高等数学：求导法则、隐函数、对数、高阶、参数方程求导

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一、四则运算求导法则

加法法则：若\(y = u(x)+v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)+v(x))^\prime = u^\prime(x)+v^\prime(x)\)。

例如，若\(y = x^{2}+\sin x\)，因为\((x^{2})^\prime = 2x\)，\((\sin x)^\prime=\cos x\)，所以\(y^\prime = 2x+\cos x\)。

减法法则：若\(y = u(x)-v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)-v(x))^\prime = u^\prime(x)-v^\prime(x)\)。

例如，若\(y = x^{3}-\ln x\)，\((x^{3})^\prime = 3x^{2}\)，\((\ln x)^\prime=\frac{1}{x}\)，所以\(y^\prime = 3x^{2}-\frac{1}{x}\)。

乘法法则：若\(y = u(x)v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)v(x))^\prime = u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)\)。

例如，若\(y=(x + 1)\sin x\)，令\(u(x)=x + 1\)，\(v(x)=\sin x\)，\(u^\prime(x)=1\)，\(v^\prime(x)=\cos x\)，则\(y^\prime=(x + 1)\cos x+\sin x\)。

除法法则：若\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)（\(v(x)\neq0\)），则\(y^\prime=\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^{2}(x)}\)。

例如，若\(y=\frac{x^{2}}{x + 1}\)，令\(u(x)=x^{2}\)，\(v(x)=x + 1\)，\(u^\prime(x)=2x\)，\(v^\prime(x)=1\)，则\(y^\prime=\frac{2x(x + 1)-x^{2}\times1}{(x + 1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x}{(x + 1)^{2}}\)。

二、复合函数求导法则

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，则复合函数\(y = f(g(x))\)的导数为\(y^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)\)。

例如，若\(y=\sin(x^{2})\)，令\(u = x^{2}\)，则\(y=\sin u\)。\(y^\prime_{u}=\cos u\)，\(u^\prime_{x}=2x\)，所以\(y^\prime=\cos(x^{2})\cdot2x = 2x\cos x^{2}\)。

三、反函数求导法则

设\(y = f(x)\)的反函数为\(x = f^{-1}(y)\)，如果\(f^\prime(x)\neq0\)，则\((f^{-1})^\prime(y)=\frac{1}{f^\prime(x)}\)，其中\(x = f^{-1}(y)\)。

例如，\(y = \sin x\)在\(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)上的反函数是\(x = \arcsin y\)，\(y^\prime=\cos x\)，当\(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)时，\(\cos x\neq0\)，所以\((\arcsin y)^\prime=\frac{1}{\cos x}\)，又因为\(\sin x = y\)，则\(\cos x=\sqrt{1 - y^{2}}\)，所以\((\arcsin y)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}\)。

四、隐函数求导法则

对于方程\(F(x,y)=0\)确定的隐函数\(y = y(x)\)，将\(y\)看作\(x\)的函数，对\(F(x,y)\)关于\(x\)求导，利用复合函数求导法则，解出\(y^\prime\)。

例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，对其两边关于\(x\)求导，得到\(2x + 2y\cdot y^\prime=0\)，解出\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

五、参数方程求导法则

若\(\begin{cases}x = \varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}\)，且\(\varphi^\prime(t)\neq0\)，则\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\)。

例如，对于参数方程\(\begin{cases}x = t^{2}\\y = 2t\end{cases}\)，\(x^\prime=2t\)，\(y^\prime = 2\)，所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}\)（\(t\neq0\)）。

一、隐函数的定义

设\(F(x,y)\)是在某个区域\(D\)内定义的二元函数，如果在\(D\)内存在一个函数\(y = y(x)\)，使得对于\(D\)内的每一个\(x\)，都有\(F(x,y(x)) = 0\)，那么就称\(y = y(x)\)是由方程\(F(x,y)=0\)所确定的隐函数。

例如，方程\(x^{2}+y^{2}-1 = 0\)在\(( - 1,1)\)的某个邻域内确定了一个隐函数\(y=\sqrt{1 - x^{2}}\)（取上半部分）或\(y = -\sqrt{1 - x^{2}}\)（取下半部分）。

二、隐函数求导方法

直接法：

对于方程\(F(x,y) = 0\)，将\(y\)看作是\(x\)的函数，然后对等式两边关于\(x\)求导。

在求导过程中，根据复合函数求导法则对含有\(y\)的项进行求导。

例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，对等式两边关于\(x\)求导，得到\(2x + 2y\cdot y^\prime=0\)，解关于\(y^\prime\)的方程，可得\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

公式法（偏导数法）：

若\(F(x,y)\)在点\((x,y)\)的某一邻域内具有连续的偏导数，且\(F_y(x,y)\neq0\)，则由方程\(F(x,y)=0\)所确定的隐函数\(y = y(x)\)的导数为\(y^\prime=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\)。

例如，对于方程\(e^{x + y}-xy = 0\)，令\(F(x,y)=e^{x + y}-xy\)，则\(F_x=e^{x + y}-y\)，\(F_y=e^{x + y}-x\)，所以\(y^\prime=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{e^{x + y}-y}{e^{x + y}-x}\)。

一元隐函数求导

例1：设方程\(x^{2}+y^{2}-1 = 0\)，求\(y^\prime\).

令\(F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1\)，则\(F_x = 2x\)，\(F_y = 2y\)。

根据隐函数求导公式\(y^\prime = -\frac{F_x}{F_y}\)，可得\(y^\prime = -\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

例2：求由方程\(y - x - \frac{1}{2}\sin y = 0\)所确定的隐函数\(y = f(x)\)的导数.

令\(F(x,y)=y - x - \frac{1}{2}\sin y\)，则\(F_x=-1\)，\(F_y = 1-\frac{1}{2}\cos y\)。

由公式可得\(y^\prime = -\frac{F_x}{F_y}=-\frac{-1}{1-\frac{1}{2}\cos y}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}\cos y}=\frac{2}{2 - \cos y}\) 。

二元隐函数求导

例3：设\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z = 0\)，求\(\frac{\partial z}{\partial x}\).

令\(F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z\)，则\(F_x = 2x\)，\(F_y = 2y\)，\(F_z = 2z - 4\)。

根据公式\(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}\)，可得\(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z - 4}=\frac{x}{2 - z}\)（\(z\neq2\)）。

例4：对于方程\(e^{x + y}-xy = 0\)，求\(\frac{\partial y}{\partial x}\).

令\(F(x,y)=e^{x + y}-xy\)，则\(F_x=e^{x + y}-y\)，\(F_y=e^{x + y}-x\)。

所以\(\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{e^{x + y}-y}{e^{x + y}-x}\) 。

三、高阶隐函数导数

在求出一阶导数\(y^\prime\)后，再次将\(y^\prime\)看作是\(x\)的函数，对\(y^\prime\)关于\(x\)求导，就可以得到二阶导数\(y^{\prime\prime}\)。

例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，已经求得\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

求二阶导数：

对\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)关于\(x\)求导，根据商法则\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}\)，这里\(u=-x\)，\(v = y\)，\(u^\prime=-1\)，\(v^\prime=y^\prime\)。

所以\(y^{\prime\prime}=-\frac{y - x\cdot y^\prime}{y^{2}}\)，将\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)代入可得\(y^{\prime\prime}=-\frac{y +\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{3}}\)，又因为\(x^{2}+y^{2}=1\)，所以\(y^{\prime\prime}=-\frac{1}{y^{3}}\)（\(y\neq0\)）。

四、隐函数组的导数

对于由方程组\(\left\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{array}\right.\)确定的隐函数组\(u = u(x,y)\)，\(v = v(x,y)\)，可以通过对两个方程分别关于\(x\)和\(y\)求偏导数，然后利用克莱姆法则（Cramer's Rule）来求解\(\frac{\partial u}{\partial x}\)，\(\frac{\partial u}{\partial y}\)，\(\frac{\partial v}{\partial x}\)，\(\frac{\partial v}{\partial y}\)等偏导数。

例如，对于方程组\(\left\{\begin{array}{l}u^{2}+v^{2}-x^{2}-y = 0\\u + v - x + y = 0\end{array}\right.\)，设\(F(u,v,x,y)=u^{2}+v^{2}-x^{2}-y\)，\(G(u,v,x,y)=u + v - x + y\)。

先求\(\frac{\partial u}{\partial x}\)：

计算\(F_u = 2u\)，\(F_v = 2v\)，\(G_u = 1\)，\(G_v = 1\)。

根据克莱姆法则\(\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\left|\begin{array}{ll}F_x&F_v\\G_x&G_v\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{array}\right|}\)，这里\(F_x=-2x\)，\(G_x=-1\)，代入可得\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2x - 2v}{2(u - v)}\)（\(u\neq v\)）。

一、对数求导法的适用情况

对数求导法主要适用于以下两种情况：

多个函数相乘除的形式：当函数\(y = f(x)\)是由多个因子相乘、相除或者根式组成的复杂表达式时，例如\(y=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\)，直接求导会比较复杂，使用对数求导法可以简化求导过程。

幂指函数形式：对于幂指函数\(y = u(x)^{v(x)}\)（其中\(u(x)>0\)，\(u(x)\)和\(v(x)\)都是关于\(x\)的函数），如\(y = x^{\sin x}\)，运用对数求导法可以方便地求出导数。

二、对数求导法的步骤及原理

步骤一：对函数两边取自然对数

对于\(y = f(x)\)，得到\(\ln y=\ln f(x)\)。如果\(y\)是多个函数的乘除组合，根据对数的运算法则将其展开。

例如，对于\(y=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\)，两边取对数后得到\(\ln y = 2\ln(x + 1)+\frac{1}{2}\ln(x - 1)-3\ln(x - 2)\)。

对于幂指函数\(y = u(x)^{v(x)}\)，两边取对数后得到\(\ln y = v(x)\ln u(x)\)。

例如，对于\(y = x^{\sin x}\)，两边取对数后为\(\ln y=\sin x\ln x\)。

步骤二：对等式两边关于\(x\)求导

对于\(\ln y = 2\ln(x + 1)+\frac{1}{2}\ln(x - 1)-3\ln(x - 2)\)，根据复合函数求导法则，\(\frac{1}{y}y^\prime=\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{2(x - 1)}-\frac{3}{x - 2}\)。

对于\(\ln y=\sin x\ln x\)，同样根据复合函数求导法则和乘积法则，\(\frac{1}{y}y^\prime=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\)。

步骤三：求解\(y^\prime\)

将\(y\)乘到等式右边，得到\(y^\prime\)。对于\(y=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\)，\(y^\prime=y\left(\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{2(x - 1)}-\frac{3}{x - 2}\right)=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\left(\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{2(x - 1)}-\frac{3}{x - 2}\right)\)。

对于\(y = x^{\sin x}\)，\(y^\prime=y\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)\)。

三、对数求导法的优势和注意事项

优势：

可以将复杂的函数求导转化为相对简单的对数函数和基本函数的求导组合，通过对数的运算法则将乘除运算转化为加减运算，大大简化了求导过程。

注意事项：

当对函数两边取对数时，需要注意函数的定义域，要保证取对数后的式子有意义。

例如，对于函数\(y=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\)，\(x\)的定义域是\(x>1\)且\(x\neq2\)，在求导过程中以及最终结果的应用中都要考虑这个定义域。同时，对于幂指函数\(y = u(x)^{v(x)}\)，要保证\(u(x)>0\)，如果不满足这个条件，需要进行适当的讨论或者变形。

一、高阶导数的定义

函数\(y = f(x)\)的导数\(y^\prime=f^\prime(x)\)仍然是\(x\)的函数。如果\(y^\prime=f^\prime(x)\)的导数存在，这个导数就称为原来函数\(y = f(x)\)的二阶导数，记作\(y^{\prime\prime}\)或\(f^{\prime\prime}(x)\)或\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)。

例如，对于函数\(y = x^{3}\)，其一阶导数\(y^\prime = 3x^{2}\)，二阶导数\(y^{\prime\prime}=(3x^{2})^\prime = 6x\)。

类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，记作\(y^{\prime\prime\prime}\)或\(f^{\prime\prime\prime}(x)\)或\(\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\)，以此类推，\(n\)阶导数记作\(y^{(n)}\)或\(f^{(n)}(x)\)或\(\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\)。

二、高阶导数的计算方法

直接法：通过逐次求导来计算高阶导数。

例如，求\(y = \sin x\)的\(n\)阶导数。

一阶导数\(y^\prime=\cos x=\sin(x +\frac{\pi}{2})\)。

二阶导数\(y^{\prime\prime}=-\sin x=\sin(x + 2\cdot\frac{\pi}{2})\)。

三阶导数\(y^{\prime\prime\prime}=-\cos x=\sin(x + 3\cdot\frac{\pi}{2})\)。

通过归纳可得\(y^{(n)}=\sin(x + n\cdot\frac{\pi}{2})\)。

公式法：利用已知的高阶导数公式。

例如，\((x^{n})^{(m)}=\frac{n!}{(n - m)!}x^{n - m}\)（\(m\leq n\)），当\(m>n\)时，\((x^{n})^{(m)} = 0\)。

对于\(y = x^{5}\)，求其四阶导数\(y^{(4)}\)，根据公式\(y^{(4)}=\frac{5!}{(5 - 4)!}x^{5 - 4}=5\times4\times3\times2x = 120x\)。

莱布尼茨公式：对于两个函数\(u(x)\)和\(v(x)\)的乘积\(y = u(x)v(x)\)的\(n\)阶导数，有\((uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}\)，其中\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)。

例如，设\(y = x^{2}e^{x}\)，求\(y^{(n)}\)。

令\(u = x^{2}\)，\(v = e^{x}\)。

\(u^\prime = 2x\)，\(u^{\prime\prime}=2\)，\(u^{(k)} = 0\)（\(k\geq3\)），\(v^{(k)} = e^{x}\)（\(k\geq0\)）。

则\(y^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x}=x^{2}e^{x}+2nx e^{x}+n(n - 1)e^{x}\)。

三、高阶导数的运算法则

加法法则

若\(u(x)\)和\(v(x)\)都具有\(n\)阶导数，则\((u(x)+v(x))^{(n)} = u^{(n)}(x)+v^{(n)}(x)\)。

例如，已知\(u(x)=x^{3}\)，\(v(x)=2x^{2}\)。

先求\(u(x)\)的高阶导数，\(u^\prime(x)=3x^{2}\)，\(u^{\prime\prime}(x)=6x\)，\(u^{\prime\prime\prime}(x)=6\)，\(u^{(n)}(x) = 0\)（\(n\gt3\)）。

再求\(v(x)\)的高阶导数，\(v^\prime(x)=4x\)，\(v^{\prime\prime}(x)=4\)，\(v^{(n)}(x)=0\)（\(n\gt2\)）。

对于\(y = u(x)+v(x)=x^{3}+2x^{2}\)，\(y^{\prime\prime\prime}=(u(x)+v(x))^{\prime\prime\prime}=u^{\prime\prime\prime}(x)+v^{\prime\prime\prime}(x)=6 + 0 = 6\)。

乘法法则（莱布尼茨公式）

设\(u(x)\)和\(v(x)\)是两个函数，它们都\(n\)次可导，则\((uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}\)，其中\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)。

例如，设\(u(x)=x^{2}\)，\(v(x)=e^{x}\)，求\((uv)^{(n)}\)。

首先求\(u(x)\)的各阶导数：\(u^\prime(x)=2x\)，\(u^{\prime\prime}(x)=2\)，\(u^{(k)}(x)=0\)（\(k\geq3\)）。

而\(v^{(k)}(x)=e^{x}\)（\(k = 0,1,2,\cdots\)）。

根据莱布尼茨公式\((uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}\)，可得：

\(C_{n}^{0}u^{(n)}v^{(0)} + C_{n}^{1}u^{(n - 1)}v^{(1)}+\cdots+C_{n}^{n}u^{(0)}v^{(n)}\)

\(=x^{2}e^{x}+n\times(2x)e^{x}+\frac{n(n - 1)}{2}\times2e^{x}=x^{2}e^{x}+2nx e^{x}+n(n - 1)e^{x}\)。

复合函数高阶导数法则

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，且\(y\)对\(u\)，\(u\)对\(x\)都有足够阶数的导数。

一阶导数：\(y^\prime=f^\prime(u)g^\prime(x)\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(u)(g^\prime(x))^{2}+f^\prime(u)g^{\prime\prime}(x)\)。

例如，设\(y = \sin(u)\)，\(u = x^{2}\)。

一阶导数：\(y^\prime=\cos(u)\times2x = 2x\cos(x^{2})\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=-\sin(u)\times(2x)^{2}+\cos(u)\times2\)

\(=- 4x^{2}\sin(x^{2})+2\cos(x^{2})\)。

商的高阶导数法则

若\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)（\(v(x)\neq0\)），求高阶导数可以通过将其看作\(u(x)\cdot(v(x))^{-1}\)，然后利用乘法法则（莱布尼茨公式）和复合函数求导法则来计算。

一阶导数：\(y^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^{2}(x)}\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=\frac{(u^{\prime\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime\prime}(x))v^{2}(x)-2v(x)v^\prime(x)(u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x))}{v^{4}(x)}\)。

例如，设\(y=\frac{x}{x + 1}\)，\(u(x)=x\)，\(v(x)=x + 1\)。

一阶导数：\(y^\prime=\frac{1\times(x + 1)-x\times1}{(x + 1)^{2}}=\frac{1}{(x + 1)^{2}}\)。

二阶导数：

\(y^{\prime\prime}=\frac{(0\times(x + 1)-x\times0)(x + 1)^{2}-2(x + 1)\times1\times\frac{1}{(x + 1)^{2}}}{(x + 1)^{4}}\)

\(=\frac{- 2}{(x + 1)^{3}}\)。

四、高阶导数的应用场景

物理中的加速度问题：在物理中，如果位移函数为\(s(t)\)，速度函数\(v(t)=s^\prime(t)\)，加速度函数\(a(t)=s^{\prime\prime}(t)\)。

例如，已知位移函数\(s(t)=t^{3}-2t^{2}+t\)，则速度\(v(t)=3t^{2}-4t + 1\)，加速度\(a(t)=6t - 4\)。加速度描述了速度变化的快慢，在研究物体的运动状态变化等问题中有重要作用。

函数的近似计算和泰勒展开：泰勒公式\(f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^{k}+R_{n}(x)\)，其中\(f^{(k)}(a)\)是\(f(x)\)在\(a\)点的\(k\)阶导数。通过高阶导数可以更精确地对函数进行近似，在数值分析等领域有广泛应用。

例如，\(e^{x}\)在\(x = 0\)附近的泰勒展开式为\(e^{x}=1 + x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots\)，这里的系数就是\(e^{x}\)在\(0\)点的各阶导数除以相应阶乘。

五、常用函数的高阶导数

幂函数\(y = x^{n}\)（\(n\)为正整数）

一阶导数：\(y^\prime = nx^{n - 1}\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=n(n - 1)x^{n - 2}\)。

三阶导数：\(y^{\prime\prime\prime}=n(n - 1)(n - 2)x^{n - 3}\)。

以此类推，\(k\)阶导数（\(k\leq n\)）：\(y^{(k)}=\frac{n!}{(n - k)!}x^{n - k}\)。

当\(k > n\)时，\(y^{(k)} = 0\)。

例如，对于\(y = x^{5}\)，其五阶导数\(y^{(5)} = 5! = 120\)，六阶导数\(y^{(6)} = 0\)。

指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)）

一阶导数：\(y^\prime=a^{x}\ln a\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=a^{x}(\ln a)^{2}\)。

一般地，\(n\)阶导数：\(y^{(n)}=a^{x}(\ln a)^{n}\)。

特别地，当\(a = e\)时，\(y = e^{x}\)，\(y^{(n)}=e^{x}\)。

例如，\(y = 2^{x}\)的三阶导数\(y^{(3)} = 2^{x}(\ln 2)^{3}\)。

对数函数\(y=\ln x\)（\(x>0\)）

一阶导数：\(y^\prime=\frac{1}{x}\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\)。

三阶导数：\(y^{\prime\prime\prime}=\frac{2}{x^{3}}\)。

通过归纳可得\(n\)阶导数：\(y^{(n)}=(-1)^{n - 1}\frac{(n - 1)!}{x^{n}}\)。

例如，\(y = \ln x\)的四阶导数\(y^{(4)}=(-1)^{4 - 1}\frac{3!}{x^{4}}=-\frac{6}{x^{4}}\)。

正弦函数\(y = \sin x\)

一阶导数：\(y^\prime=\cos x=\sin(x +\frac{\pi}{2})\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=-\sin x=\sin(x + 2\cdot\frac{\pi}{2})\)。

三阶导数：\(y^{\prime\prime\prime}=-\cos x=\sin(x + 3\cdot\frac{\pi}{2})\)。

一般地，\(n\)阶导数：\(y^{(n)}=\sin(x +\frac{n\pi}{2})\)。

例如，\(y = \sin x\)的七阶导数\(y^{(7)}=\sin(x +\frac{7\pi}{2})=\cos x\)。

余弦函数\(y = \cos x\)

一阶导数：\(y^\prime=-\sin x=\cos(x+\frac{\pi}{2})\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=-\cos x=\cos(x + 2\cdot\frac{\pi}{2})\)。

三阶导数：\(y^{\prime\prime\prime}=\sin x=\cos(x + 3\cdot\frac{\pi}{2})\)。

一般地，\(n\)阶导数：\(y^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}{2})\)。

例如，\(y = \cos x\)的六阶导数\(y^{(6)}=\cos(x + 3\pi)=-\cos x\)。

双曲正弦函数\(y = \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)

一阶导数：\(y^\prime=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh x\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x\)。

可以发现\(\sinh x\)的高阶导数呈现周期性，偶数阶导数为\(\sinh x\)，奇数阶导数为\(\cosh x\)。

例如，\(y = \sinh x\)的五阶导数\(y^{(5)}=\cosh x\)。

双曲余弦函数\(y = \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)

一阶导数：\(y^\prime=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh x\)。

类似地，\(\cosh x\)的高阶导数也呈现周期性，偶数阶导数为\(\cosh x\)，奇数阶导数为\(\sinh x\)。

例如，\(y = \cosh x\)的四阶导数\(y^{(4)}=\cosh x\)。

一、参数方程的一般形式及导数公式推导

一般地，若参数方程为\(\begin{cases}x = \varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}\)，其中\(t\)是参数。

对于函数\(y = y(x)\)，我们要求\(\frac{dy}{dx}\)。根据复合函数求导法则和反函数求导法则来推导其导数公式。

假设\(x=\varphi(t)\)的反函数为\(t = \varphi^{-1}(x)\)，那么\(y=\psi(\varphi^{-1}(x))\)。

根据复合函数求导法则\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\)，又因为\(\frac{dx}{dt}=\varphi^\prime(t)\)，其反函数导数\(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\varphi^\prime(t)}\)（当\(\varphi^\prime(t)\neq0\)），所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\)。

二、一阶导数的计算示例

例1：设参数方程为\(\begin{cases}x = t^{2}+1\\y = 2t - 1\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

首先求\(\frac{dx}{dt}=2t\)，\(\frac{dy}{dt}=2\)。

根据公式\(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)，可得\(\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}\)（\(t\neq0\)）。

例2：已知参数方程\(\begin{cases}x = \cos t\\y=\sin 2t\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

先求\(\frac{dx}{dt}=-\sin t\)，\(\frac{dy}{dt}=2\cos 2t\)。

由公式得\(\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos 2t}{-\sin t}\)，再利用二倍角公式\(\cos 2t = 1 - 2\sin^{2}t\)进行化简，\(\frac{dy}{dx}=\frac{2(1 - 2\sin^{2}t)}{-\sin t}=- 2(\csc t - 2\sin t)\)。

三、二阶导数的计算

二阶导数\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)是一阶导数\(\frac{dy}{dx}\)对\(x\)的导数。

先求出\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\)，把它看作是关于\(t\)的函数，然后再对\(x\)求导。

根据复合函数求导法则\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\right)\cdot\frac{dt}{dx}\)，又因为\(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\varphi^\prime(t)}\)，所以\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{\varphi^\prime(t)\psi^{\prime\prime}(t)-\psi^\prime(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{(\varphi^\prime(t))^{2}}}{\varphi^\prime(t)}=\frac{\varphi^\prime(t)\psi^{\prime\prime}(t)-\psi^\prime(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{(\varphi^\prime(t))^{3}}\)。

例3：对于参数方程\(\begin{cases}x = t^{2}\\y = t^{3}\end{cases}\)，求\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)。

首先求\(\frac{dx}{dt}=2t\)，\(\frac{dy}{dt}=3t^{2}\)，则\(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}}{2t}=\frac{3t}{2}\)。

接着求\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)，\(\frac{d}{dt}\left(\frac{3t}{2}\right)=\frac{3}{2}\)，\(\frac{dx}{dt}=2t\)，所以\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{2t}=\frac{3}{4t}\)（\(t\neq0\)）。