集合 01 数集（自然数、整数、有理数、实数、复数）

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1. 自然数集（N）

符号来历：“N”来自于英文“Natural number”（自然数）的首字母。

性质：

有序性：自然数具有自然的顺序，如0 < 1 < 2 < 3 <…，可以用于表示顺序关系，如排队的次序等。

离散性：自然数是离散的，相邻两个自然数之间不存在其他自然数。

基数性：用于计数集合中元素的个数，是最基本的计数数集。并且加法和乘法运算封闭，即任意两个自然数相加或相乘的结果仍是自然数。

例如，2 + 3 = 5，3×4 = 12，5和12都是自然数。

2. 整数集（Z）

符号来历：“Z”来自于德语“Zahlen”（数）。

性质：

包含自然数集：自然数集是整数集的一部分，整数集在自然数集的基础上增加了负整数。

运算封闭性：整数集对于加法、减法和乘法运算封闭。

例如，对于任意整数\(m\)、\(n\)，\(m + n\)、\(m - n\)和\(m×n\)的结果都是整数。但除法运算不封闭，如3÷2 = 1.5不是整数。

有序性和离散性：与自然数类似，整数也是有序的，且具有离散性，不过整数集向负数方向延伸，包括了无限多个负整数。

3. 有理数集（Q）

符号来历：“Q”来自于英文“Quotient”（商），因为全部有理数可以表示为两个整数的商（\(\frac{p}{q}\)）。

性质：

运算封闭性：有理数集对于四则运算（加、减、乘、除，除数不为0）都是封闭的。

例如，\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\)，\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{5}{6}\)，这些运算结果都是有理数。

稠密性：有理数在数轴上是稠密的，即在任意两个不同的有理数之间，总存在无穷多个有理数。

例如，在\(\frac{1}{2}\)和\(\frac{3}{4}\)之间，有\(\frac{5}{8}\)、\(\frac{11}{16}\)等无数个有理数。

可数性：有理数集是可数集，即可以和自然数集建立一一对应关系，这意味着有理数的个数和自然数的个数在某种意义上是“一样多”的。

4. 实数集（R）

符号来历：“R”来自于英文“Real number”（实数）。

性质：

完备性：实数集是有理数集和无理数集的并集，它具有完备性。这意味着实数集在极限运算下是封闭的，例如，一个有理数数列的极限可能是无理数，所有这些极限点构成的集合还是实数集。

连续统：实数集是不可数的连续统，它和数轴上的点一一对应，直观地体现了直线的连续性，与有理数集的稠密性不同，实数能填满整个数轴。

运算封闭性：对于四则运算以及开方等运算（在实数范围内有意义的情况下）都是封闭的。

例如，对于任意正实数\(a\)，\(\sqrt{a}\)（当\(a\geqslant0\)）也是实数。

5. 复数集（C）

符号来历：“C”来自于英文“Complex number”（复数）。

性质：

形式定义：复数的标准形式是\(z = a + bi\)，其中\(a,b\in R\)，\(i\)为虚数单位，且\(i^{2}=-1\)。

运算封闭性：复数集对于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算都是封闭的。

例如，\((1 + 2i)+(3 - 4i)=4 - 2i\)，\((1 + 2i)\times(3 - 4i)=3 - 4i + 6i - 8i^{2}=11 + 2i\)。

几何表示：复数可以用平面直角坐标系（复平面）来表示，实部\(a\)为横坐标，虚部\(b\)为纵坐标。这种几何表示为复数的运算提供了直观的解释，如复数的加法对应向量的加法，乘法对应向量的旋转和伸缩。

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