圆锥曲线 13 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线

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椭圆

定义：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记作\(2c\)。设点\(P\)到两焦点的距离之和为\(2a\)，则\(2a > 2c\)。

标准方程：

当焦点在\(x\)轴上时，椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a > b > 0\)），其中\(b^2 = a^2 - c^2\)。

当焦点在\(y\)轴上时，椭圆的标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a > b > 0\)），此时\(b^2 = a^2 - c^2\)仍然成立。

几何性质：

范围：对于焦点在\(x\)轴上的椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，有\(-a\leq x\leq a\)，\(-b\leq y\leq b\)。

对称性：椭圆关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称。

顶点：焦点在\(x\)轴上的椭圆有四个顶点，分别为\((\pm a,0)\)，\((0,\pm b)\)；焦点在\(y\)轴上的椭圆的四个顶点是\((0,\pm a)\)，\((\pm b,0)\)。

离心率：椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(0 < e < 1\)，离心率反映了椭圆的扁平程度，\(e\)越接近\(1\)，椭圆越扁；\(e\)越接近\(0\)，椭圆越接近于圆。

双曲线

定义：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，记作\(2c\)。设点\(P\)到两焦点距离之差的绝对值为\(2a\)，则\(0 < 2a < 2c\)。

标准方程：

当焦点在\(x\)轴上时，双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(c^2 = a^2 + b^2\)。

当焦点在\(y\)轴上时，双曲线的标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)，同样\(c^2 = a^2 + b^2\)。

几何性质：

范围：对于焦点在\(x\)轴上的双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，有\(x\leq -a\)或\(x\geq a\)，\(y\in R\)。

对称性：双曲线关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称。

顶点：焦点在\(x\)轴上的双曲线有两个顶点\((\pm a,0)\)；焦点在\(y\)轴上的双曲线的两个顶点是\((0,\pm a)\)。

渐近线：焦点在\(x\)轴上的双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)；焦点在\(y\)轴上的双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{a}{b}x\)。

离心率：双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(e > 1\)，离心率越大，双曲线的开口越大。

抛物线

定义：平面内，到定点\(F\)与定直线\(l\)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点\(F\)叫做抛物线的焦点，定直线\(l\)叫做抛物线的准线。

标准方程：

当抛物线的焦点在\(x\)轴正半轴上时，其标准方程为\(y^2 = 2px\)（\(p > 0\)），焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x = -\frac{p}{2}\)。

当抛物线的焦点在\(x\)轴负半轴上时，方程为\(y^2 = -2px\)（\(p > 0\)），焦点坐标为\((-\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x = \frac{p}{2}\)。

当抛物线的焦点在\(y\)轴正半轴上时，方程为\(x^2 = 2py\)（\(p > 0\)），焦点坐标为\((0,\frac{p}{2})\)，准线方程为\(y = -\frac{p}{2}\)。

当抛物线的焦点在\(y\)轴负半轴上时，方程为\(x^2 = -2py\)（\(p > 0\)），焦点坐标为\((0,-\frac{p}{2})\)，准线方程为\(y = \frac{p}{2}\)。

几何性质：

对称性：抛物线\(y^2 = 2px\)（\(p > 0\)）关于\(x\)轴对称，抛物线\(x^2 = 2py\)（\(p > 0\)）关于\(y\)轴对称。

顶点：抛物线的顶点是坐标原点\((0,0)\)。

离心率：抛物线的离心率\(e = 1\)。

圆锥曲线在数学和物理学等领域都有广泛的应用，如行星的运动轨道、卫星天线的设计等都与椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的性质密切相关。它们是高中数学中的重要内容，也是高考的重点考查对象之一。

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