函数 03 幂函数： $y = x^a$

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、幂函数的定义

一般地，函数$y = x^{\alpha}$（$\alpha$是常数）叫做幂函数，其中$x$是自变量。

例如$y = x^{2}$，$y=x^{\frac{1}{2}}$（即$\sqrt{x}$），$y = x^{-1}$（即$\frac{1}{x}$）等都是幂函数。

幂函数的基本特征：（1）$x^{\alpha}$的系数为1（2）$x^{\alpha}$的底数是自变量$x$（3）$x^{\alpha}$的指数$\alpha$是常数（实数）

正整数指数幂函数（$\alpha=n$，$n\in N^+$）：

例如$y = x$（$n = 1$），$y = x^{2}$，$y = x^{3}$等。它们的定义域一般是$R$。

图象特点：当$n = 1$时，图象是一条过原点$(0,0)$和点$(1,1)$的直线；当$n = 2$时，图象是开口向上的抛物线，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；当$n = 3$时，图象是过原点的曲线，关于原点对称。

单调性：在$R$上单调递增。

负整数指数幂函数（$\alpha = -n$，$n\in N^+$）：

例如$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$，$y = x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$等。定义域是$\{x|x\neq0\}$。

图象特点：$y = x^{-1}$的图象是双曲线，分别位于第一、三象限，渐近线为$x$轴和$y$轴；$y = x^{-2}$的图象是位于第一、二象限的双曲线，关于$y$轴对称，渐近线是$x$轴和$y$轴。

单调性：在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减。

分子为$1$的分数指数幂函数（$\alpha=\frac{1}{q}$，$q\in N^+$，$q > 1$）：

例如$y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，$y = x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$等。

当$q$为偶数时，如$y = x^{\frac{1}{2}}$，定义域是$[0,+\infty)$，图象是位于第一象限的曲线，从原点开始逐渐上升；当$q$为奇数时，如$y = x^{\frac{1}{3}}$，定义域是$R$，图象是过原点的曲线。

一般分数指数幂函数（$\alpha=\frac{p}{q}$，$p,q\in N^+$，$q > 1$）：

例如$y = x^{\frac{2}{3}}$，$y = x^{\frac{3}{2}}$等。同样，当$q$为偶数时，定义域要保证根号下非负；当$q$为奇数时，定义域为$R$。图象和性质综合了整数指数幂函数和分子为$1$的分数指数幂函数的特点。

无理数指数幂函数

1. 定义方式

对于无理数指数幂函数$y = x^{\alpha}$（$\alpha$是无理数），它的定义是基于有理数指数幂来逼近的。我们知道对于有理数指数幂$x^{\frac{p}{q}}$（$p,q$为整数，$q\neq0$）有明确的定义，例如$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$（$x\geqslant0$），$x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^{3}}$（$x\geqslant0$）等。

当$\alpha$是无理数时，设$\alpha$的近似值为$\alpha_{n}$，$\alpha_{n}$是有理数，并且$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=\alpha$。那么$x^{\alpha}$就定义为$\lim_{n\rightarrow\infty}x^{\alpha_{n}}$。例如，对于$2^{\sqrt{2}}$，可以通过取$\sqrt{2}$的一系列越来越精确的有理数近似值（如$1.4,1.41,1.414,\cdots$）来计算$2^{1.4},2^{1.41},2^{1.414},\cdots$，当这个过程无限进行下去时，这些值趋近于一个确定的数，这个数就是$2^{\sqrt{2}}$的定义。

2. 定义域和值域

定义域：无理数指数幂函数$y = x^{\alpha}$（$\alpha$是无理数）的定义域是$(0,+\infty)$。因为当$x = 0$时，对于一些无理数指数幂可能没有意义（例如$0^{\sqrt{2}}$这种形式）；当$x<0$时，无理数指数幂会出现复杂的多值情况（例如$(-1)^{\sqrt{2}}$在实数范围内无法像有理数指数幂那样简单定义）。

值域：由于底数$x>0$，指数$\alpha$是无理数，其值域是$(0,+\infty)$。

3. 单调性

无理数指数幂函数$y = x^{\alpha}$（$\alpha$是无理数）的单调性与有理数指数幂函数类似。当$\alpha>0$时，函数在$(0,+\infty)$上单调递增；当$\alpha<0$时，函数在$(0,+\infty)$上单调递减。例如，$y = x^{\sqrt{3}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，因为对于任意的$0 < x_{1}<x_{2}$，$x_{1}^{\sqrt{3}}<x_{2}^{\sqrt{3}}$。

4. 图象特征

无理数指数幂函数的图象与有理数指数幂函数的图象有相似之处。当$\alpha>0$时，图象从左向右呈上升趋势，且过点$(1,1)$；当$\alpha<0$时，图象从左向右呈下降趋势，也过点$(1,1)$。但由于无理数指数幂函数的定义较为抽象，其图象的精确绘制相对复杂，通常可以通过计算机软件或者利用其与有理数指数幂函数的近似关系来大致描绘。例如，$y = x^{\sqrt{2}}$的图象与$y = x^{1.414}$（$\sqrt{2}\approx1.414$）的图象在一定范围内非常相似，在$(0,+\infty)$上都是单调递增且过点$(1,1)$的曲线。

二、幂函数的定义域

1. 当$\alpha$为正整数时

对于幂函数$y = x^{\alpha}$（$\alpha\in N^+$），其定义域为$R$。因为对于任意实数$x$，$x$的正整数次幂都有意义。例如，$y = x^2$，$y = x^3$等，$x$可以取任意实数。

2. 当$\alpha$为负整数时

对于幂函数$y = x^{\alpha}$（$\alpha\in Z^-$），其定义域为$\{x|x\neq0\}$。因为$x^{-\alpha}=\frac{1}{x^{\alpha}}$（$\alpha>0$），当$x = 0$时，$\frac{1}{x^{\alpha}}$无意义。例如，$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$，$x$不能为$0$。

3. 当$\alpha$为分数时

情况一：$\alpha=\frac{p}{q}$（$p,q$为互质的正整数，且$q > 1$），$q$为偶数

此时幂函数$y = x^{\alpha}=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^{p}}$的定义域为$[0,+\infty)$。因为对于偶次根式，根号下的数必须非负。例如，$y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，$x$的取值范围是$[0,+\infty)$。

情况二：$\alpha=\frac{p}{q}$（$p,q$为互质的正整数，且$q > 1$），$q$为奇数

幂函数$y = x^{\alpha}=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^{p}}$的定义域为$R$。因为奇次根式对$x$的取值没有限制。例如，$y = x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$，$x$可以取任意实数。

判断一个幂函数的基本特征

1. 观察函数表达式形式

首先确定函数是否为幂函数的标准形式$y = x^{\alpha}$，其中$\alpha$是常数。

例如，$y = 3x^{2}$是幂函数$y = x^{2}$的变形（系数不为$1$），本质上还是幂函数类型；

例如，$y = 2^{x}$不是幂函数，它是指数函数。

2. 判断定义域

当$\alpha$为正整数时：定义域一般为$R$（全体实数）。

例如，$y = x^{3}$，对于任何实数$x$，$x^{3}$都有定义。

当$\alpha$为负整数时：定义域是$\{x|x\neq0\}$。

例如，如$y = x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$，$x = 0$会使函数无意义。

当$\alpha$为分数（分母为偶数）：定义域为$\{x|x\geq0\}$。

例如，$y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，因为负数不能开偶次方根，所以$x$必须非负。

当$\alpha$为分数（分母为奇数）：定义域为$R$。

例如，$y = x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$，任何实数都能开立方。

3. 分析值域

当$\alpha$为正整数或正分数（分母为奇数）且定义域为$R$时：

若$\alpha$为偶数，值域为$[0,+\infty)$（当$x = 0$时$y = 0$，且函数图象开口向上），如$y = x^{2}$；若$\alpha$为奇数，值域为$R$，例如$y = x^{3}$，当$x\to-\infty$时，$y\to-\infty$，当$x\to+\infty$时，$y\to+\infty$。

当$\alpha$为正分数（分母为偶数）时：值域为$[0,+\infty)$，因为根号下的数非负，如$y = x^{\frac{1}{2}}$。

当$\alpha$为负整数或负分数时：

值域为$\{y|y>0\}$（当$x\neq0$），例如$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$，$x\neq0$时，$y\neq0$，且$x$与$y$同号，所以$y>0$。

4. 研究单调性

当$\alpha>0$时：

若$\alpha>1$（包括正整数情况），函数在$(0,+\infty)$上单调递增，且$\alpha$越大，增长速度越快。例如$y = x^{3}$比$y = x^{2}$在$(0,+\infty)$上增长得更快。

若$0<\alpha<1$，函数在$(0,+\infty)$上单调递增，但增长速度相对较慢，如$y = x^{\frac{1}{2}}$。

当$\alpha<0$时：函数在$(0,+\infty)$上单调递减，如$y = x^{-1}$，在$(0,+\infty)$上，随着$x$增大，$y$减小。

对于幂函数在$(-\infty,0)$上的单调性，当$\alpha$为偶数时，函数在$(-\infty,0)$上单调递减；当$\alpha$为奇数时，函数在$(-\infty,+\infty)$上单调递增。

5. 判断奇偶性

当$\alpha$为偶数且定义域关于原点对称时：函数是偶函数。例如$y = x^{2}$，$f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$。

当$\alpha$为奇数时：函数是奇函数。如$y = x^{3}$，$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$。

若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶，比如$y = x^{\frac{1}{2}}$，定义域为$[0,+\infty)$，不满足奇偶性的定义。

6. 想象图象特征

当$\alpha>1$时：图象在第一象限是上升的，且上升速度越来越快，过点$(1,1)$和$(0,0)$（当定义域包含$0$时）。

当$0<\alpha<1$时：图象在第一象限也是上升的，但上升速度较慢，形状较为“平缓”，同样过点$(1,1)$和$(0,0)$（当定义域包含$0$时）。

当$\alpha<0$时：图象在第一象限和第三象限（当定义域包含负数时），在$x$轴和$y$轴方向都趋近于坐标轴，像双曲线一样，过点$(1,1)$。

$y = x^a$：$a < 0$，$a=-\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}$，$y = x^{-\frac{3}{5}}$，$y = x^{-\frac{3}{1}}$

一、定义域

对于幂函数$y = x^a$，当$a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}$时，其定义域为$\{x|x \neq 0\}$。

此类幂函数涉及到分数幂形式，$x^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}$（$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$），若$x = 0$，则函数无定义。

例如，$x^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}$，$x^{-\frac{3}{1}}=\frac{1}{x^3}$，在$x = 0$时分母为$0$，所以$x$不能取$0$这个值。

二、值域

值域为$\{y|y \neq 0\}$，也就是除$0$以外的全体实数。

三、单调性

这类幂函数在$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$这两个区间上分别具有单调性。

对$y = x^{-\frac{p}{q}}$（$a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}$）求导，可得$y^\prime = -\frac{p}{q}x^{-\frac{p}{q}-1}$。

当$x > 0$时，$y^\prime < 0$，说明函数在$(0, +\infty)$上单调递减；当$x < 0$时，同样$y^\prime < 0$，函数在$(-\infty, 0)$上也单调递减。

四、奇偶性

这类幂函数都是偶函数。

设$f(x) = x^{-\frac{p}{q}}$（$a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}$），则$f(-x) = (-x)^{-\frac{p}{q}} = (-1)^{-\frac{p}{q}}x^{-\frac{p}{q}}$。

因为$-\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{奇数}$，$(-1)^{-\frac{p}{q}} = (-1)^{-奇数/奇数} = 1$（根据负数的负奇数次幂的倒数性质），所以$f(-x) = x^{-\frac{p}{q}} = f(x)$，满足偶函数的定义，即函数图像关于$y$轴对称。

五、图像特征

1. 渐近线：

这类幂函数的图像都有渐近线，$x = 0$（$y$轴）和$y = 0$（$x$轴）是它们的渐近线。

因为当$x$趋近于$0$时，函数值$y$会趋近于正无穷或负无穷（取决于$x$趋近于$0$的方向）；而当$x$趋近于正无穷或负无穷时，$y$趋近于$0$，所以图像会无限靠近但不与坐标轴相交，形成渐近的效果。

2. 整体形状与对称性：

由于是偶函数，图像关于$y$轴对称。在$y$轴两侧，函数在各自区间$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$上单调递减且形状相似，呈现出一种在坐标轴附近“弯曲”并向两边延伸，同时趋近于渐近线的形态。不同的指数会使图像的“弯曲”程度等细节有所差异，例如$y = x^{-\frac{3}{5}}$与$y = x^{-\frac{3}{1}}$相比，在靠近原点附近的“弯曲”情况会不一样，$y = x^{-\frac{3}{1}}$相对更“陡峭”一些，也就是趋近于坐标轴的速度更快一点（从图像与坐标轴的靠近程度角度来看）。

$y = x^a$：$a < 0$，$a=-\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}$，$y = x^{-\frac{2}{3}}$，$y = x^{-\frac{2}{1}}$

一、定义域

对于幂函数$y = x^a$，当$a = -\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}$时，其定义域为$\{x|x \neq 0\}$。这是因为此类幂函数涉及到分数幂形式，若$x = 0$，像$x^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}$（$\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$）会出现分母为$0$的情况，导致函数无定义。

例如，$x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$，$x^{-\frac{2}{1}}=\frac{1}{x^2}$，在$x = 0$时都无法进行相应运算，所以$x$不能取$0$值。

二、值域

值域是$\{y|y > 0\}$，也就是函数值恒大于$0$。因为对于任意非零的$x$，先进行$x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$）运算，得到的结果再取倒数，由于偶数次幂保证了$x^{\frac{p}{q}}$的值非负（$x \neq 0$），取倒数后就得到正值。

三、单调性

这类幂函数在$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$这两个区间上分别具有单调性。

对$y = x^{-\frac{p}{q}}$（$a = -\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}$）求导，可得$y^\prime = -\frac{p}{q}x^{-\frac{p}{q}-1}$。

当$x > 0$时，$y^\prime < 0$，表明函数在$(0, +\infty)$上单调递减；当$x < 0$时，$y^\prime < 0$，意味着函数在$(-\infty, 0)$上同样单调递减。

四、奇偶性

这类幂函数都是偶函数。

设$f(x) = x^{-\frac{p}{q}}$（$a = -\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}$），则$f(-x) = (-x)^{-\frac{p}{q}} = (-1)^{-\frac{p}{q}}x^{-\frac{p}{q}}$。

因为$-\frac{p}{q}=-\frac{偶数}{奇数}$，$(-1)^{-\frac{p}{q}} = (-1)^{-偶数/奇数} = 1$（根据负数的负偶数次幂的倒数性质），所以$f(-x) = x^{-\frac{p}{q}} = f(x)$，满足偶函数的定义，即函数图像关于$y$轴对称。

五、图像特征

1. 渐近线：

$x = 0$（$y$轴）是这类幂函数的渐近线。因为当$x$趋近于$0$时，函数值$y$会趋近于正无穷，所以图像会无限靠近$y$轴但不与之相交。

此外，$y = 0$（$x$轴）也是渐近线的一种体现，当$x$趋近于正无穷或负无穷时，$y$趋近于$0$，图像会从两侧逐渐向$x$轴靠近，但永远不会与之重合。

2. 整体形状与对称性：

由于是偶函数，图像关于$y$轴对称。在$y$轴两侧，函数在各自区间$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$上单调递减且形状相似，呈现出一种在坐标轴附近“弯曲”并向两边延伸，同时趋近于渐近线的形态。不同的指数会使图像的“弯曲”程度等细节有所差异，例如$y = x^{-\frac{2}{3}}$与$y = x^{-\frac{2}{1}}$相比，在靠近原点附近的“弯曲”情况不一样，$y = x^{-\frac{2}{1}}$相对更“平缓”一些（从函数值随$x$变化的速率角度来看），而$y = x^{-\frac{2}{3}}$的图像在靠近原点处下降得相对更快一点。

$y = x^a$：$a < 0$，$a=-\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{偶数}$，$y = x^{-\frac{3}{2}}$，$y = x^{-\frac{1}{2}}$

一、定义域

对于幂函数$y = x^a$，当$a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{偶数}$时，其定义域为$\{x|x > 0\}$。这是因为此类幂函数涉及到分数幂形式，具体为$x^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}$（$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$），其中$x^{\frac{p}{q}}$相当于先对$x$进行开偶数次方运算，而在实数范围内，开偶数次方时被开方数必须非负，又因为分母不能为$0$，所以$x$只能取大于$0$的实数。

例如，$x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$，$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，只有$x > 0$时这些运算才有意义。

二、值域

值域是$\{y|y > 0\}$，即函数值恒大于$0$。因为对于定义域内的任意正数$x$，先进行$x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$）运算，得到的结果再取倒数，由于开偶数次方保证了$x^{\frac{p}{q}}$的值大于$0$（$x > 0$），取倒数后依然大于$0$。

三、单调性

这类幂函数在其定义域$(0, +\infty)$上是单调递减的。

对$y = x^{-\frac{p}{q}}$（$a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{偶数}$）求导，可得$y^\prime = -\frac{p}{q}x^{-\frac{p}{q}-1}$。

当$x$在$(0, +\infty)$内时，$y^\prime < 0$，这表明函数在该区间上单调递减。

四、奇偶性

这类幂函数的定义域不关于原点对称（定义域为$x > 0$），所以既不是奇函数也不是偶函数。

因为奇函数或偶函数的定义要求定义域关于原点对称，而对于$y = x^{-\frac{p}{q}}$（$a = -\frac{p}{q}=-\frac{奇数}{偶数}$），其定义域只包含正数部分，不满足这个对称条件，也就不存在奇偶性一说。

五、图像特征

1. 渐近线：

$x = 0$（$y$轴）和$y = 0$（$x$轴）是这类幂函数的渐近线。

当$x$趋近于$0$（从右侧趋近，因为定义域是$x > 0$）时，函数值$y$会趋近于正无穷，所以图像会无限靠近$y$轴但不与之相交；而当$x$趋近于正无穷时，$y$趋近于$0$，图像会从上方逐渐向$x$轴靠近，但永远不会与之重合。

2. 整体形状与对称性：

由于定义域的限制以及函数的单调性，图像位于第一象限，从左向右逐渐下降且趋近于坐标轴，呈现出一种“弯曲”向下并向坐标轴靠近的形态。不同的指数会使图像的“弯曲”程度等细节有所差异，例如$y = x^{-\frac{3}{2}}$与$y = x^{-\frac{1}{2}}$相比，在靠近原点附近，$y = x^{-\frac{3}{2}}$下降得相对更快一些，也就是图像更“陡峭”一点（从函数值随$x$变化的速率角度来看），而$y = x^{-\frac{1}{2}}$的图像相对更“平缓”些。

$y = x^a$：$0 < a < 1$，$a=\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$，$y = x^{\frac{1}{3}}$，$y = x^{\frac{3}{5}}$

一、定义域

对于此类幂函数，其定义域为$R$（全体实数集）。

因为当$a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$时，不管$x$取正值、负值还是$0$，进行相应的幂运算都是有意义的。例如在$y = x^{\frac{1}{3}}$中，就是对$x$进行开三次方运算，对于任意实数$x$都能得到确定的结果；同样，对于$y = x^{\frac{3}{5}}$，是先对$x$进行开五次方运算，再进行三次幂运算，无论$x$为何值，都可以顺利完成这些操作，不存在使函数无定义的取值情况。

二、值域

其值域同样是$R$（全体实数集）。

由于定义域涵盖了所有实数，当$x$取遍整个实数范围时，通过幂运算得到的函数值也能覆盖所有实数。以$y = x^{\frac{1}{3}}$为例，当$x$取绝对值很大的负数时，$x^{\frac{1}{3}}$会是绝对值很大的负数；当$x$取绝对值很大的正数时，$x^{\frac{1}{3}}$则是绝对值很大的正数，中间也能取到$0$以及其他任意实数。对于$y = x^{\frac{3}{5}}$也是如此，通过对不同实数$x$进行相应运算，函数值可以是正实数、负实数或者$0$，能取遍整个实数范围。

三、单调性

1. 整体单调递增性：

这类幂函数在整个定义域$R$上是单调递增的。

从导数的角度来分析，对于幂函数$y = x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$），其导数$y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}$。因为$0 < \frac{p}{q} < 1$（满足$0 < a < 1$的条件），且对于任意$x \neq 0$，$x^{\frac{p}{q}-1}$有确定的值，同时在$x = 0$处函数是连续的，所以$y^\prime > 0$（$x \neq 0$时），这就表明函数在整个定义域$R$上单调递增。

例如，对于$y = x^{\frac{1}{3}}$，其导数$y^\prime = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$，除$x = 0$时$y^\prime$分母为$0$（但函数在$x = 0$处依然连续）外，在其他情况下$y^\prime > 0$，随着$x$从负无穷增大到正无穷，函数值持续增大；对于$y = x^{\frac{3}{5}}$，导数$y^\prime=\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}=\frac{3}{5 \sqrt[5]{x^{2}}}$，同样$x \neq 0$时$y^\prime > 0$，在整个定义域上呈现单调递增的态势。

2. 不同函数间的变化速率差异：

虽然它们都单调递增，但由于指数$\frac{p}{q}$不同，函数值随$x$变化的速率有所不同。

比较$y = x^{\frac{1}{3}}$和$y = x^{\frac{3}{5}}$，当$x$的值逐渐增大（或减小）时，$y = x^{\frac{3}{5}}$的函数值变化相对更快一些，也就是其图像会比$y = x^{\frac{1}{3}}$的图像“更陡峭”一点。

例如，当$x$从$1$增大到$8$时，$y = x^{\frac{1}{3}}$从$1^{\frac{1}{3}} = 1$增大到$8^{\frac{1}{3}} = 2$；而$y = x^{\frac{3}{5}}$从$1^{\frac{3}{5}} = 1$增大到$8^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{8^{3}}=\sqrt[5]{512}\approx 3.48$，能明显看出在相同的$x$变化区间内，$y = x^{\frac{3}{5}}$的函数值增长幅度更大，体现出变化速率的差异。

四、奇偶性

这类幂函数都是奇函数。

对于函数$y = x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$），设$f(x) = x^{\frac{p}{q}}$，则$f(-x) = (-x)^{\frac{p}{q}} = (-1)^{\frac{p}{q}}x^{\frac{p}{q}}$。因为$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$，根据负数的奇数次幂性质，$(-1)^{\frac{p}{q}} = -1$，所以$f(-x) = -x^{\frac{p}{q}} = -f(x)$，满足奇函数的定义，即函数图像关于原点对称。

五、图像特征

由于是奇函数，图像关于原点对称。在$x > 0$的区域，函数值随着$x$的增大而增大；在$x < 0$的区域，函数值随着$x$的增大而增大（从负方向趋近于$0$或向负无穷变化）。而且不同的指数使得它们的图像在“陡峭”程度等方面有区别，$y = x^{\frac{3}{5}}$的图像相对$y = x^{\frac{1}{3}}$在远离原点处会显得更“挺拔”，也就是变化更剧烈一些，这与前面提到的函数值变化速率的差异相对应。

$y = x^a$：$0 < a < 1$，$a=\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$，$y = x^{\frac{2}{5}}$，$y = x^{\frac{2}{3}}$

一、定义域

对于此类幂函数，其定义域为$R$（全体实数集）。

因为当$a = \frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$时，对于任意实数$x$，先进行开$q$次方（$q$为奇数）运算，再进行$p$次幂（$p$为偶数）运算都是有意义的。例如在$y = x^{\frac{2}{5}}$中，是先对$x$进行开五次方运算，无论$x$是正数、负数还是$0$，都能得到一个实数结果，然后再进行平方运算，同样可以顺利完成，不会出现无定义的情况；对于$y = x^{\frac{2}{3}}$也是如此，先开三次方，再平方，$x$取任意实数都能得到相应的函数值。

二、值域

其值域为$\left[0, +\infty\right)$。

由于指数$a$中分子$p$为偶数，这意味着对于任意实数$x$进行幂运算后，结果是非负的。以$y = x^{\frac{2}{5}}$为例，不管$x$取何值，先开五次方得到的结果再平方必然是非负的；同样对于$y = x^{\frac{2}{3}}$，开三次方后再平方，最终的函数值也总是大于等于$0$，并且随着$x$绝对值的增大，函数值可以取到任意大的非负实数，所以值域是$\left[0, +\infty\right)$。

三、单调性

1. 整体单调递增性：

这类幂函数在整个定义域$R$上是单调递增的。

对幂函数$y = x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$）求导，可得$y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}$。因为$0 < \frac{p}{q} < 1$（满足给定条件），且对于任意$x \neq 0$，$x^{\frac{p}{q}-1}$有确定的值，同时在$x = 0$处函数是连续的，所以$y^\prime > 0$（$x \neq 0$时），这表明函数在整个定义域$R$上单调递增。

例如，对于$y = x^{\frac{2}{5}}$，其导数$y^\prime = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}}=\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}$，除$x = 0$时$y^\prime$分母为$0$（但函数在$x = 0$处连续）外，在其他情况下$y^\prime > 0$，随着$x$从负无穷增大到正无穷，函数值持续增大；对于$y = x^{\frac{2}{3}}$，导数$y^\prime=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$，同样$x \neq 0$时$y^\prime > 0$，在整个定义域上呈现单调递增的态势。

2. 不同函数间的变化速率差异：

虽然它们都单调递增，但由于指数$\frac{p}{q}$不同，函数值随$x$变化的速率有所不同。

比较$y = x^{\frac{2}{5}}$和$y = x^{\frac{2}{3}}$，当$x$的值逐渐增大（或减小）时，$y = x^{\frac{2}{3}}$的函数值变化相对更快一些，也就是其图像会比$y = x^{\frac{2}{5}}$的图像“更陡峭”一点。

例如，当$x$从$1$增大到$8$时，$y = x^{\frac{2}{5}}$从$1^{\frac{2}{5}} = 1$增大到$8^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{8^{2}}=\sqrt[5]{64}=2$；而$y = x^{\frac{2}{3}}$从$1^{\frac{2}{3}} = 1$增大到$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}}=4$，能明显看出在相同的$x$变化区间内，$y = x^{\frac{2}{3}}$的函数值增长幅度更大，体现出变化速率的差异。

四、奇偶性

这类幂函数都是偶函数。

设$f(x) = x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$），则$f(-x) = (-x)^{\frac{p}{q}} = (-1)^{\frac{p}{q}}x^{\frac{p}{q}}$。

因为$\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$，根据负数的偶数次幂性质，$(-1)^{\frac{p}{q}} = 1$，所以$f(-x) = x^{\frac{p}{q}} = f(x)$，满足偶函数的定义，即函数图像关于$y$轴对称。

五、图像特征

由于是偶函数，图像关于$y$轴对称。在$y$轴两侧，函数值随着$x$绝对值的增大而增大，并且函数在$x > 0$和$x < 0$时具有相同的变化趋势（因为单调性相同）。同时，不同的指数使得它们的图像在“陡峭”程度等方面有区别，$y = x^{\frac{2}{3}}$的图像相对$y = x^{\frac{2}{5}}$在远离原点处会显得更“挺拔”，也就是变化更剧烈一些，这与前面提到的函数值变化速率的差异相对应。

$y = x^a$：$0 < a < 1$，$a=\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$，$y = x^{\frac{1}{2}}$，$y = x^{\frac{3}{4}}$

一、定义域

对于幂函数$y = x^a$，当$a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$时，其定义域为$\{x|x \geq 0\}$。这是因为此类幂函数涉及到分数幂形式，具体为$x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p}$（$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$），其中要先对$x$进行开$q$次方（$q$为偶数）运算，在实数范围内，开偶数次方时被开方数必须非负，所以$x$只能取大于等于$0$的实数。

例如，$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，$x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^3}$，只有$x \geq 0$时这些运算才有意义。

二、值域

值域是$\{y|y \geq 0\}$，即函数值恒大于等于$0$。因为对于定义域内的任意非负实数$x$，进行$x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$）运算后，结果必然是非负的。

例如，对于$x^{\frac{1}{2}}$，开平方根得到的是非负实数；对于$x^{\frac{3}{4}}$，先立方再开四次方，最终得到的也是非负实数，并且随着$x$在非负范围内取值变化，函数值可以取到$0$以及任意大的非负实数。

三、单调性

1. 区间单调性：

这类幂函数在其定义域$[0, +\infty)$上是单调递增的。

对$y = x^{\frac{p}{q}}$（$a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$）求导，可得$y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}$。

当$x$在$[0, +\infty)$内时，$y^\prime > 0$，这表明函数在该区间上单调递增。

例如，对于$y = x^{\frac{1}{2}}$，其导数$y^\prime = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，在$(0, +\infty)$上，$y^\prime$恒大于$0$，所以函数在这个区间上单调递增，且$x = 0$时函数值最小为$0$，随着$x$的增大，$y$的值也相应增大；对于$y = x^{\frac{3}{4}}$，导数$y^\prime=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}$，在$[0, +\infty)$上$y^\prime > 0$，函数在该区间同样单调递增，比如$x$从$0$增大到$1$时，$y$的值也从$0$开始逐渐增大。

四、奇偶性

这类幂函数的定义域不关于原点对称（定义域为$x \geq 0$），所以既不是奇函数也不是偶函数。

因为奇函数或偶函数的定义要求定义域关于原点对称，而对于$y = x^{\frac{p}{q}}$（$a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$），其定义域只包含非负实数部分，不满足这个对称条件，也就不存在奇偶性一说。

五、图像特征

1. 经过原点及渐近线情况：

图像都经过原点$(0,0)$，因为当$x = 0$时，$y = 0^{\frac{p}{q}} = 0$。

$x = 0$（$y$轴）是其左侧的边界，函数图像只存在于$y$轴右侧（包括原点）。并且，当$x$趋近于正无穷时，函数值$y$也趋近于正无穷，但增长的速率相对较慢（因为$0 < a < 1$），图像会逐渐向上延伸，整体呈现出一种从原点开始向右上方平缓上升的形态。

2. 整体形状与对称性：

由于定义域的限制以及函数的单调性，图像位于第一象限（包含原点），从左向右逐渐上升。不同的指数会使图像的“陡峭”程度等细节有所差异，例如$y = x^{\frac{3}{4}}$与$y = x^{\frac{1}{2}}$相比，在靠近原点附近以及随着$x$增大的过程中，$y = x^{\frac{3}{4}}$上升得相对更快一些，也就是图像更“陡峭”一点（从函数值随$x$变化的速率角度来看），而$y = x^{\frac{1}{2}}$的图像相对更“平缓”些。

$y = x^a$：$a > 1$，$a=\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$，$y = x^{\frac{3}{1}}$，$y = x^{\frac{5}{3}}$

一、定义域

对于此类幂函数，其定义域为$R$（全体实数集）。

因为当$a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$时，不管$x$取正值、负值还是$0$，进行相应的幂运算都是有意义的。例如在$y = x^{\frac{3}{1}}$（即$y = x^3$）中，对任意实数$x$进行三次幂运算能得到确定的结果；对于$y = x^{\frac{5}{3}}$，先对$x$进行开三次方运算（开奇数次方对任意实数都可行），再进行五次幂运算，无论$x$为何值，都可顺利完成这些操作，不存在使函数无定义的取值情况。

二、值域

其值域同样为$R$（全体实数集）。

由于定义域涵盖了所有实数，当$x$取遍整个实数范围时，通过幂运算得到的函数值也能覆盖所有实数。以$y = x^{\frac{3}{1}}$（即$y = x^3$）为例，当$x$取绝对值很大的负数时，$x^3$会是绝对值很大的负数；当$x$取绝对值很大的正数时，$x^3$则是绝对值很大的正数，中间也能取到$0$以及其他任意实数。对于$y = x^{\frac{5}{3}}$也是如此，通过对不同实数$x$进行相应运算，函数值可以是正实数、负实数或者$0$，能取遍整个实数范围。

三、单调性

1. 整体单调递增性：

这类幂函数在整个定义域$R$上是单调递增的。

从导数的角度来分析，对于幂函数$y = x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{奇数}{奇数}$），其导数$y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}$。因为$a > 1$，也就是$\frac{p}{q} > 1$（满足给定条件），且对于任意$x \neq 0$，$x^{\frac{p}{q}-1}$有确定的值，同时在$x = 0$处函数是连续的，所以$y^\prime > 0$（$x \neq 0$时），这就表明函数在整个定义域$R$上单调递增。

例如，对于$y = x^{\frac{3}{1}}$（即$y = x^3$），其导数$y^\prime = 3x^2$，除$x = 0$时$y^\prime = 0$外，在其他情况下$y^\prime > 0$，随着$x$从负无穷增大到正无穷，函数值持续增大；对于$y = x^{\frac{5}{3}}$，导数$y^\prime=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$，同样$x \neq 0$时$y^\prime > 0$，在整个定义域上呈现单调递增的态势。

2. 不同函数间的变化速率差异：

虽然它们都单调递增，但由于指数$\frac{p}{q}$不同，函数值随$x$变化的速率有所不同。

比较$y = x^{\frac{3}{1}}$（即$y = x^3$）和$y = x^{\frac{5}{3}}$，当$x$的值逐渐增大（或减小）时，$y = x^{\frac{5}{3}}$的函数值变化相对更快一些，也就是其图像会比$y = x^3$的图像“更陡峭”一点。

例如，当$x$从$1$增大到$2$时，$y = x^3$从$1^3 = 1$增大到$2^3 = 8$；而$y = x^{\frac{5}{3}}$从$1^{\frac{5}{3}} = 1$增大到$2^{\frac{5}{3}}=\sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{32}\approx 3.17$，能明显看出在相同的$x$变化区间内，$y = x^{\frac{5}{3}}$的函数值增长幅度更大，体现出变化速率的差异。

四、奇偶性

这类幂函数都是奇函数。

五、图像特征

由于是奇函数，图像关于原点对称。在$x > 0$的区域，函数值随着$x$的增大而增大；在$x < 0$的区域，函数值随着$x$的增大而增大（从负方向趋近于$0$或向负无穷变化）。而且不同的指数使得它们的图像在“陡峭”程度等方面有区别，$y = x^{\frac{5}{3}}$的图像相对$y = x^3$在远离原点处会显得更“挺拔”，也就是变化更剧烈一些，这与前面提到的函数值变化速率的差异相对应。

$y = x^a$：$a > 1$，$a=\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$，$y = x^{\frac{4}{3}}$，$y = x^{\frac{2}{1}}$

一、定义域

对于此类幂函数，其定义域为$R$（全体实数集）。

因为当$a = \frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$时，不管$x$取正值、负值还是$0$，进行相应的幂运算都是有意义的。例如在$y = x^{\frac{4}{3}}$中，先对$x$进行开三次方运算（开奇数次方对任意实数都可行），然后再进行四次幂运算，无论$x$为何值，都能得到确定的结果；同样，对于$y = x^{\frac{2}{1}}$（即$y = x^2$），对任意实数$x$进行平方运算也都能得到相应的函数值，不存在使函数无定义的取值情况。

二、值域

其值域为$\left[0, +\infty\right)$。

由于指数$a$中分子$p$为偶数，这意味着对于任意实数$x$进行幂运算后，结果是非负的。以$y = x^{\frac{4}{3}}$为例，先开三次方得到一个实数，再进行四次幂运算，最终结果必然大于等于$0$；对于$y = x^{\frac{2}{1}}$（即$y = x^2$），任何实数的平方都大于等于$0$，并且随着$x$绝对值的增大，函数值可以取到任意大的非负实数，所以值域是$\left[0, +\infty\right)$。

三、单调性

1. 整体单调递增性：

这类幂函数在整个定义域$R$上是单调递增的。

对幂函数$y = x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$）求导，可得$y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}$。因为$a > 1$，即$\frac{p}{q} > 1$（满足给定条件），且对于任意$x \neq 0$，$x^{\frac{p}{q}-1}$有确定的值，同时在$x = 0$处函数是连续的，所以$y^\prime > 0$（$x \neq 0$时），这表明函数在整个定义域$R$上单调递增。

例如，对于$y = x^{\frac{4}{3}}$，其导数$y^\prime = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$，除$x = 0$时$y^\prime = 0$外，在其他情况下$y^\prime > 0$，随着$x$从负无穷增大到正无穷，函数值持续增大；对于$y = x^{\frac{2}{1}}$（即$y = x^2$），导数$y^\prime = 2x$，当$x > 0$时，$y^\prime > 0$，函数单调递增，当$x < 0$时，$y^\prime < 0$，函数单调递减，但从整个定义域$R$来看，整体是单调递增的（因为$x$从负无穷到正无穷过程中函数值是不断增大的）。

2. 不同函数间的变化速率差异：

虽然它们都单调递增，但由于指数$\frac{p}{q}$不同，函数值随$x$变化的速率有所不同。

比较$y = x^{\frac{4}{3}}$和$y = x^{\frac{2}{1}}$（即$y = x^2$），当$x$的值逐渐增大（或减小）时，$y = x^{\frac{4}{3}}$的函数值变化相对更快一些，也就是其图像会比$y = x^2$的图像“更陡峭”一点。

例如，当$x$从$1$增大到$2$时，$y = x^2$从$1^2 = 1$增大到$2^2 = 4$；而$y = x^{\frac{4}{3}}$从$1^{\frac{4}{3}} = 1$增大到$2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}\approx 2.52$，能明显看出在相同的$x$变化区间内，$y = x^{\frac{4}{3}}$的函数值增长幅度更大，体现出变化速率的差异。

四、奇偶性

这类幂函数都是偶函数。

设$f(x) = x^{\frac{p}{q}}$（$\frac{p}{q}=\frac{偶数}{奇数}$），则$f(-x) = (-x)^{\frac{p}{q}} = (-1)^{\frac{p}{q}}x^{\frac{p}{q}}$。

具体到$y = x^{\frac{4}{3}}$，有$f(-x) = (-x)^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^4} = \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}} = f(x)$；对于$y = x^{\frac{2}{1}}$（即$y = x^2$），$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$，它们的图像都关于$y$轴对称。

五、图像特征

由于是偶函数，图像关于$y$轴对称。在$y$轴两侧，函数值随着$x$绝对值的增大而增大，并且函数在$x > 0$和$x < 0$时具有相同的变化趋势（因为单调性相同）。同时，不同的指数使得它们的图像在“陡峭”程度等方面有区别，$y = x^{\frac{4}{3}}$的图像相对$y = x^2$在远离原点处会显得更“挺拔”，也就是变化更剧烈一些，这与前面提到的函数值变化速率的差异相对应。

$y = x^a$：$a > 1$，$a=\frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$，$y = x^{\frac{5}{4}}$，$y = x^{\frac{1}{2}}$

一、定义域

例如，$x^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{x^5}$，$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，只有$x \geq 0$时这些运算才有意义。

二、值域

例如，对于$x^{\frac{5}{4}}$，先对$x$进行五次幂运算得到一个非负的结果，再开四次方，最终得到的也是非负实数；对于$x^{\frac{1}{2}}$，开平方根得到的同样是非负实数，并且随着$x$在非负范围内取值变化，函数值可以取到$0$以及任意大的非负实数。

三、单调性

1. 区间单调性：

这类幂函数在其定义域$[0, +\infty)$上是单调递增的。

对$y = x^{\frac{p}{q}}$（$a = \frac{p}{q}=\frac{奇数}{偶数}$）求导，可得$y^\prime = \frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}$。

当$x$在$[0, +\infty)$内时，$y^\prime > 0$，这表明函数在该区间上单调递增。

例如，对于$y = x^{\frac{5}{4}}$，其导数$y^\prime = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}=\frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$，在$(0, +\infty)$上，$y^\prime$恒大于$0$，所以函数在这个区间上单调递增，且$x = 0$时函数值最小为$0$，随着$x$的增大，$y$的值也相应增大；对于$y = x^{\frac{1}{2}}$，导数$y^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，在$(0, +\infty)$上$y^\prime > 0$，函数在该区间同样单调递增，比如$x$从$0$增大到$1$时，$y$的值也从$0$开始逐渐增大。

四、奇偶性

这类幂函数的定义域不关于原点对称（定义域为$x \geq 0$），所以既不是奇函数也不是偶函数。

五、图像特征

1. 经过原点及渐近线情况：

图像都经过原点$(0,0)$，因为当$x = 0$时，$y = 0^{\frac{p}{q}} = 0$。

$x = 0$（$y$轴）是其左侧的边界，函数图像只存在于$y$轴右侧（包括原点）。并且，当$x$趋近于正无穷时，函数值$y$也趋近于正无穷，但增长的速率相对较慢（因为$a > 1$时相对一些整式幂函数增长速率还是稍缓一些），图像会逐渐向上延伸，整体呈现出一种从原点开始向右上方平缓上升的形态。

2. 整体形状与对称性：

由于定义域的限制以及函数的单调性，图像位于第一象限（包含原点），从左向右逐渐上升。不同的指数会使图像的“陡峭”程度等细节有所差异，例如$y = x^{\frac{5}{4}}$与$y = x^{\frac{1}{2}}$相比，在靠近原点附近以及随着$x$增大的过程中，$y = x^{\frac{5}{4}}$上升得相对更快一些，也就是图像更“陡峭”一点（从函数值随$x$变化的速率角度来看），而$y = x^{\frac{1}{2}}$的图像相对更“平缓”些。