不等式 02 卡尔松不等式

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卡尔松不等式（Carlson's Inequality）

卡尔松不等式是数学中一个重要的不等式，属于柯西不等式的推广形式，在处理多个数组的乘积和开方问题时具有极强的实用性。它在高中数学的不等式证明、最值求解等领域应用广泛，尤其在竞赛题和压轴题中频繁出现。

1. 基本形式（离散型）

对于 m 个正数数组，每个数组有 n 个正元素，设数组分别为：

第1个数组：\( a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1n} \)

第2个数组：\( a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2n} \)

...

第m个数组：\( a_{m1}, a_{m2}, \dots, a_{mn} \)，则有不等式：

\(\frac{a_{11} + a_{12} + \dots + a_{1n}}{n} \cdot \frac{a_{21} + a_{22} + \dots + a_{2n}}{n} \cdot \dots \cdot \frac{a_{m1} + a_{m2} + \dots + a_{mn}}{n} \)

\(\geq \left( \frac{\sqrt[n]{a_{11}a_{21}\dots a_{m1}} + \sqrt[n]{a_{12}a_{22}\dots a_{m2}} + \dots + \sqrt[n]{a_{1n}a_{2n}\dots a_{mn}}}{n} \right)^n\)

2. 简化理解：“均值的乘积 ≥ 乘积的均值的n次幂”

左边：每个数组的算术平均数的乘积（m个算术平均数相乘）；

右边：每个位置上m个元素的几何平均数的算术平均数的n次幂（先对每个位置取几何平均，再对所有位置取算术平均，最后升n次幂）。

3. 等号成立条件

当且仅当所有数组对应元素成比例时，等号成立，即：

\( \frac{a_{11}}{a_{21}} = \frac{a_{12}}{a_{22}} = \dots = \frac{a_{1n}}{a_{2n}} \)

\( \frac{a_{21}}{a_{31}} = \frac{a_{22}}{a_{32}} = \dots = \frac{a_{2n}}{a_{3n}} \)

...

\(\frac{a_{m-1,1}}{a_{m1}} = \frac{a_{m-1,2}}{a_{m2}} = \dots = \frac{a_{m-1,n}}{a_{mn}} \)（数组中元素非零时）。

4. 特殊情况：与柯西不等式的关联

当 \( m=2 \) 时，卡尔松不等式退化为柯西不等式的算术平均形式：

\(\left( \frac{a_{11}+a_{12}+\dots+a_{1n}}{n} \right) \left( \frac{a_{21}+a_{22}+\dots+a_{2n}}{n} \right) \geq \left( \frac{\sqrt{a_{11}a_{21}} + \sqrt{a_{12}a_{22}} + \dots + \sqrt{a_{1n}a_{2n}}}{n} \right)^2\)

令 \( b_i = \sqrt{a_{1i}} \)，\( c_i = \sqrt{a_{2i}} \)，则进一步退化为柯西不等式的标准形式：

\((a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2\)

这说明卡尔松不等式是柯西不等式的自然推广，适用范围更广。

例1：基础验证（m=2，n=2）

已知 \( a,b,c,d > 0 \)，求证：\( (a+b)(c+d) \geq (\sqrt{ac} + \sqrt{bd})^2 \)。

证明：取 \( m=2 \)（2个数组），\( n=2 \)（每个数组2个元素）：

第1个数组：\( [a, b] \)，算术平均为 \( \frac{a+b}{2} \)；

第2个数组：\( [c, d] \)，算术平均为 \( \frac{c+d}{2} \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt{ac} \)（第1位）、\( \sqrt{bd} \)（第2位），算术平均为 \( \frac{\sqrt{ac} + \sqrt{bd}}{2} \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{a+b}{2} \cdot \frac{c+d}{2} \geq \left( \frac{\sqrt{ac} + \sqrt{bd}}{2} \right)^2\)

两边同乘 \( 4 \)，得 \( (a+b)(c+d) \geq (\sqrt{ac} + \sqrt{bd})^2 \)，等号当且仅当 \( \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \)（即 \( ad=bc \)）时成立。

例2：三元柯西推广（m=2，n=3）

已知 \( x,y,z > 0 \)，求证：\( (x^2 + y^2 + z^2)(1 + 1 + 1) \geq (x + y + z)^2 \)。

证明：取 \( m=2 \)，\( n=3 \)：

第1个数组：\( [x^2, y^2, z^2] \)，算术平均为 \( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} \)；

第2个数组：\( [1, 1, 1] \)，算术平均为 \( \frac{1+1+1}{3} = 1 \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt{x^2 \cdot 1} = x \)、\( \sqrt{y^2 \cdot 1} = y \)、\( \sqrt{z^2 \cdot 1} = z \)，算术平均为 \( \frac{x + y + z}{3} \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} \cdot 1 \geq \left( \frac{x + y + z}{3} \right)^2\)

两边同乘 \( 3 \)，得 \( (x^2 + y^2 + z^2) \cdot 3 \geq (x + y + z)^2 \)，即原不等式成立，等号当且仅当 \( x^2 = y^2 = z^2 \)（即 \( x=y=z \)）时成立。

例3：m=3，n=2的应用

已知 \( a,b,c,d > 0 \)，求证：\( (a + b)(c + d)(e + f) \geq (\sqrt[3]{ace} + \sqrt[3]{bdf})^3 \)。

证明：取 \( m=3 \)（3个数组），\( n=2 \)（每个数组2个元素）：

第1个数组：\( [a, b] \)，算术平均 \( \frac{a+b}{2} \)；

第2个数组：\( [c, d] \)，算术平均 \( \frac{c+d}{2} \)；

第3个数组：\( [e, f] \)，算术平均 \( \frac{e+f}{2} \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt[3]{ace} \)（第1位）、\( \sqrt[3]{bdf} \)（第2位），算术平均 \( \frac{\sqrt[3]{ace} + \sqrt[3]{bdf}}{2} \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{a+b}{2} \cdot \frac{c+d}{2} \cdot \frac{e+f}{2} \geq \left( \frac{\sqrt[3]{ace} + \sqrt[3]{bdf}}{2} \right)^3\)

两边同乘 \( 8 \)，得 \( (a+b)(c+d)(e+f) \geq (\sqrt[3]{ace} + \sqrt[3]{bdf})^3 \)，等号当且仅当 \( \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \)且 \( \frac{c}{e} = \frac{d}{f} \)（即 \( a:c:e = b:d:f \)）时成立。

例4：最值求解（已知和求积的最小值）

已知 \( x,y > 0 \)，且 \( x + 2y = 1 \)，求 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 的最小值。

解：将目标式变形为 \( \frac{1}{x} + \frac{2}{2y} \)，取 \( m=2 \)，\( n=2 \)：

第1个数组：\( [x, 2y] \)（和为1），算术平均 \( \frac{x + 2y}{2} = \frac{1}{2} \)；

第2个数组：\( \left[ \frac{1}{x}, \frac{2}{2y} \right] = \left[ \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right] \)（目标式为其和），算术平均 \( \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1 \)、\( \sqrt{2y \cdot \frac{1}{y}} = \sqrt{2} \)，算术平均 \( \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} \geq \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \right)^2\)

化简得 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2 \cdot \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{4} = 3 + 2\sqrt{2} \)。

验证：等号当且仅当 \( \frac{x}{\frac{1}{x}} = \frac{2y}{\frac{1}{y}} \)（即 \( x^2 = 2y^2 \)）且 \( x + 2y = 1 \)时成立，解得 \( x = \sqrt{2} - 1 \)，\( y = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \)，此时最小值为 \( 3 + 2\sqrt{2} \)。

例5：分式不等式证明（m=2，n=3）

已知 \( a,b,c > 0 \)，求证：\( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq a + b + c \)。

证明：取 \( m=2 \)，\( n=3 \)：

第1个数组：\( \left[ \frac{a^2}{b}, \frac{b^2}{c}, \frac{c^2}{a} \right] \)，算术平均 \( \frac{\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}}{3} \)；

第2个数组：\( [b, c, a] \)，算术平均 \( \frac{b + c + a}{3} \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt{\frac{a^2}{b} \cdot b} = a \)、\( \sqrt{\frac{b^2}{c} \cdot c} = b \)、\( \sqrt{\frac{c^2}{a} \cdot a} = c \)，算术平均 \( \frac{a + b + c}{3} \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}}{3} \cdot \frac{a + b + c}{3} \geq \left( \frac{a + b + c}{3} \right)^2\)

两边同乘 \( \frac{9}{a + b + c} \)（\( a + b + c > 0 \)），得 \( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq a + b + c \)，等号当且仅当 \( \frac{\frac{a^2}{b}}{b} = \frac{\frac{b^2}{c}}{c} = \frac{\frac{c^2}{a}}{a} \)（即 \( a = b = c \)）时成立。

例6：含平方和的最值（m=3，n=1）

已知 \( x,y,z > 0 \)，且 \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)，求 \( x + y + z \) 的最大值。

解：取 \( m=3 \)，\( n=1 \)（每个数组1个元素，此时卡尔松不等式退化为“几何平均 ≤ 算术平均”）：

第1个数组：\( [x^2] \)，算术平均 \( x^2 \)；

第2个数组：\( [y^2] \)，算术平均 \( y^2 \)；

第3个数组：\( [z^2] \)，算术平均 \( z^2 \)；

位置1的几何平均：\( \sqrt[3]{x^2y^2z^2} \)，算术平均 \( \sqrt[3]{x^2y^2z^2} \)。

由卡尔松不等式：\(x^2 \cdot y^2 \cdot z^2 \geq \left( \sqrt[3]{x^2y^2z^2} \right)^3\)

此式为等式，需换一种数组构造：取 \( m=2 \)，\( n=3 \)，第1个数组 \( [x^2, y^2, z^2] \)，第2个数组 \( [1,1,1] \)，由示例2的结论：

\((x^2 + y^2 + z^2) \cdot 3 \geq (x + y + z)^2\)

代入 \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)，得 \( (x + y + z)^2 \leq 3 \)，即 \( x + y + z \leq \sqrt{3} \)，等号当且仅当 \( x = y = z = \frac{\sqrt{3}}{3} \)时成立。

例7：三元乘积不等式（m=3，n=3）

已知 \( a,b,c > 0 \)，求证：\( (a + b + c)(ab + bc + ca)(abc) \geq (abc + abc + abc)^3 \)？（修正：实际应为 \( (a + b + c)(ab + bc + ca) \geq 9abc \)）

证明：取 \( m=2 \)，\( n=3 \)：

第1个数组：\( [a, b, c] \)，算术平均 \( \frac{a + b + c}{3} \)；

第2个数组：\( [bc, ac, ab] \)，算术平均 \( \frac{bc + ac + ab}{3} \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt{a \cdot bc} = \sqrt{abc} \)、\( \sqrt{b \cdot ac} = \sqrt{abc} \)、\( \sqrt{c \cdot ab} = \sqrt{abc} \)，算术平均 \( \frac{3\sqrt{abc}}{3} = \sqrt{abc} \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{a + b + c}{3} \cdot \frac{ab + bc + ca}{3} \geq (\sqrt{abc})^2 = abc\)

两边同乘 \( 9 \)，得 \( (a + b + c)(ab + bc + ca) \geq 9abc \)，等号当且仅当 \( \frac{a}{bc} = \frac{b}{ac} = \frac{c}{ab} \)（即 \( a = b = c \)）时成立。

例8：条件最值（已知乘积求积的最大值）

已知 \( x,y,z > 0 \)，且 \( xyz = 1 \)，求 \( (1 + x)(1 + y)(1 + z) \) 的最小值。

解：取 \( m=3 \)，\( n=2 \)，将每个括号拆分为“1 + 元素”：

第1个数组：\( [1, x] \)，算术平均 \( \frac{1 + x}{2} \)；

第2个数组：\( [1, y] \)，算术平均 \( \frac{1 + y}{2} \)；

第3个数组：\( [1, z] \)，算术平均 \( \frac{1 + z}{2} \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt[3]{1 \cdot 1 \cdot 1} = 1 \)（第1位）、\( \sqrt[3]{x \cdot y \cdot z} = \sqrt[3]{1} = 1 \)（第2位），算术平均 \( \frac{1 + 1}{2} = 1 \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{1 + x}{2} \cdot \frac{1 + y}{2} \cdot \frac{1 + z}{2} \geq 1^3 = 1\)

两边同乘 \( 8 \)，得 \( (1 + x)(1 + y)(1 + z) \geq 8 \)，等号当且仅当 \( 1 = x = y = z \)（即 \( x = y = z = 1 \)）时成立。

例9：分式和的最小值（m=2，n=4）

已知 \( a,b,c,d > 0 \)，且 \( a + b + c + d = 1 \)，求 \( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{d} + \frac{d^2}{a} \) 的最小值。

证明：取 \( m=2 \)，\( n=4 \)：

第1个数组：\( \left[ \frac{a^2}{b}, \frac{b^2}{c}, \frac{c^2}{d}, \frac{d^2}{a} \right] \)，算术平均 \( \frac{S}{4} \)（\( S = \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{d} + \frac{d^2}{a} \)）；

第2个数组：\( [b, c, d, a] \)，算术平均 \( \frac{b + c + d + a}{4} = \frac{1}{4} \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt{\frac{a^2}{b} \cdot b} = a \)、\( \sqrt{\frac{b^2}{c} \cdot c} = b \)、\( \sqrt{\frac{c^2}{d} \cdot d} = c \)、\( \sqrt{\frac{d^2}{a} \cdot a} = d \)，算术平均 \( \frac{a + b + c + d}{4} = \frac{1}{4} \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{S}{4} \cdot \frac{1}{4} \geq \left( \frac{1}{4} \right)^2\)

化简得 \( \frac{S}{16} \geq \frac{1}{16} \)，即 \( S \geq 1 \)，等号当且仅当 \( a = b = c = d = \frac{1}{4} \)时成立。

例10：竞赛基础题（m=3，n=3）

已知 \( x,y,z > 0 \)，求证：\( \frac{x^3}{y^2 + z^2} + \frac{y^3}{x^2 + z^2} + \frac{z^3}{x^2 + y^2} \geq \frac{x + y + z}{2} \)。

证明：取 \( m=2 \)，\( n=3 \)，对每一项构造数组：

第1个数组：\( \left[ \frac{x^3}{y^2 + z^2}, \frac{y^3}{x^2 + z^2}, \frac{z^3}{x^2 + y^2} \right] \)，算术平均 \( \frac{T}{3} \)（\( T = \) 左边）；

第2个数组：\( [y^2 + z^2, x^2 + z^2, x^2 + y^2] \)，算术平均 \( \frac{2(x^2 + y^2 + z^2)}{3} \)；

每个位置的几何平均：\( \sqrt{\frac{x^3}{y^2 + z^2} \cdot (y^2 + z^2)} = x^{\frac{3}{2}} \)、\( y^{\frac{3}{2}} \)、\( z^{\frac{3}{2}} \)，算术平均 \( \frac{x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} + z^{\frac{3}{2}}}{3} \)。

由卡尔松不等式：\(\frac{T}{3} \cdot \frac{2(x^2 + y^2 + z^2)}{3} \geq \left( \frac{x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} + z^{\frac{3}{2}}}{3} \right)^2\)

再由柯西不等式：\( (x^2 + y^2 + z^2)(1 + 1 + 1) \geq (x + y + z)^2 \)，且 \( (x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} + z^{\frac{3}{2}})^2 \geq \frac{(x + y + z)^3}{3} \)（幂平均不等式），代入化简得：\[T \geq \frac{x + y + z}{2}\]

等号当且仅当 \( x = y = z \)时成立。