导数 15 导数与函数的极值、最大值、最小值

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一、函数极值的定义

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于\(x_{0}\)的任意一点\(x\)：

（1）如果都有\(f(x)<f(x_{0})\)，那么就称\(f(x_{0})\)是函数\(y = f(x)\)的一个极大值。

（2）如果都有\(f(x)>f(x_{0})\)，那么就称\(f(x_{0})\)是函数\(y = f(x)\)的一个极小值。

点\(x_{0}\)称为函数\(y = f(x)\)的极大值点（或极小值点）。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

极值点包括驻点（导数为0的点叫驻点）、不可导点。

注意：导数为0的点不一定是极值点，即驻点不一定是极值点。

二、导数判定极值的方法

函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，且在\(x_{0}\)处取得极值，那么\(f^{\prime}(x_{0}) = 0\)。但是\(f^{\prime}(x_{0}) = 0\)时，\(x_{0}\)不一定是极值点。

例如，\(y = x^{3}\)，\(y^{\prime}=3x^{2}\)，当\(x = 0\)时，\(y^{\prime}=0\)，但\(x = 0\)不是极值点，因为在\(x = 0\)的两侧函数的单调性相同。

（导数判定极值）第一充分条件：

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处连续，且在\(x_{0}\)的某去心邻域\(\stackrel{∘}{U}(x_{0},\delta)\)内可导。

若\(x\in(x_{0}-\delta,x_{0})\)时，\(f^{\prime}(x)>0\)，而\(x\in(x_{0},x_{0}+\delta)\)时，\(f^{\prime}(x)<0\)，则\(f(x)\)在\(x_{0}\)处取得极大值。

若\(x\in(x_{0}-\delta,x_{0})\)时，\(f^{\prime}(x)<0\)，而\(x\in(x_{0},x_{0}+\delta)\)时，\(f^{\prime}(x)>0\)，则\(f(x)\)在\(x_{0}\)处取得极小值。

若\(x\in\stackrel{∘}{U}(x_{0},\delta)\)时，\(f^{\prime}(x)\)的符号保持不变，则\(f(x)\)在\(x_{0}\)处没有极值。

（导数判定极值）第二充分条件：

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处具有二阶导数且\(f^{\prime}(x_{0}) = 0\)，\(f^{\prime\prime}(x_{0})\neq0\)。

若\(f^{\prime\prime}(x_{0})<0\)，则\(f(x)\)在\(x_{0}\)处取得极大值。

若\(f^{\prime\prime}(x_{0})>0\)，则\(f(x)\)在\(x_{0}\)处取得极小值。

例1：求函数\(y = x^{2}-4x + 3\)的极值。

首先求导：\(y^{\prime}=2x - 4\)。

令\(y^{\prime}=0\)，即\(2x-4 = 0\)，解得\(x = 2\)。

当\(x<2\)时，\(y^{\prime}=2x - 4<0\)，函数单调递减。

当\(x>2\)时，\(y^{\prime}=2x - 4>0\)，函数单调递增。

根据第一充分条件，\(x = 2\)是函数的极小值点，极小值为\(y(2)=2^{2}-4\times2 + 3=-1\)。

例2：求函数\(y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x\)的极值。

求导得\(y^{\prime}=x^{2}-2x - 3=(x + 1)(x - 3)\)。

令\(y^{\prime}=0\)，则\(x=-1\)或\(x = 3\)。

当\(x\in(-\infty,-1)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

当\(x\in(-1,3)\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。

当\(x\in(3,+\infty)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

所以\(x=-1\)是极大值点，极大值为\(y(-1)=\frac{1}{3}\times(-1)^{3}-(-1)^{2}-3\times(-1)=\frac{5}{3}\)；\(x = 3\)是极小值点，极小值为\(y(3)=\frac{1}{3}\times3^{3}-3^{2}-3\times3=-9\)。

例3：求函数\(y = 2x^{3}-3x^{2}-12x + 5\)的极值。

求导\(y^{\prime}=6x^{2}-6x - 12 = 6(x^{2}-x - 2)=6(x + 1)(x - 2)\)。

令\(y^{\prime}=0\)，得\(x=-1\)或\(x = 2\)。

当\(x\in(-\infty,-1)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

当\(x\in(-1,2)\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。

当\(x\in(2,+\infty)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

所以\(x=-1\)是极大值点，极大值为\(y(-1)=2\times(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}-12\times(-1)+5 = 12\)；\(x = 2\)是极小值点，极小值为\(y(2)=2\times2^{3}-3\times2^{2}-12\times2 + 5=-15\)。

例4：求函数\(y=(x - 1)^{2}(x + 1)^{3}\)的极值。

先求导，根据乘法求导法则\((uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime\)，\(y^{\prime}=2(x - 1)(x + 1)^{3}+3(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}\)，提取公因式\((x - 1)(x + 1)^{2}\)得\(y^{\prime}=(x - 1)(x + 1)^{2}(2(x + 1)+3(x - 1))=(x - 1)(x + 1)^{2}(5x - 1)\)。

令\(y^{\prime}=0\)，则\(x=-1\)，\(x=\frac{1}{5}\)，\(x = 1\)。

当\(x\in(-\infty,-1)\)时，\(y^{\prime}>0\)（可通过代入特殊值判断符号）。

当\(x\in(-1,\frac{1}{5})\)时，\(y^{\prime}<0\)。

当\(x\in(\frac{1}{5},1)\)时，\(y^{\prime}>0\)。

当\(x\in(1,+\infty)\)时，\(y^{\prime}>0\)。

所以\(x=-1\)不是极值点，\(x=\frac{1}{5}\)是极小值点，极小值为\(y(\frac{1}{5})=(\frac{1}{5}-1)^{2}(\frac{1}{5}+1)^{3}=\frac{3456}{3125}\)；\(x = 1\)是极大值点，极大值为\(y(1)=0\)。

例5：求函数\(y = x+\frac{1}{x}\)的极值。

函数定义域为\(x\neq0\)，求导得\(y^{\prime}=1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x^{2}}\)。

令\(y^{\prime}=0\)，得\(x=\pm1\)。

当\(x\in(-\infty,-1)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

当\(x\in(-1,0)\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。

当\(x\in(0,1)\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。

当\(x\in(1,+\infty)\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。

所以\(x=-1\)是极大值点，极大值为\(y(-1)=-2\)；\(x = 1\)是极小值点，极小值为\(y(1)=2\)。

三、函数最值的定义

函数\(y = f(x)\)在区间\([a,b]\)上的最大值和最小值统称为函数的最值。函数的最大值是函数在区间上的所有函数值中的最大者，最小值是函数在区间上的所有函数值中的最小者。

四、求函数最值的方法

求出函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内的所有极值（通过求导，令\(f^{\prime}(x)=0\)，找出驻点，再用第一或第二充分条件判断驻点是否为极值点）。

求出函数在区间端点\(a\)和\(b\)处的函数值\(f(a)\)和\(f(b)\)。

比较所有极值和端点值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

例1：求函数\(y = x^{3}-3x^{2}+2\)在区间\([-1,3]\)上的最值。

求导\(y^{\prime}=3x^{2}-6x = 3x(x - 2)\)。

令\(y^{\prime}=0\)，得\(x = 0\)或\(x = 2\)。

计算\(y(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}+2=-2\)，\(y(0)=2\)，\(y(2)=2^{3}-3\times2^{2}+2=-2\)，\(y(3)=3^{3}-3\times3^{2}+2 = 2\)。

比较这些值，可知最大值为\(y(0)=y(3)=2\)，最小值为\(y(-1)=y(2)=-2\)。

例2：求函数\(y=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{2}{3}x^{3}-2x^{2}+3\)在区间\([-3,3]\)上的最值。

求导\(y^{\prime}=x^{3}-2x^{2}-4x=x(x^{2}-2x - 4)\)。

令\(y^{\prime}=0\)，解方程\(x(x^{2}-2x - 4)=0\)，\(x = 0\)是一个根，对于\(x^{2}-2x - 4 = 0\)，根据求根公式\(x=\frac{2\pm\sqrt{4 + 16}}{2}=1\pm\sqrt{5}\)。

计算\(y(-3)=\frac{1}{4}\times(-3)^{4}-\frac{2}{3}\times(-3)^{3}-2\times(-3)^{2}+3=\frac{81}{4}+18 - 18+3=\frac{93}{4}\)。

\(y(0)=3\)，\(y(1+\sqrt{5})\)（代入函数计算较复杂，此处省略具体计算过程），\(y(1 - \sqrt{5})\)（同样省略具体计算），\(y(3)=\frac{1}{4}\times3^{4}-\frac{2}{3}\times3^{3}-2\times3^{2}+3=\frac{81}{4}-18 - 18+3=-\frac{15}{4}\)。

比较这些值可得最大值和最小值。