逻辑 01 ∀全称量词、∃存在量词

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全称量词

1. 全称量词的定义

全称量词是一种用于表示某个集合中的所有元素都满足某种性质的量词。

在数学中，常用的全称量词有“所有”“任意”“每一个”“一切”等。

它通常用符号“∀”来表示，例如，“∀x∈S，P(x)”表示对于集合S中的任意一个元素x，性质P(x)都成立。

2. 全称量词的示例

在自然数集合中的应用

命题“所有自然数的平方是非负数”，用全称量词符号表示为“∀n∈N，n²≥0”。

这里N表示自然数集合，这个命题的意思是对于自然数集合中的每一个元素n，n的平方都大于或等于0。

在几何中的应用

命题“任意三角形的内角和为180°”，可以写成“∀△ABC，∠A + ∠B+∠C = 180°”。这里表示对于所有的三角形ABC，其三个内角的和都是180°。

3. 全称量词与命题真假性的关系

当使用全称量词的命题能够涵盖集合中的所有元素并且所描述的性质都成立时，这个命题为真命题。

例如，命题“∀x∈R，x²≥0”（R表示实数集合）是真命题，因为对于任意一个实数x，它的平方都大于或等于0。

但是，如果能找到集合中的一个元素使得所描述的性质不成立，那么这个全称命题就是假命题。

例如，命题“∀x∈R，x>0”是假命题，因为当x = 0或x<0时，这个命题不成立。

4. 全称量词的否定

全称量词命题的否定是存在量词命题。对于全称命题“∀x∈S，P(x)”，它的否定是“∃x∈S，¬P(x)”（其中∃表示存在量词，¬表示否定）。

例如，命题“所有的鸟都会飞”的否定是“存在一只鸟不会飞”。用符号表示，如果原命题是“∀x∈{鸟}，会飞(x)”，否定后就是“∃x∈{鸟}，¬会飞(x)”。

存在量词

1. 存在量词的基本概念

存在量词是一种在逻辑和数学中用于表示存在性的量词。它表明在一个给定的集合或者论域中，至少有一个元素满足某种特定的性质。

除了前面提到的“存在”“至少有一个”“有些”“有一个”这些表述外，还可以有“某些”等表述方式。符号“∃”是存在量词的标准符号表示，这个符号来源于Exist（存在）一词的首字母E的镜像写法。

2. 存在量词的具体示例

数论示例

考虑命题“存在一个正整数，它是偶数且是质数”。用数学符号表示为“∃x∈Z⁺，(x是偶数)∧(x是质数)”。在正整数集合中，数字2满足这个性质，因为2是偶数（能被2整除），同时2也是质数（除了1和它自身外，不能被其他自然数整除），所以这个命题是正确的。

几何示例

在平面几何中，命题“在平面内存在两条直线，它们的夹角为90°”。可以用符号表示为“∃l₁, l₂∈{平面内直线}，(l₁与l₂的夹角 = 90°)”。我们很容易在平面中找到两条垂直的直线来满足这个性质，比如直角坐标系中的x轴和y轴，所以这个命题是真的。

3. 存在量词与集合的关系

当我们使用存在量词描述一个命题时，实际上是在对一个集合进行一种存在性的搜索。

例如，对于集合A = {1, 3, 5, 7, 9}，命题“∃x∈A，x > 7”是真命题，因为在集合A中可以找到元素9，使得9 > 7成立。

如果把集合改为B = {1, 3, 5}，那么命题“∃x∈B，x > 7”就是假命题，因为集合B中没有任何元素大于7。

4. 存在量词的嵌套使用

在一些复杂的数学情境中，可能会出现存在量词的嵌套情况。

例如，“∃x∈R，∃y∈R，(x + y = 5)”。这个命题的意思是在实数集合R中，先存在一个实数x，对于这个x，又存在一个实数y，使得x + y = 5成立。这是一个真命题，因为对于任意给定的x，我们都可以找到相应的y = 5 - x使得等式成立。

5. 存在量词的范围限定

有时候需要对存在量词的范围进行更细致的限定。

例如，“∃x∈(2, 5)，x²> 10”。这里(2, 5)表示开区间，这个命题表示在区间(2, 5)内存在一个数x，使得x²>10。这个命题是真的，因为当x = 4时，x² = 16>10，且4在区间(2, 5)内。

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