函数 03 复合函数的定义域、单调性、奇偶性、对称性、周期性

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复合抽象函数是指形如\( y = f(g(x)) \)（其中\( f \)、\( g \)为函数）且未给出具体解析式（仅通过性质描述）的函数。

一、复合抽象函数的定义域

核心逻辑：复合函数\( f(g(x)) \)的定义域是\( x \)的取值范围，需满足内层函数\( g(x) \)的值域落在外层函数\( f(t) \)的定义域内（即\( g(x) \in D_f \)，其中\( D_f \)为\( f(t) \)的定义域）。

1. 已知\( f(x) \)的定义域，求\( f(g(x)) \)的定义域

例：若\( f(x) \)的定义域为\([2,5]\)，求\( f(3x-1) \)的定义域。

解：\( f(t) \)中\( t \in [2,5] \)，因此\( 3x-1 \in [2,5] \)，解得\( 3x \in [3,6] \)即\( x \in [1,2] \)。

故\( f(3x-1) \)的定义域为\({[1,2]}\)。

2. 已知\( f(g(x)) \)的定义域，求\( f(x) \)的定义域

例：若\( f(2x+3) \)的定义域为\([-1,3]\)，求\( f(x) \)的定义域。

解：\( f(2x+3) \)中\( x \in [-1,3] \)，则\( 2x+3 \in [2\times(-1)+3, 2\times3+3] = [1,9] \)。

故\( f(t) \)的定义域为\({[1,9]}\)。

3. 通过中间函数传递定义域

例：若\( f(x-2) \)的定义域为\([0,4]\)，求\( f(2x+1) \)的定义域。

解：① 由\( f(x-2) \)的定义域\([0,4]\)，得\( x-2 \in [-2,2] \)，即\( f(t) \)的定义域为\([-2,2]\)；

② 对\( f(2x+1) \)，需\( 2x+1 \in [-2,2] \)，解得\( x \in [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}] \)。

故定义域为\({[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]}\)。

4. 含奇偶性的定义域交集

例：设\( f(x) \)的定义域为\([-a,a]\)（\( a>0 \)），求\( h(x) = f(x^2) + f(x+1) \)的定义域。

解：① \( f(x^2) \)要求\( x^2 \in [-a,a] \)，即\( x \in [-\sqrt{a}, \sqrt{a}] \)；

② \( f(x+1) \)要求\( x+1 \in [-a,a] \)，即\( x \in [-a-1, a-1] \)；

③ 交集为\([-\sqrt{a}, \min(\sqrt{a}, a-1)]\)（需\( a-1 \geq -\sqrt{a} \)，即\( a \geq 1 \)时有效）。

故定义域为\({[-\sqrt{a}, a-1]}\)（\( a \geq 1 \)）。

5. 含对数函数的复合定义域

例：若\( f(x) \)的定义域为\((0,1)\)，求\( f(\log_2 x) \)的定义域。

解：\( f(t) \)中\( t \in (0,1) \)，因此\( \log_2 x \in (0,1) \)，即\( 2^0 < x < 2^1 \)，得\( x \in (1,2) \)。

故定义域为\({(1,2)}\)。

二、复合抽象函数的单调性

核心逻辑：复合函数\( f(g(x)) \)的单调性遵循“同增异减”原则：若\( g(x) \)与\( f(t) \)单调性相同，则\( f(g(x)) \)单调递增；若单调性相反，则\( f(g(x)) \)单调递减。

1. 基础单调性判断

例：\( f(x) \)在\( \mathbb{R} \)上递增，\( g(x) = x^2 \)，求\( f(g(x)) \)的单调区间。

解：① \( g(x) \)在\([0, +\infty)\)递增，与\( f(x) \)同增，故\( f(g(x)) \)在\([0, +\infty)\)递增；

② \( g(x) \)在\((-\infty, 0]\)递减，与\( f(x) \)异减，故\( f(g(x)) \)在\((-\infty, 0]\)递减。

单调区间：增区间\({[0, +\infty)}\)，减区间\({(-\infty, 0]}\)。

2. 抽象函数单调性推导

例：对任意\( x_1 < x_2 \)，\( f(x_1) > f(x_2) \)，且\( g(x) \)在\([1,3]\)上递减，判断\( f(g(x)) \)在\([1,3]\)的单调性。

解：\( f(x) \)是减函数，\( g(x) \)在\([1,3]\)递减（同单调性），故\( f(g(x)) \)在\([1,3]\)递增。

结论：\({\text{单调递增}}\)。

3. 含参数的单调性分析

例：\( f(x) \)在\( \mathbb{R} \)上递减，\( g(x) = ax + b \)，若\( f(g(x)) \)在\( \mathbb{R} \)上递增，求\( a \)的取值范围。

解：\( f(g(x)) \)递增需\( g(x) \)递减（异减），故\( a < 0 \)。

结论：\({a < 0}\)。

4. 分段复合函数单调性

例：\( f(x) \)在\((0, +\infty)\)递增，在\((-\infty, 0)\)递减；\( g(x) = |x| \)，求\( f(g(x)) \)的单调性。

解：① \( g(x) \)在\([0, +\infty)\)递增，与\( f(x) \)在\((0, +\infty)\)同增，故\( f(g(x)) \)在\([0, +\infty)\)递增；

② \( g(x) \)在\((-\infty, 0]\)递减，与\( f(x) \)在\((-\infty, 0)\)同减，故\( f(g(x)) \)在\((-\infty, 0]\)递增。

结论：在\({\mathbb{R}}\)上单调递增。

5. 抽象函数定义法证明

例：\( f(x) \)对任意\( x > 0 \)，\( y > 0 \)，有\( f(xy) = f(x) + f(y) \)，且\( x > 1 \)时\( f(x) > 0 \)，证明\( f(x) \)在\((0, +\infty)\)递增。

解：任取\( x_1 > x_2 > 0 \)，则\( \frac{x_1}{x_2} > 1 \)，故\( f(x_1) - f(x_2) = f(x_2 \cdot \frac{x_1}{x_2}) - f(x_2) = f(x_2) + f(\frac{x_1}{x_2}) - f(x_2) = f(\frac{x_1}{x_2}) > 0 \)，即\( f(x_1) > f(x_2) \)。

结论：\({f(x) \text{在}(0, +\infty) \text{上单调递增}}\)。

三、复合抽象函数的奇偶性

核心逻辑：奇偶性需满足\( f(-x) = f(x) \)（偶）或\( f(-x) = -f(x) \)（奇）。复合函数\( f(g(x)) \)的奇偶性由\( f(t) \)和\( g(x) \)的奇偶性共同决定（如下表）：

| \( f(t) \) | \( g(x) \) | \( f(g(x)) \) |

| 偶 | 偶 | 偶 |

| 偶 | 奇 | 偶 |

| 奇 | 偶 | 偶 |

| 奇 | 奇 | 奇 |

1. 奇偶性组合判断

例：\( f(x) \)是奇函数，\( g(x) \)是奇函数，判断\( f(g(x)) \)的奇偶性。

解：\( f(g(-x)) = f(-g(x)) = -f(g(x)) \)（因\( f \)奇、\( g \)奇），故为奇函数。

结论：\({\text{奇函数}}\)。

2. 抽象函数奇偶性证明

例：\( f(x) \)对任意\( x, y \in \mathbb{R} \)，有\( f(x + y) = f(x) + f(y) \)，证明\( f(x) \)是奇函数。

解：① 令\( x = y = 0 \)，得\( f(0) = 0 \)；② 令\( y = -x \)，得\( f(0) = f(x) + f(-x) \)，即\( f(-x) = -f(x) \)。

结论：\({\text{奇函数}}\)。

3. 含常数项的奇偶性

例：\( f(x) \)是偶函数，\( g(x) = f(x) + c \)（\( c \)为常数），若\( g(x) \)是偶函数，求\( c \)的值。

解：\( g(-x) = f(-x) + c = f(x) + c = g(x) \)，对任意\( c \)成立？不，若\( g(x) \)是偶函数，无需限制\( c \)？修正：若\( g(x) \)是奇函数，则\( g(-x) = -g(x) \)即\( f(x) + c = -f(x) - c \)，因\( f(x) \)偶，得\( 2c = 0 \)即\( c = 0 \)。

结论（修正后）：\({c = 0}\)。

4. 复合函数奇偶性逆推

例：\( f(g(x)) \)是奇函数，\( g(x) \)是奇函数，判断\( f(x) \)的奇偶性。

解：\( f(g(-x)) = f(-g(x)) = -f(g(x)) \)，令\( t = g(x) \)（\( t \)可取任意值，因\( g \)是奇且满射），故\( f(-t) = -f(t) \)，即\( f(x) \)是奇函数。

结论：\({\text{奇函数}}\)。

5. 抽象函数奇偶性应用

例：\( f(x) \)是偶函数，当\( x \geq 0 \)时\( f(x) = x^2 \)，求\( f(-2) \)的值。

解：\( f(-2) = f(2) = 2^2 = 4 \)。

结论：\({4}\)。

四、复合抽象函数的对称性

核心逻辑：关于直线\( x = a \)对称：\( f(a + x) = f(a - x) \)；关于点\((a, b)\)对称：\( f(a + x) + f(a - x) = 2b \)。

复合函数\( f(g(x)) \)的对称性由\( f(t) \)的对称性和\( g(x) \)的解析式共同推导。

1. 对称轴传递

例：\( f(t) \)关于\( t = 3 \)对称，\( g(x) = 2x - 1 \)，求\( f(g(x)) \)的对称轴。

解：\( f(t) \)对称需\( t = 3 \)，即\( 2x - 1 = 3 \)，解得\( x = 2 \)。

结论：对称轴为\({x = 2}\)。

2. 抽象函数点对称

例：\( f(x) \)满足\( f(1 + x) + f(1 - x) = 4 \)，判断\( f(x) \)的对称中心。

解：对比\( f(a + x) + f(a - x) = 2b \)，得\( a = 1 \)，\( b = 2 \)，故中心为\((1, 2)\)。

结论：\({(1, 2)}\)。

3. 复合函数对称中心

例：\( f(t) \)关于\((2, 3)\)对称，\( g(x) = x^2 \)，求\( f(g(x)) \)的对称中心满足的条件。

解：\( f(t) \)对称：\( f(2 + s) + f(2 - s) = 6 \)。令\( t = x^2 \)，则\( f(x^2) + f(2 - (x^2 - 2)) = f(x^2) + f(4 - x^2) = 6 \)，即关于\( x \)满足\( x^2 = 4 - x^2 \)（即\( x = \pm \sqrt{2} \)）的中点对称，中心横坐标为\( 0 \)，纵坐标为\( 3 \)。

结论：对称中心为\({(0, 3)}\)。

4. 对称性与奇偶性结合

例：\( f(x) \)是偶函数且关于\( x = 2 \)对称，证明\( f(x) \)是周期函数（周期为4）。

解：① 偶函数：\( f(-x) = f(x) \)；② 对称：\( f(2 + x) = f(2 - x) \)。故\( f(x + 4) = f(2 + (x + 2)) = f(2 - (x + 2)) = f(-x) = f(x) \)，周期为4。

结论：\({\text{周期为4}}\)。

5. 对称条件逆推解析式

例：\( f(x) \)关于\( x = 1 \)对称，当\( x \leq 1 \)时\( f(x) = x^2 \)，求\( x > 1 \)时的解析式。

解：设\( x > 1 \)，则\( 2 - x < 1 \)，由对称\( f(x) = f(2 - x) = (2 - x)^2 \)。

结论：\({f(x) = (2 - x)^2}\)。

五、复合抽象函数的周期性

核心逻辑：若存在\( T > 0 \)，对任意\( x \)有\( f(x + T) = f(x) \)，则\( T \)为周期。复合函数\( f(g(x)) \)的周期通常是\( g(x) \)周期的倍数（若\( g(x) \)周期为\( T_g \)，则\( f(g(x + T_g)) = f(g(x)) \)，故\( T_g \)是周期）。