平面向量 06 向量线性运算的重要结论

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1. 平行四边形定理（向量形式）

定理内容：在平面内，若\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，则四边形\(ABCD\)是平行四边形。

证明过程：

设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(C(x_{3},y_{3})\)，\(D(x_{4},y_{4})\)。

则\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\)，\(\overrightarrow{DC}=(x_{3}-x_{4},y_{3}-y_{4})\)。

因为\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，所以\(\begin{cases}x_{2}-x_{1}=x_{3}-x_{4}\\y_{2}-y_{1}=y_{3}-y_{4}\end{cases}\)。

由此可得\(AB\)与\(DC\)平行且相等，根据平行四边形的判定定理，四边形\(ABCD\)是平行四边形。

应用示例：已知\(A(0,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(4,2)\)，\(D(1,2)\)，计算\(\overrightarrow{AB}=(3 - 0,0 - 0)=(3,0)\)，\(\overrightarrow{DC}=(4 - 1,2 - 2)=(3,0)\)，因为\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，所以四边形\(ABCD\)是平行四边形。

2. 三角形中线定理（向量形式）

定理内容：在\(\triangle ABC\)中，设\(D\)为\(BC\)中点，则\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)。

证明过程：

设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(C(x_{3},y_{3})\)，因为\(D\)为\(BC\)中点，所以\(D\)点坐标为\((\frac{x_{2}+x_{3}}{2},\frac{y_{2}+y_{3}}{2})\)。

则\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\)，\(\overrightarrow{AC}=(x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1})\)，\(\overrightarrow{AD}=(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}-x_{1},\frac{y_{2}+y_{3}}{2}-y_{1})\)。

计算\(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}[(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})+(x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1})]\)

\(=\frac{1}{2}(x_{2}-x_{1}+x_{3}-x_{1},y_{2}-y_{1}+y_{3}-y_{1})\)

\(=(\frac{x_{2}+x_{3}-2x_{1}}{2},\frac{y_{2}+y_{3}-2y_{1}}{2})\)

与\(\overrightarrow{AD}\)的坐标表达式相同，所以\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)。

应用示例：在\(\triangle ABC\)中，\(A(1,1)\)，\(B(3,3)\)，\(C(5,1)\)，\(D\)为\(BC\)中点，\(D\)点坐标为\((\frac{3 + 5}{2},\frac{3 + 1}{2})=(4,2)\)，\(\overrightarrow{AB}=(3 - 1,3 - 1)=(2,2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(5 - 1,1 - 1)=(4,0)\)，\(\overrightarrow{AD}=(4 - 1,2 - 1)=(3,1)\)，\(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}[(2,2)+(4,0)]=\frac{1}{2}(6,2)=(3,1)\)，验证了定理。

3. 三点共线定理（向量形式）

定理内容：对于平面内三个点\(A\)、\(B\)、\(C\)，存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\)，则\(A\)、\(B\)、\(C\)三点共线。

证明过程：

设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(C(x_{3},y_{3})\)，则\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\)，\(\overrightarrow{AC}=(x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1})\)。

若\(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\)，则\((x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1})=\lambda(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\)。

即\(\begin{cases}x_{3}-x_{1}=\lambda(x_{2}-x_{1})\\y_{3}-y_{1}=\lambda(y_{2}-y_{1})\end{cases}\)，这表明\(C\)点在直线\(AB\)上，所以\(A\)、\(B\)、\(C\)三点共线。

应用示例：已知\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,6)\)，\(\overrightarrow{AB}=(3 - 1,4 - 2)=(2,2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(5 - 1,6 - 2)=(4,4)\)，发现\(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\)，所以\(A\)、\(B\)、\(C\)三点共线。

4. 平面向量基本定理与相似三角形（向量形式）

定理内容：如果\(\overrightarrow{e_{1}}\)、\(\overrightarrow{e_{2}}\)是平面内两个不共线的向量，\(\overrightarrow{a}\)是该平面内任一向量，有且只有一对实数\(\lambda_{1}\)、\(\lambda_{2}\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda_{1}\overrightarrow{e_{1}}+\lambda_{2}\overrightarrow{e_{2}}\)。当两个三角形相似时，其对应边向量成比例。

证明过程（以向量分解为例）：

设\(\overrightarrow{e_{1}}=(1,0)\)，\(\overrightarrow{e_{2}}=(0,1)\)，对于向量\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，显然\(\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{e_{1}}+y\overrightarrow{e_{2}}\)，且这种分解是唯一的。

对于相似三角形，设\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)相似，相似比为\(k\)，\(\overrightarrow{AB}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{A'B'}=(x_{2},y_{2})\)，则\(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\)，即\(\begin{cases}x_{2}=kx_{1}\\y_{2}=ky_{1}\end{cases}\)，体现了对应边向量成比例。

应用示例：在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，已知\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(2\)，\(\overrightarrow{AB}=(1,2)\)，则\(\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}=(2,4)\)，通过向量形式可以方便地根据相似关系求出对应边向量。