导数 15 一元函数的导数及其应用

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导数的概念

平均变化率：函数\(y = f(x)\)从\(x_{1}\)到\(x_{2}\)的平均变化率为\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\)。它刻画了函数在区间\([x_{1},x_{2}]\)上的平均变化快慢程度。

瞬时变化率与导数的定义：当\(\Delta x\)趋近于\(0\)时，平均变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)趋近于一个常数，这个常数就是函数\(y = f(x)\)在\(x = x_{0}\)处的瞬时变化率，也就是函数\(y = f(x)\)在\(x = x_{0}\)处的导数，记作\(f^{\prime}(x_{0})\)或\(y^{\prime}|_{x = x_{0}}\)，即\(f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\)。如果函数\(y = f(x)\)在开区间\((a,b)\)内的每一点处都可导，就说函数\(y = f(x)\)在开区间\((a,b)\)内可导，其导数\(f^{\prime}(x)\)也是\((a,b)\)内的函数，又称导函数，记作\(y^{\prime}\)，\(f^{\prime}(x)\)或\(\frac{dy}{dx}\)等。

导数的几何意义

函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处的导数\(f^{\prime}(x_{0})\)的几何意义是曲线\(y = f(x)\)在点\((x_{0},f(x_{0}))\)处的切线斜率。相应地，曲线\(y = f(x)\)在点\((x_{0},f(x_{0}))\)处的切线方程为\(y - f(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})(x - x_{0})\)。

导数的运算

基本初等函数的导数公式：

\((C)^{\prime}=0\)（\(C\)为常数）

\((x^{n})^{\prime}=nx^{n - 1}\)（\(n\in Q^{*}\)）

\((\sin x)^{\prime}=\cos x\)

\((\cos x)^{\prime}=-\sin x\)

\((a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）

\((e^{x})^{\prime}=e^{x}\)

\((\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)，\(x>0\)）

\((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\)

导数的运算法则：

\([u(x)\pm v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x)\pm v^{\prime}(x)\)

\([u(x)v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)\)

\([\frac{u(x)}{v(x)}]^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}\)（\(v(x)\neq0\)）

导数的应用

函数的单调性：设函数\(y = f(x)\)在某个区间内可导，如果\(f^{\prime}(x)>0\)，那么函数\(y = f(x)\)在这个区间内单调递增；如果\(f^{\prime}(x)<0\)，那么函数\(y = f(x)\)在这个区间内单调递减。

函数的极值：设函数\(f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，且在\(x_{0}\)处取得极值，那么\(f^{\prime}(x_{0})=0\)。反之，当\(f^{\prime}(x_{0})=0\)时，\(x_{0}\)不一定是函数\(f(x)\)的极值点。求函数\(f(x)\)的极值的步骤如下：

求出函数\(f(x)\)的导数\(f^{\prime}(x)\)。

令\(f^{\prime}(x)=0\)，求出方程的根。

列表判断在这些根的左右两侧\(f^{\prime}(x)\)的符号，从而确定函数的极值。

函数的最值：求函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上的最值的步骤如下：

求出函数\(f(x)\)在\((a,b)\)内的极值。

求出函数\(f(x)\)在端点\(a\)和\(b\)处的值。

将函数的极值与端点值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

生活中的优化问题：利用导数解决生活中的优化问题，通常先建立函数模型，再通过求导数来确定函数的最值，从而得到最优解。例如，求利润最大、成本最低、用料最省等问题。

导数作为研究函数性质的重要工具，在数学和其他科学领域都有着广泛的应用，它为解决函数的极值、最值以及实际生活中的优化问题等提供了有力的方法和手段。