一、导数的定义

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)的某个邻域内有定义，当自变量\(x\)在\(x_{0}\)处取得增量\(\Delta x\)（点\(x_{0}+\Delta x\)仍在该邻域内）时，相应地函数\(y\)取得增量\(\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\)。如果\(\Delta y\)与\(\Delta x\)之比当\(\Delta x\to0\)时的极限存在，即\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\)存在，那么称函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，并称这个极限为函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处的导数，记作\(f^{\prime}(x_{0})\)，也可记作\(y^{\prime}\vert_{x = x_{0}}\)或\(\frac{dy}{dx}\vert_{x = x_{0}}\)。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，求在\(x = 1\)处的导数。

首先计算\(\Delta y=(1 + \Delta x)^{2}-1^{2}=1 + 2\Delta x+\Delta x^{2}-1=2\Delta x+\Delta x^{2}\)。

则\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=2+\Delta x\)，当\(\Delta x\to0\)时，\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}(2+\Delta x)=2\)，所以\(y = x^{2}\)在\(x = 1\)处的导数为\(2\)。

二、导数的几何意义

函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处的导数\(f^{\prime}(x_{0})\)在几何上表示曲线\(y = f(x)\)在点\((x_{0},f(x_{0}))\)处的切线的斜率。

设曲线\(y = f(x)\)的方程为已知，那么曲线在点\((x_{0},f(x_{0}))\)处的切线方程为\(y - f(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})(x - x_{0})\)，法线方程（与切线垂直的直线）为\(y - f(x_{0})=-\frac{1}{f^{\prime}(x_{0})}(x - x_{0})\)（前提是\(f^{\prime}(x_{0})\neq0\)）。

例如，对于函数\(y = \sin x\)，在\(x=\frac{\pi}{2}\)处，\(y^{\prime}=\cos x\)，\(y^{\prime}\vert_{x=\frac{\pi}{2}} = 0\)。所以曲线\(y = \sin x\)在点\((\frac{\pi}{2},1)\)处的切线方程为\(y - 1=0\times(x - \frac{\pi}{2})\)，即\(y = 1\)；法线方程为\(x=\frac{\pi}{2}\)（因为切线斜率为\(0\)，法线斜率不存在）。

三、单侧导数

左导数：\(f_{-}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\to0^{-}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\)。

右导数：\(f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\to0^{+}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\)。

函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导的充分必要条件是它在点\(x_{0}\)处的左导数和右导数都存在且相等。

例如，对于函数\(y=\vert x\vert\)，在\(x = 0\)处，左导数\(f_{-}^{\prime}(0)=\lim\limits_{\Delta x\to0^{-}}\frac{\vert0+\Delta x\vert-\vert0\vert}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\)，右导数\(f_{+}^{\prime}(0)=\lim\limits_{\Delta x\to0^{+}}\frac{\vert0+\Delta x\vert-\vert0\vert}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1\)，因为左导数和右导数不相等，所以函数\(y=\vert x\vert\)在\(x = 0\)处不可导。

四、用导数的定义法求初等函数的导数

常数函数\(y = C\)（\(C\)为常数）

根据导数的定义，\(y^\prime=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)，对于\(y = C\)，\(\Delta y = C - C = 0\)。

所以\(y^\prime=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{0}{\Delta x}=0\)。

幂函数\(y = x^{n}\)（\(n\in Q\)）

首先计算\(\Delta y=(x + \Delta x)^{n}-x^{n}\)，根据二项式定理\((a + b)^{n}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}\)，则\((x+\Delta x)^{n}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}x^{n - k}(\Delta x)^{k}\)。

所以\(\Delta y=\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k}x^{n - k}(\Delta x)^{k}\)，\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k}x^{n - k}(\Delta x)^{k - 1}\)。

当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(y^\prime=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k}x^{n - k}(\Delta x)^{k - 1}=nx^{n - 1}\)。

指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)）

\(\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)\)。

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=a^{x}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\)。

令\(t = \Delta x\)，当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(t\rightarrow0\)，我们知道\(\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{a^{t}-1}{t}=\ln a\)。

所以\(y^\prime=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=a^{x}\ln a\)。

对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0,a\neq1,x>0\)）

\(\Delta y=\log_{a}(x+\Delta x)-\log_{a}x=\log_{a}\frac{x+\Delta x}{x}=\log_{a}(1 + \frac{\Delta x}{x})\)。

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\log_{a}(1 + \frac{\Delta x}{x})\)。

令\(t=\frac{\Delta x}{x}\)，当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(t\rightarrow0\)，利用对数函数的性质\(\log_{a}(1 + t)\)与\(t\)是等价无穷小（当\(t\rightarrow0\)），可得\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{x}\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{\log_{a}(1 + t)}{t}=\frac{1}{x\ln a}\)。

正弦函数\(y = \sin x\)

\(\Delta y=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin\frac{\Delta x}{2}\)。

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}\)。

当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=\frac{1}{2}\)，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})=\cos x\)。

所以\(y^\prime=\cos x\)。

余弦函数\(y = \cos x\)

\(\Delta y=\cos(x+\Delta x)-\cos x=-2\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\sin\frac{\Delta x}{2}\)。

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=-2\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}\)。

当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=\frac{1}{2}\)，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})=\sin x\)。

所以\(y^\prime=-\sin x\)。

正切函数\(y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)

\(\Delta y=\tan(x + \Delta x)-\tan x=\frac{\sin(x+\Delta x)}{\cos(x+\Delta x)}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin(x+\Delta x)\cos x-\sin x\cos(x+\Delta x)}{\cos x\cos(x+\Delta x)}\)。

根据两角和的正弦公式\(\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\)，\(\Delta y=\frac{\sin\Delta x}{\cos x\cos(x+\Delta x)}\)。

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\cdot\frac{1}{\cos x\cos(x+\Delta x)}\)。

当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1\)，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\cos(x+\Delta x)=\cos x\)。

所以\(y^\prime=\sec^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}\)。

反正弦函数\(y = \arcsin x\)

设\(y=\arcsin x\)，则\(x=\sin y\)，\(\Delta x=\sin(y+\Delta y)-\sin y\)。

根据前面求正弦函数导数的方法，\(\Delta x = 2\cos(y+\frac{\Delta y}{2})\sin\frac{\Delta y}{2}\)。

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2\cos(y+\frac{\Delta y}{2})\frac{\sin\frac{\Delta y}{2}}{\Delta y}}\)。

当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(\Delta y\rightarrow0\)，\(\lim\limits_{\Delta y\rightarrow0}\frac{\sin\frac{\Delta y}{2}}{\Delta y}=\frac{1}{2}\)，\(\lim\limits_{\Delta y\rightarrow0}\cos(y+\frac{\Delta y}{2})=\cos y\)。

又因为\(x = \sin y\)，所以\(\cos y=\sqrt{1 - x^{2}}\)，则\(y^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)。

反余弦函数\(y=\arccos x\)

设\(y=\arccos x\)，则\(x = \cos y\)，\(\Delta x=\cos(y+\Delta y)-\cos y\)。

根据前面求余弦函数导数的方法，\(\Delta x=-2\sin(y+\frac{\Delta y}{2})\sin\frac{\Delta y}{2}\)。

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2\sin(y+\frac{\Delta y}{2})\frac{\sin\frac{\Delta y}{2}}{\Delta y}}\)。

当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(\Delta y\rightarrow0\)，\(\lim\limits_{\Delta y\rightarrow0}\frac{\sin\frac{\Delta y}{2}}{\Delta y}=\frac{1}{2}\)，\(\lim\limits_{\Delta y\rightarrow0}\sin(y+\frac{\Delta y}{2})=\sin y\)。

又因为\(x=\cos y\)，所以\(\sin y=\sqrt{1 - x^{2}}\)，则\(y^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)。

反正切函数\(y=\arctan x\)

设\(y = \arctan x\)，则\(x=\tan y\)，\(\Delta x=\tan(y+\Delta y)-\tan y\)。

根据前面求正切函数导数的方法，\(\Delta x=\frac{\sin\Delta y}{\cos y\cos(y+\Delta y)}\)。

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\cos y\cos(y+\Delta y)}{\sin\Delta y}\)。

当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(\Delta y\rightarrow0\)，\(\lim\limits_{\Delta y\rightarrow0}\frac{\sin\Delta y}{\Delta y}=1\)，\(\lim\limits_{\Delta y\rightarrow0}\cos(y+\Delta y)=\cos y\)。

所以\(y^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}\)。

五、函数可导性与连续性的关系

如果函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，那么它在点\(x_{0}\)处一定连续。

证明：因为\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，所以\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x_{0})\)存在。那么\(\Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\)，当\(\Delta x\to0\)时，\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\right)=f^{\prime}(x_{0})\cdot0 = 0\)，即\(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，所以函数在点\(x_{0}\)处连续。

但是，函数在某点连续不一定在该点可导，如前面提到的\(y = \vert x\vert\)在\(x = 0\)处连续但不可导。

1、可导必连续

定理：如果函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，那么它在点\(x_{0}\)处一定连续。

证明：已知函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，根据导数的定义，\(f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)存在，其中\(\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\)。

那么\(\Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\)，当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\right)=f^{\prime}(x_{0})\cdot0 = 0\)。

这意味着\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，满足函数在某点连续的定义，所以函数在点\(x_{0}\)处连续。

例1，函数\(y = x^{2}\)在其定义域\((-\infty,+\infty)\)内处处可导，其导数为\(y^{\prime}=2x\)。因为它可导，所以在定义域内的任意一点\(x_{0}\)处都是连续的。比如在\(x_{0}=2\)处，\(y^{\prime}(2) = 4\)，并且\(\lim\limits_{x\rightarrow2}x^{2}=4\)，函数在\(x = 2\)处连续。

例2，函数\(y = 3x + 1\)：导数为\(y^\prime = 3\)，在整个实数域内可导。对于任意给定的\(x_0\)，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}(3x + 1)=3x_{0}+1\)，函数在各处极限值等于函数值，是连续的，再次验证了可导必连续。

例3，函数\(y=\sin x\)：导数为\(y^\prime=\cos x\)，在定义域\((-\infty,+\infty)\)内处处可导。并且\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sin x=\sin x_{0}\)，任意点处极限值等于函数值，函数连续，进一步证明可导必连续。

例4，函数\(y = e^{x}\)：导数为\(y^\prime = e^{x}\)，在\((-\infty,+\infty)\)上可导。同时，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}e^{x}=e^{x_{0}}\)，函数在定义域内连续，也体现了可导必连续这一性质。

例5，函数\(y=\ln x\)，\(x\in(0,+\infty)\)：其导数为\(y^\prime=\frac{1}{x}\)，在定义域内可导。对于定义域内任意\(x_0\)，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\ln x=\ln x_{0}\)，函数连续，同样表明可导的函数一定连续 。

2、连续不一定可导

反例：\(y = \vert x\vert\)在\(x = 0\)处连续但不可导。

首先证明其连续性。\(\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\vert x\vert=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}(-x)=0\)，\(\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\vert x\vert=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}x = 0\)，且\(y(0)=\vert0\vert = 0\)，所以\(\lim\limits_{x\rightarrow0}y(x)=y(0)\)，函数在\(x = 0\)处连续。

然后求其在\(x = 0\)处的导数。左导数\(f_{-}^{\prime}(0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}\frac{\vert0+\Delta x\vert-\vert0\vert}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\)，右导数\(f_{+}^{\prime}(0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}\frac{\vert0+\Delta x\vert-\vert0\vert}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1\)。

由于左导数和右导数不相等，所以函数\(y = \vert x\vert\)在\(x = 0\)处不可导。

再比如\(y=\sqrt[3]{x}\)在\(x = 0\)处连续，因为\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\sqrt[3]{x}=0\)，但是它的导数\(y^{\prime}=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}\)在\(x = 0\)处导数不存在（分母为\(0\)），所以在\(x = 0\)处不可导。

例如，函数\(y = \begin{cases}x\sin\frac{1}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x = 0\end{cases}\)：在\(x = 0\)处连续，因为\(\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)（无穷小乘以有界函数还是无穷小），而其在\(x = 0\)处的导数，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(0+\Delta x)\sin\frac{1}{0+\Delta x}-0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\sin\frac{1}{\Delta x}\)不存在，极限值在\(-1\)到\(1\)之间来回摆动，不趋近于一个确定的值，所以在\(x = 0\)处不可导。

例如，函数\(y = \begin{cases}x^{2}\sin\frac{1}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x = 0\end{cases}\)：当\(x\neq0\)时，\(y^\prime = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\)，在\(x = 0\)处，\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}\sin\frac{1}{x}-0}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)，函数在\(x = 0\)处连续，但\(\lim\limits_{x\rightarrow0}(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x})\)不存在，因为\(\cos\frac{1}{x}\)在\(x\rightarrow0\)时极限不存在，所以函数在\(x = 0\)处不可导。

例如，维尔斯特拉斯函数\(w(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b^{n}\cos(a^{n}x\pi)\)，其中\(b\in\mathbb{R}\)满足\(0\lt b\lt1\)且\(ab\gt1+\frac{3}{2}\pi\)：该函数在\(\mathbb{R}\)上连续，但在\(\mathbb{R}\)中任意一点不可导。它是由傅立叶级数构造的，证明其连续性是根据维尔斯特拉斯\(M\)检验，而证明其不可导性较为复杂，需通过一系列分析得出在任意一点处极限不存在，从而不可导.

3、物理意义上的理解（以位移 - 时间函数为例）

若位移函数\(s(t)\)可导，导数\(s^{\prime}(t)=v(t)\)表示速度。从连续性角度看，位移函数连续意味着物体的位置不会出现“跳跃”，这是符合实际物理现象的。

反过来，位移函数连续但不一定可导。

例如，一个物体在某一时刻突然改变运动方向（速度的方向发生突变），此时位移函数是连续的，但在这个时刻速度（位移函数的导数）不存在，就像一个小球碰到墙壁后反弹，在碰撞瞬间速度方向突变，位移函数在这个时刻不可导但依然连续。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

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