高中数学 06 平面向量及其应用

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平面向量的概念

向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，例如力、速度等都是向量.

向量的表示：

几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。如\(\overrightarrow{AB}\)，其中\(A\)为起点，\(B\)为终点.

字母表示：用小写字母\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)等表示向量.

向量的模：向量的大小叫做向量的模，记作\(\vert\vec{a}\vert\)或\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)，向量的模是非负实数.

零向量：长度为\(0\)的向量叫做零向量，记作\(\vec{0}\)，其方向是任意的。

单位向量：长度等于\(1\)个单位长度的向量叫做单位向量。

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任意向量平行。平行向量也叫共线向量。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

平面向量的运算

向量的加法运算：

三角形法则：已知非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，在平面内任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作\(\vec{a}+\vec{b}\)，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

平行四边形法则：已知两个不共线向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\vec{b}\)，以\(AB\)，\(AD\)为邻边作平行四边形\(ABCD\)，则对角线上的向量\(\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}\)。

向量加法满足交换律\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)和结合律\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\) 。

向量的减法运算：向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的差，记作\(\vec{a}-\vec{b}\)，定义为\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。求两个向量差的运算叫做向量的减法，可通过三角形法则来实现，如\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\).

向量的数乘运算：

实数\(\lambda\)与向量\(\vec{a}\)的积是一个向量，记作\(\lambda\vec{a}\)，它的长度与方向规定如下：

\(\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\)；

当\(\lambda>0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)的方向相同；当\(\lambda<0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)的方向相反；当\(\lambda = 0\)时，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\).

向量数乘满足结合律\(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\)和分配律\((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\)，\(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\) 。

向量的数量积:

已知两个非零向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)，它们的夹角为\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)），则把数量\(\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的数量积（或内积），记作\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)，即\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)。规定\(\vec{0}\cdot\vec{a}=0\)。

向量数量积的几何意义：\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)等于\(\vec{a}\)的长度\(\vert\vec{a}\vert\)与\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)方向上的投影\(\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)的乘积。

向量数量积的性质：

\(\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)；

\(\vec{a}\cdot\vec{a}=\vert\vec{a}\vert^{2}\)，即\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\)；

\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}\)（\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)为非零向量）。

向量数量积满足交换律\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)，分配律\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\) 。

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理：如果\(\vec{e}_{1}\)，\(\vec{e}_{2}\)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量\(\vec{a}\)，有且只有一对实数\(\lambda_{1}\)，\(\lambda_{2}\)，使\(\vec{a}=\lambda_{1}\vec{e}_{1}+\lambda_{2}\vec{e}_{2}\).

平面向量的正交分解及坐标表示：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系中，分别取与\(x\)轴、\(y\)轴方向相同的两个单位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)作为基底，对于平面内的一个向量\(\vec{a}\)，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，则有序数对\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐标，记作\(\vec{a}=(x,y)\).

平面向量加、减运算的坐标表示：设\(\vec{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\vec{b}=(x_{2},y_{2})\)，则\(\vec{a}+\vec{b}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\)，\(\vec{a}-\vec{b}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})\).

平面向量数乘运算的坐标表示：设\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\lambda\in R\)，则\(\lambda\vec{a}=(\lambda x,\lambda y)\).

平面向量数量积的坐标表示：设\(\vec{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\vec{b}=(x_{2},y_{2})\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\) ，由此可得到向量的模的坐标表示\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，两点间的距离公式\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\)，向量垂直的坐标表示\(\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\).

平面向量的应用

平面几何中的向量方法：向量在平面几何中有着广泛的应用，如证明线段平行、垂直，求解角度、长度等问题。通过将几何问题转化为向量问题，利用向量的运算和性质进行求解.

向量在物理中的应用举例：向量在物理中的力、速度、位移等矢量的合成与分解等问题中有着重要应用。例如，力的合成可以用向量的加法来表示，速度的分解可以用向量的正交分解来实现.

余弦定理：对于任意三角形\(ABC\)，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，则有\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\)，\(b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos B\)，\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\).

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\).

正余弦定理的应用：可用于解三角形，如已知三角形的两边及其夹角求第三边，已知三边求角，已知两角及一边求其他边和角等；还可用于判断三角形的形状、求三角形的面积等.