不定积分：基本积分表、直接积分法

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、基本积分表

1. \(\int 0 \, dx = C\)（\(C\)为常数） 2. \(\int 1 \, dx = x + C\) 3. \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)（\(n \neq -1\)）

4. \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)

5. \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\) 6. \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)

7. \(\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C\) 8. \(\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C\)

9. \(\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\) 10. \(\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C\)

11. \(\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C\) 12. \(\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C\)

13. \(\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C\) 14. \(\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C\)

15. \(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C\)

16. \(\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C\)

17. \(\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \, dx = \text{arcsec}|x| + C\)

18. \(\int e^x \, dx = e^x + C\)

19. \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)）

20. \(\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C\)

21. \(\int \log_a x \, dx = \frac{x\ln x}{\ln a} - \frac{x}{\ln a} + C\)

22. \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C\)

23. \(\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C\)（\(a \neq 0\)）

24. \(\int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a + x}{a - x}\right| + C\)（\(a \neq 0\)）

25. \(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin\frac{x}{a} + C\)（\(a > 0\)）

26. \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C\)

27. \(\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\)

28. \(\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C\)

29. \(\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C\)

30. \(\int \sinh x \, dx = \cosh x + C\)

31. \(\int \cosh x \, dx = \sinh x + C\)

32. \(\int \tanh x \, dx = \ln|\cosh x| + C\)

使用说明

1. 积分表中的\(C\)为任意常数，不定积分必须加上常数项。

2. 公式可通过求导运算验证（如对积分结果求导应等于被积函数）。

3. 复杂积分可通过换元法、分部积分法等转化为基本积分表中的形式计算。

如需具体公式的推导过程或特殊积分的应用场景，可以进一步补充说明！

二、直接积分法

直接积分法是计算不定积分的基本方法之一。它是在利用基本积分公式和不定积分的性质的基础上，直接对被积函数进行积分运算。基本积分公式是通过对求导公式的逆运算得到的，例如\(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq- 1\)），\(\int\cos xdx=\sin x + C\)，\(\int e^{x}dx=e^{x}+C\)等，这些基本公式是直接积分法的基石。

不定积分的性质\(\int kf(x)dx = k\int f(x)dx\)（\(k\)为常数）。

例如，计算\(\int 3x^{2}dx\)，根据上述性质可以将常数\(3\)提出，得到\(3\int x^{2}dx\)。然后再利用基本积分公式\(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），这里\(n = 2\)，所以\(3\int x^{2}dx=3\times\frac{1}{3}x^{3}+C=x^{3}+C\)。

不定积分的性质\(\int[f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)。

例如，计算\(\int(x^{2}+2x)dx\)，根据此性质可以将积分拆分为\(\int x^{2}dx+\int 2xdx\)。分别计算这两个积分，\(\int x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}+C_{1}\)，\(\int 2xdx=x^{2}+C_{2}\)，所以\(\int(x^{2}+2x)dx=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+C\)（这里\(C = C_{1}+C_{2}\)）。

1：多项式函数的积分

对于多项式函数\(f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x + a_{0}\)，积分步骤是利用上述不定积分的性质将积分拆分为多个基本积分的和。

例如，计算\(\int(2x^{3}-3x^{2}+4x - 5)dx\)。

首先，根据性质\(\int[f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)，将积分拆分为：\(\int 2x^{3}dx-\int 3x^{2}dx+\int 4xdx-\int 5dx\)。

然后，再根据性质\(\int kf(x)dx = k\int f(x)dx\)和基本积分公式进行计算。\(\int 2x^{3}dx = 2\times\frac{1}{4}x^{4}=\frac{1}{2}x^{4}\)，\(\int 3x^{2}dx=3\times\frac{1}{3}x^{3}=x^{3}\)，\(\int 4xdx = 4\times\frac{1}{2}x^{2}=2x^{2}\)，\(\int 5dx=5x\)。

所以\(\int(2x^{3}-3x^{2}+4x - 5)dx=\frac{1}{2}x^{4}-x^{3}+2x^{2}-5x+C\)。

2：三角函数的积分（简单形式）

对于简单的三角函数组合，如\(\int(\sin x+\cos x)dx\)。

步骤：根据性质\(\int[f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)，得到\(\int\sin xdx+\int\cos xdx\)。利用基本积分公式\(\int\sin xdx=-\cos x + C_{1}\)，\(\int\cos xdx=\sin x + C_{2}\)，所以\(\int(\sin x+\cos x)dx=-\cos x+\sin x + C\)（这里\(C = C_{1}+C_{2}\)）。

3：指数函数的积分（简单形式）

例如计算\(\int(2e^{x}-3^{x})dx\)。

步骤：根据性质\(\int[f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)，拆分为\(\int 2e^{x}dx-\int 3^{x}dx\)。因为\(\int e^{x}dx=e^{x}+C_{1}\)，\(\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C_{2}\)（\(a>0,a\neq1\)），所以\(\int 2e^{x}dx = 2e^{x}\)，\(\int 3^{x}dx=\frac{3^{x}}{\ln 3}\)。则\(\int(2e^{x}-3^{x})dx=2e^{x}-\frac{3^{x}}{\ln 3}+C\)。