高中数学 17 随机变量及其分布：条件、全概率

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条件概率

定义：设\(A\)、\(B\)为两个事件，且\(P(A)>0\)，则在事件\(A\)发生的条件下，事件\(B\)发生的条件概率为\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)。例如，一个盒子中有\(3\)个红球和\(2\)个白球，从中不放回地取两次球，每次取一个。设事件\(A\)为“第一次取到红球”，事件\(B\)为“第二次取到红球”，已知\(P(A)=\frac{3}{5}\)，\(P(AB)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\)，则\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}\)。

性质：

非负性：\(P(B|A)\geq0\)。

规范性：\(P(\Omega|A)=1\)，其中\(\Omega\)为样本空间。

可列可加性：若\(B_1\)，\(B_2\)，\(\cdots\)是两两互斥事件，则\(P(\bigcup_{i = 1}^{\infty}B_i|A)=\sum_{i = 1}^{\infty}P(B_i|A)\)。

乘法公式

由条件概率公式可得乘法公式：\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)，该公式可推广到多个事件的情形，如\(P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)\)等。

全概率公式

完备事件组：设\(\Omega\)为样本空间，\(A_1\)，\(A_2\)，\(\cdots\)，\(A_n\)为\(\Omega\)的一组事件，若满足\(A_iA_j=\varnothing\)（\(i\neq j\)）且\(\bigcup_{i = 1}^{n}A_i=\Omega\)，则称\(A_1\)，\(A_2\)，\(\cdots\)，\(A_n\)为样本空间\(\Omega\)的一个完备事件组。

全概率公式：设\(A_1\)，\(A_2\)，\(\cdots\)，\(A_n\)为样本空间\(\Omega\)的一个完备事件组，且\(P(A_i)>0\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），则对任意事件\(B\subseteq\Omega\)，有\(P(B)=\sum_{i = 1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)\)。例如，有三个箱子，分别编号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(1\)号箱装有\(1\)个红球\(4\)个白球，\(2\)号箱装有\(2\)个红球\(3\)个白球，\(3\)号箱装有\(3\)个红球。现从三箱中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，设\(B\)表示“取得红球”，\(A_i\)表示“球取自\(i\)号箱”（\(i = 1,2,3\)），则\(P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}\)，\(P(B|A_1)=\frac{1}{5}\)，\(P(B|A_2)=\frac{2}{5}\)，\(P(B|A_3)=1\)，根据全概率公式可得\(P(B)=\sum_{i = 1}^{3}P(A_i)P(B|A_i)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{5}+\frac{1}{3}\times1=\frac{8}{15}\)。

贝叶斯公式

设\(A_1\)，\(A_2\)，\(\cdots\)，\(A_n\)为样本空间\(\Omega\)的一个完备事件组，且\(P(A_i)>0\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），\(P(B)>0\)，则\(P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i = 1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}\)（\(j = 1,2,\cdots,n\)）。贝叶斯公式是在已知结果\(B\)发生的条件下，求导致该结果的各种原因\(A_j\)发生的概率，在实际中有广泛的应用，如医学诊断、信号检测等领域。

条件概率、全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要内容，它们为解决复杂的概率问题提供了有力的工具，有助于我们更深入地理解和分析随机现象中的各种关系和规律。