导数 15 导数与函数的单调性

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一、导数与函数单调性的关系

设函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内可导。

如果在区间\((a,b)\)内\(f^{\prime}(x)>0\)，那么函数\(y = f(x)\)在这个区间内单调递增。

如果在区间\((a,b)\)内\(f^{\prime}(x)<0\)，那么函数\(y = f(x)\)在这个区间内单调递减。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，其导数\(y^{\prime}=2x\)。

当\(x>0\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数在\((0,+\infty)\)上单调递增；

当\(x<0\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数在\((-\infty,0)\)上单调递减。

二、利用导数判断函数单调性的步骤

步骤一（函数求导）：求函数的导数

例如，对于函数\(f(x)=x^{3}-3x + 2\)，求导可得\(f^{\prime}(x)=3x^{2}-3\)。

步骤二（找点分区）：求导数为零的点和导数不存在的点（如果有），划分区间

令\(f^{\prime}(x)=0\)，即\(3x^{2}-3 = 0\)，解方程得\(x=\pm1\)。

这两个点将定义域\(R\)划分为\((-\infty,-1)\)，\((-1,1)\)，\((1,+\infty)\)三个区间。

步骤三（判断符号）：判断每个区间内导数的符号，确定函数单调性

在区间\((-\infty,-1)\)内，取\(x=-2\)，则\(f^{\prime}(-2)=3\times(-2)^{2}-3 = 9>0\)，所以函数在\((-\infty,-1)\)上单调递增。

在区间\((-1,1)\)内，取\(x = 0\)，则\(f^{\prime}(0)=3\times0^{2}-3=-3<0\)，所以函数在\((-1,1)\)上单调递减。

在区间\((1,+\infty)\)内，取\(x = 2\)，则\(f^{\prime}(2)=3\times2^{2}-3 = 9>0\)，所以函数在\((1,+\infty)\)上单调递增。

三、函数单调性与导数的局部性质

导数的符号只反映函数在某个区间的单调性趋势。

例如，函数\(y = \frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分别单调递减，但不能简单地说在\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)上单调递减，因为在\(x\)从负数趋近于\(0\)和\(x\)从正数趋近于\(0\)时，函数的变化情况是不同的。当\(x\)从负数趋近于\(0\)时，\(y\)趋近于负无穷；当\(x\)从正数趋近于\(0\)时，\(y\)趋近于正无穷。

另外，函数在某一点的导数为零，并不一定意味着函数在该点的单调性发生改变。

例如，函数\(y = x^{3}\)，\(y^{\prime}=3x^{2}\)，在\(x = 0\)处\(y^{\prime}=0\)，但函数在\(R\)上单调递增。

只有当导数在某点两侧的符号发生改变时，函数的单调性才会在该点改变。

例1：求函数\(y = \frac{x^{2}-1}{x}\)的单调性。

首先，将函数化简为\(y = x-\frac{1}{x}\)，\(x\neq0\)。

然后求导，根据求导公式\((x^{n})^{\prime}=nx^{n - 1}\)和\((\frac{1}{x})^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\)，可得\(y^{\prime}=1 + \frac{1}{x^{2}}\)。

因为\(x^{2}>0\)，所以\(\frac{1}{x^{2}}>0\)，进而\(y^{\prime}=1+\frac{1}{x^{2}}>0\)恒成立，对于\(x\neq0\)。

所以函数\(y = \frac{x^{2}-1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上单调递增。

例2：求函数\(y = x^{2}e^{-x}\)的单调性。

先求导，根据乘法求导法则\((uv)^{\prime}=u^{\prime}v + uv^{\prime}\)，其中\(u = x^{2}\)，\(v = e^{-x}\)。

对\(u = x^{2}\)求导得\(u^{\prime}=2x\)。

对\(v = e^{-x}\)求导，根据复合函数求导法则，令\(t=-x\)，则\(v = e^{t}\)，\(v^{\prime}=e^{t}\times t^{\prime}=-e^{-x}\)。

所以\(y^{\prime}=2x\times e^{-x}-x^{2}e^{-x}=x(2 - x)e^{-x}\)。

令\(y^{\prime}=0\)，即\(x(2 - x)e^{-x}=0\)，因为\(e^{-x}\neq0\)恒成立，所以\(x = 0\)或\(x = 2\)。

当\(x<0\)时，\(x<0\)，\(2 - x>0\)，\(e^{-x}>0\)，所以\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。

当\(0<x<2\)时，\(x>0\)，\(2 - x>0\)，\(e^{-x}>0\)，所以\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

当\(x>2\)时，\(x>0\)，\(2 - x<0\)，\(e^{-x}>0\)，所以\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。

例3：求函数\(y=\ln(x + \sqrt{x^{2}+1})\)的单调性。

求导，设\(u=x+\sqrt{x^{2}+1}\)，则\(y=\ln u\)。

根据复合函数求导法则，\(y^{\prime}=\frac{1}{u}\times u^{\prime}\)。

求\(u^{\prime}\)，\(u^{\prime}=1+\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\)。

因为\(\sqrt{x^{2}+1}>|x|\)，所以\(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}>-1\)，进而\(u^{\prime}=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}>0\)恒成立。

又因为\(u=x+\sqrt{x^{2}+1}>0\)恒成立，所以\(y^{\prime}=\frac{1}{u}\times u^{\prime}>0\)恒成立。

所以函数\(y=\ln(x + \sqrt{x^{2}+1})\)在其定义域\(R\)上单调递增。

例4：求函数\(y = \sin^{2}x\)的单调性。

先利用三角函数公式\(\sin^{2}x=\frac{1 - \cos2x}{2}\)将函数变形。

求导得\(y^{\prime}=\frac{1}{2}\times2\sin2x=\sin2x\)。

令\(y^{\prime}=0\)，即\(\sin2x = 0\)，解得\(2x = k\pi\)，\(x=\frac{k\pi}{2}\)，\(k\in Z\)。

当\(2k\pi-\frac{\pi}{2}<2x<2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，即\(k\pi-\frac{\pi}{4}<x<k\pi+\frac{\pi}{4}\)，\(k\in Z\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

当\(2k\pi+\frac{\pi}{2}<2x<2k\pi+\frac{3\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，即\(k\pi+\frac{\pi}{4}<x<k\pi+\frac{3\pi}{4}\)，\(k\in Z\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。

例5：求函数\(y = \frac{\ln x}{x}\)的单调性。

求导，根据除法求导法则\((\frac{u}{v})^{\prime}=\frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}}\)，其中\(u=\ln x\)，\(v = x\)。

对\(u=\ln x\)求导得\(u^{\prime}=\frac{1}{x}\)，对\(v = x\)求导得\(v^{\prime}=1\)。

所以\(y^{\prime}=\frac{\frac{1}{x}\times x - \ln x\times1}{x^{2}}=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}\)。

令\(y^{\prime}=0\)，即\(\frac{1 - \ln x}{x^{2}}=0\)，解得\(x = e\)。

当\(0<x<e\)时，\(1 - \ln x>0\)，\(x^{2}>0\)，所以\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

当\(x>e\)时，\(1 - \ln x<0\)，\(x^{2}>0\)，所以\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。


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