高等数学：函数的微分、运算法则、近似值应用

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、微分的基本定义

设函数\(y = f(x)\)在某区间内有定义，\(x_{0}\)及\(x_{0}+\Delta x\)在这区间内，如果函数的增量\(\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\)可表示为\(\Delta y = A\Delta x+o(\Delta x)\)（其中\(A\)是不依赖于\(\Delta x\)的常数），而\(o(\Delta x)\)是比\(\Delta x\)高阶的无穷小（当\(\Delta x\rightarrow0\)时），那么称函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)是可微的，\(dy = A\Delta x\)称为函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)相应于自变量增量\(\Delta x\)的微分。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，\(\Delta y=(x + \Delta x)^{2}-x^{2}=2x\Delta x+(\Delta x)^{2}\)，这里\(A = 2x\)，\((\Delta x)^{2}=o(\Delta x)\)（当\(\Delta x\rightarrow0\)），所以\(y = x^{2}\)在任意点\(x\)处可微，且\(dy = 2x\Delta x\)。

二、函数可微的条件

函数\(y = f(x)\)在点\(x\)可微的充分必要条件是函数\(y = f(x)\)在点\(x\)可导，且\(dy=f^\prime(x)\Delta x\)。

例如，对于函数\(y=\sin x\)，已知\(y^\prime=\cos x\)，那么\(dy=\cos x\Delta x\)。这表明求微分实际上就是求导数后再乘以自变量的增量\(\Delta x\)。

三、微分的几何意义

对于函数\(y = f(x)\)，微分\(dy\)表示曲线\(y = f(x)\)在点\((x,f(x))\)处切线纵坐标的增量。当\(\Delta x\)很小时，\(\Delta y\approx dy\)，即函数增量可以用微分来近似代替。

例如，对于函数\(y = x^{3}\)，在点\(x = 1\)处，设\(\Delta x = 0.1\)，\(y^\prime = 3x^{2}\)，则\(dy = 3\times1^{2}\times0.1 = 0.3\)，这是切线纵坐标的增量，而\(\Delta y=(1 + 0.1)^{3}-1^{3}\approx0.331\)，可以看到当\(\Delta x\)较小时，\(\Delta y\)和\(dy\)很接近。

四、自变量微分的规定

通常规定自变量\(x\)的微分\(dx=\Delta x\)，这样函数\(y = f(x)\)的微分就可以写成\(dy = f^\prime(x)dx\)，从而\(\frac{dy}{dx}=f^\prime(x)\)，这也说明了导数可以看作是函数微分与自变量微分之商，所以导数也称为“微商”。

例如，对于\(y = e^{x}\)，\(dy = e^{x}dx\)，\(\frac{dy}{dx}=e^{x}\)。

例题1：求函数\(y = 3x^{2}+2x - 1\)的微分

解：先对函数求导，\(y^\prime=(3x^{2}+2x - 1)^\prime = 6x + 2\)，根据微分公式\(dy = y^\prime dx\)，可得\(dy=(6x + 2)dx\) 。

例题2：求函数\(y=\sin(2x)\)的微分

解：令\(u = 2x\)，则\(y=\sin u\)，根据复合函数求导法则，\(y^\prime = (\sin u)^\prime\cdot u^\prime=\cos u\cdot2 = 2\cos(2x)\)，所以\(dy = 2\cos(2x)dx\) 。

例题3：求函数\(y = e^{x^{2}}\)的微分

解：令\(u = x^{2}\)，则\(y = e^{u}\)，\(y^\prime=(e^{u})^\prime\cdot u^\prime=e^{u}\cdot2x=2xe^{x^{2}}\)，故\(dy = 2xe^{x^{2}}dx\) 。

例题4：求函数\(y=\ln(3x + 1)\)的微分

解：根据复合函数求导法则，\(y^\prime=\frac{1}{3x + 1}\cdot(3x + 1)^\prime=\frac{3}{3x + 1}\)，所以\(dy=\frac{3}{3x + 1}dx\) 。

例题5：求函数\(y = x\sin x\)的微分

解：根据乘积的求导法则，\(y^\prime = x^\prime\sin x + x(\sin x)^\prime=\sin x + x\cos x\)，则\(dy = (\sin x + x\cos x)dx\) 。

例题6：求由方程\(x^{2}+y^{2}=25\)确定的隐函数\(y = y(x)\)的微分

解：对\(x^{2}+y^{2}=25\)两边同时求微分，得\(d(x^{2})+d(y^{2})=d(25)\)，即\(2xdx + 2ydy = 0\)，解出\(dy\)，\(dy=-\frac{x}{y}dx\) 。

例题7：求函数\(y=\frac{x^{2}+1}{x}\)的微分

解：先将函数化简为\(y = x+\frac{1}{x}\)，再求导\(y^\prime = 1-\frac{1}{x^{2}}\)，所以\(dy=(1-\frac{1}{x^{2}})dx\) 。

例题8：求函数\(y=\sqrt{x^{2}+1}\)的微分

解：令\(u = x^{2}+1\)，则\(y = u^{\frac{1}{2}}\)，根据复合函数求导法则，\(y^\prime=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u^\prime=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\)，故\(dy=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx\) 。

例题9：求函数\(y = \tan x\)的微分

解：\(y^\prime = (\tan x)^\prime=\sec^{2}x\)，所以\(dy=\sec^{2}xdx\) 。

例题10：求函数\(y = \arctan x\)的微分

解：\(y^\prime = (\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^{2}}\)，则\(dy=\frac{1}{1+x^{2}}dx\) 。

五、基本函数的微分法则

常数函数：

若\(y = C\)（\(C\)为常数），因为\(y^\prime = 0\)，根据微分公式\(dy = y^\prime dx\)，所以\(dy = 0\cdot dx = 0\)。

幂函数：

对于\(y = x^{n}\)（\(n\)为实数），\(y^\prime=nx^{n - 1}\)，则\(dy = nx^{n - 1}dx\)。

例如，若\(y = x^{3}\)，\(y^\prime = 3x^{2}\)，所以\(dy = 3x^{2}dx\)。

指数函数：

对于\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)），\(y^\prime=a^{x}\ln a\)，那么\(dy=a^{x}\ln a dx\)。

例如，若\(y = 2^{x}\)，\(y^\prime = 2^{x}\ln 2\)，所以\(dy = 2^{x}\ln 2dx\)。

当\(a = e\)时，\(y = e^{x}\)，\(y^\prime=e^{x}\)，则\(dy = e^{x}dx\)。

对数函数：

对于\(y=\log_{a}x\)（\(a>0,a\neq1,x>0\)），\(y^\prime=\frac{1}{x\ln a}\)，所以\(dy=\frac{1}{x\ln a}dx\)。

例如，若\(y=\log_{2}x\)，\(y^\prime=\frac{1}{x\ln 2}\)，则\(dy=\frac{1}{x\ln 2}dx\)。

当\(a = e\)时，\(y=\ln x\)，\(y^\prime=\frac{1}{x}\)，则\(dy=\frac{1}{x}dx\)。

三角函数：

若\(y = \sin x\)，\(y^\prime=\cos x\)，所以\(dy=\cos xdx\)。

若\(y = \cos x\)，\(y^\prime=-\sin x\)，则\(dy=-\sin xdx\)。

若\(y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，\(y^\prime=\sec^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}\)，所以\(dy=\sec^{2}xdx\)。

若\(y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，\(y^\prime=-\csc^{2}x=-\frac{1}{\sin^{2}x}\)，则\(dy=-\csc^{2}xdx\)。

若\(y=\sec x=\frac{1}{\cos x}\)，\(y^\prime=\sec x\tan x\)，所以\(dy=\sec x\tan xdx\)。

若\(y=\csc x=\frac{1}{\sin x}\)，\(y^\prime=-\csc x\cot x\)，则\(dy=-\csc x\cot xdx\)。

反三角函数：

若\(y = \arcsin x\)，\(y^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)，所以\(dy=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)。

若\(y=\arccos x\)，\(y^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)，则\(dy=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)。

若\(y=\arctan x\)，\(y^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}\)，所以\(dy=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)。

若\(y=\text{arccot}x\)，\(y^\prime=-\frac{1}{1 + x^{2}}\)，则\(dy=-\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)。

六、四则运算的微分法则

加法法则：

若\(y = u(x)+v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)+v(x))^\prime = u^\prime(x)+v^\prime(x)\)，所以\(dy=(u^\prime(x)+v^\prime(x))dx = du + dv\)。

例如，若\(y = x^{2}+\sin x\)，\(u(x)=x^{2}\)，\(v(x)=\sin x\)，\(du = 2xdx\)，\(dv=\cos xdx\)，则\(dy=(2x + \cos x)dx\)。

减法法则：

若\(y = u(x)-v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)-v(x))^\prime = u^\prime(x)-v^\prime(x)\)，所以\(dy=(u^\prime(x)-v^\prime(x))dx = du - dv\)。

例如，若\(y = x^{3}-\ln x\)，\(u(x)=x^{3}\)，\(v(x)=\ln x\)，\(du = 3x^{2}dx\)，\(dv=\frac{1}{x}dx\)，则\(dy=(3x^{2}-\frac{1}{x})dx\)。

乘法法则：

若\(y = u(x)v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)v(x))^\prime = u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)\)，所以\(dy=(u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x))dx = v(x)du + u(x)dv\)。

例如，若\(y=(x + 1)\sin x\)，\(u(x)=x + 1\)，\(v(x)=\sin x\)，\(du = dx\)，\(dv=\cos xdx\)，则\(dy=(x + 1)\cos xdx+\sin xdx\)。

除法法则：

若\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)（\(v(x)\neq0\)），则\(y^\prime=\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^{2}(x)}\)，所以\(dy=\frac{v(x)du - u(x)dv}{v^{2}(x)}\)。

例如，若\(y=\frac{x^{2}}{x + 1}\)，\(u(x)=x^{2}\)，\(v(x)=x + 1\)，\(du = 2xdx\)，\(dv = dx\)，则\(dy=\frac{(x + 1)\times2xdx - x^{2}dx}{(x + 1)^{2}}=\frac{(2x^{2}+2x - x^{2})dx}{(x + 1)^{2}}=\frac{(x^{2}+2x)dx}{(x + 1)^{2}}\)。

七、复合函数的微分法则（一阶微分形式不变性）

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，则\(y = f(g(x))\)。根据复合函数求导法则\(y^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)\)，所以\(dy = f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)dx\)。又因为\(du = g^\prime(x)dx\)，所以\(dy = f^\prime(u)du\)。

例如，若\(y=\sin(x^{2})\)，令\(u = x^{2}\)，则\(y=\sin u\)，\(y^\prime=\cos u\cdot2x\)，\(dy=\cos(x^{2})\cdot2xdx\)。也可以先对\(y=\sin u\)求微分\(dy=\cos udu\)，再把\(u = x^{2}\)，\(du = 2xdx\)代入，同样得到\(dy=\cos(x^{2})\cdot2xdx\)。

八、函数增量的近似计算

原理：当函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可微，且\(\vert\Delta x\vert\)很小时，\(\Delta y\approx dy\)，即\(f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx f^\prime(x_{0})\Delta x\)。

例题1：计算\(\sqrt{4.02}\)的近似值。

解：设\(y = \sqrt{x}\)，\(x_{0}=4\)，\(\Delta x = 0.02\)。先求\(y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，当\(x = 4\)时，\(y^\prime(4)=\frac{1}{4}\)。根据近似公式\(f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f^\prime(x_{0})\Delta x\)，可得\(\sqrt{4.02}\approx\sqrt{4}+\frac{1}{4}\times0.02 = 2 + 0.005 = 2.005\)。

例题2：已知\(y = \sin x\)，当\(x\)从\(\frac{\pi}{6}\)变化到\(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{180}\)时，求\(y\)的增量的近似值。

解：设\(x_{0}=\frac{\pi}{6}\)，\(\Delta x=\frac{\pi}{180}\)。\(y^\prime=\cos x\)，\(y^\prime(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。根据\(\Delta y\approx dy = y^\prime(x_{0})\Delta x\)，可得\(\Delta y\approx\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\pi}{180}=\frac{\sqrt{3}\pi}{360}\)。

九、函数值的近似计算

原理：对于函数\(y = f(x)\)，当\(\vert x - x_{0}\vert\)很小时，\(f(x)\approx f(x_{0})+f^\prime(x_{0})(x - x_{0})\)。

例题3：计算\(\sin 31^{\circ}\)的近似值。

解：设\(y = \sin x\)，\(x_{0}=30^{\circ}=\frac{\pi}{6}\)（弧度），\(x = 31^{\circ}=\frac{31\pi}{180}\)，\(\Delta x=\frac{31\pi}{180}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{180}\)。\(y^\prime=\cos x\)，\(y^\prime(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。根据\(f(x)\approx f(x_{0})+f^\prime(x_{0})(x - x_{0})\)，可得\(\sin 31^{\circ}\approx\sin\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\pi}{180}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\pi}{360}\)。

例题4：计算\(e^{0.05}\)的近似值。

解：设\(y = e^{x}\)，\(x_{0}=0\)，\(\Delta x = 0.05\)。\(y^\prime=e^{x}\)，\(y^\prime(0)=1\)。根据近似公式\(f(x)\approx f(x_{0})+f^\prime(x_{0})(x - x_{0})\)，可得\(e^{0.05}\approx e^{0}+1\times0.05 = 1 + 0.05 = 1.05\)。

十、误差估计中的应用

绝对误差估计：设\(y = f(x)\)，如果测量\(x\)时产生的误差为\(\Delta x\)，那么\(\Delta y\approx dy = f^\prime(x)\Delta x\)，\(\vert\Delta y\vert\approx\vert f^\prime(x)\vert\vert\Delta x\vert\)，这里\(\vert\Delta x\vert\)是\(x\)的绝对误差，\(\vert\Delta y\vert\)是\(y\)的绝对误差。

例题5：设测得圆的半径\(r\)的值为\(10\)厘米，测量误差为\(0.1\)厘米，求计算圆面积\(S=\pi r^{2}\)时的绝对误差。

解：\(S^\prime = 2\pi r\)，当\(r = 10\)时，\(S^\prime(10)=20\pi\)。已知\(\vert\Delta r\vert = 0.1\)厘米，根据\(\vert\Delta S\vert\approx\vert S^\prime(r)\vert\vert\Delta r\vert\)，可得\(\vert\Delta S\vert\approx20\pi\times0.1 = 2\pi\)平方厘米。

相对误差估计：相对误差\(\delta_{y}=\frac{\Delta y}{y}\approx\frac{dy}{y}=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}\Delta x\)，它表示误差\(\Delta y\)在\(y\)中所占的比例。

例题6：计算正方体体积\(V = x^{3}\)，如果\(x\)的相对误差为\(2\%\)，求\(V\)的相对误差。

解：\(V^\prime = 3x^{2}\)，相对误差\(\delta_{V}=\frac{V^\prime}{V}\Delta x=\frac{3x^{2}}{x^{3}}\Delta x = 3\frac{\Delta x}{x}\)。已知\(\frac{\Delta x}{x}=2\%\)，所以\(\delta_{V}=3\times2\% = 6\%\)。