解析几何 12 圆的弦长计算公式

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一、基于圆心到直线距离

公式：\(l = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)。

参数意义：\(l\)为弦长，\(r\)为圆的半径，\(d\)为圆心到直线的距离。该公式是由圆的半径、弦心距与弦长的一半构成直角三角形，根据勾股定理推导而来。

适用情况：已知圆的方程和直线方程，可先求出圆心到直线的距离，进而计算弦长。

例如，对于圆\((x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=25\)与直线\(3x + 4y - 1 = 0\)，可先根据点到直线距离公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)（其中\((x_0,y_0)\)为圆心坐标，\(Ax + By + C = 0\)为直线方程）求出圆心\((1,2)\)到直线\(3x + 4y - 1 = 0\)的距离\(d=\frac{\vert3\times1 + 4\times2 - 1\vert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=2\)，再由弦长公式得弦长\(l = 2\sqrt{25 - 2^{2}}=2\sqrt{21}\)。

二、利用三角函数

公式：\(l = 2r\sin\frac{\theta}{2}\)。

参数意义：\(l\)为弦长，\(r\)为圆的半径，\(\theta\)为弦所对的圆心角。此公式是通过在等腰三角形（由圆心与弦的两个端点构成）中，利用三角函数的定义推导得出。

适用情况：当已知圆的半径和弦所对的圆心角时，可直接使用该公式计算弦长。比如，圆的半径为\(5\)，弦所对圆心角为\(60^{\circ}\)，则弦长\(l = 2\times5\times\sin\frac{60^{\circ}}{2}=10\times\sin30^{\circ}=5\)。

三、依据直线斜率和交点坐标

公式：若直线方程为\(y = kx + b\)，与圆相交于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)两点，则弦长\(l=\sqrt{1 + k^{2}}\vert x_1 - x_2\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}\)。

参数意义：\(k\)为直线的斜率，\(x_1\)，\(x_2\)为直线与圆交点的横坐标。该公式是通过两点间距离公式结合直线方程与圆方程联立后的韦达定理推导而来。

适用情况：已知直线斜率和直线与圆交点的相关信息时使用。

例如，直线\(y = 2x + 1\)与圆\(x^{2}+y^{2}=5\)相交，将直线方程代入圆的方程得\(x^{2}+(2x + 1)^{2}=5\)，整理为\(5x^{2}+4x - 4 = 0\)，由韦达定理得\(x_1 + x_2=-\frac{4}{5}\)，\(x_1x_2=-\frac{4}{5}\)，则弦长\(l=\sqrt{1 + 2^{2}}\cdot\sqrt{(-\frac{4}{5})^{2}-4\times(-\frac{4}{5})}=\frac{4\sqrt{30}}{5}\)。