\(M_1\)和\(\delta_1 > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta_1\)时，\(|g(x)| \leq M_1\)。

对于任意给定的正数\(M\)，因为\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，存在\(\delta_2 > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta_2\)时，\(|f(x)| > M + M_1\)。

取\(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，\(|f(x)+g(x)| \geq |f(x)| - |g(x)| > M\)，所以\(\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))=\infty\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(y = \frac{1}{x}\)是无穷大，\(y = \sin x\)是有界函数，\(\frac{1}{x}+\sin x\)是无穷大。

设\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x \to x_0}g(x)=\infty\)。

如果\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty\)，则称\(f(x)\)是\(g(x)\)当\(x\to x_0\)时的高阶无穷大；

如果\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称\(f(x)\)是\(g(x)\)当\(x\to x_0\)时的低阶无穷大；

如果\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = C\neq0\)，则称\(f(x)\)与\(g(x)\)是当\(x\to x_0\)时的同阶无穷大。

例如，当\(x\to0\)时，\(y = \frac{1}{x^3}\)是\(y = \frac{1}{x^2}\)的高阶无穷大，因为\(\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty\)。

高等数学：无穷小 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=0\) 与 无穷大 \(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)