集合 01 数集（自然数、整数、有理数、实数、复数）

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1. 自然数集（N）

符号来历：“N”来自于英文“Natural number”（自然数）的首字母。

性质：

有序性：自然数具有自然的顺序，如0 < 1 < 2 < 3 <…，可以用于表示顺序关系，如排队的次序等。

离散性：自然数是离散的，相邻两个自然数之间不存在其他自然数。

基数性：用于计数集合中元素的个数，是最基本的计数数集。并且加法和乘法运算封闭，即任意两个自然数相加或相乘的结果仍是自然数。

例如，2 + 3 = 5，3×4 = 12，5和12都是自然数。

2. 整数集（Z）

符号来历：“Z”来自于德语“Zahlen”（数）。

性质：

包含自然数集：自然数集是整数集的一部分，整数集在自然数集的基础上增加了负整数。

运算封闭性：整数集对于加法、减法和乘法运算封闭。

例如，对于任意整数\(m\)、\(n\)，\(m + n\)、\(m - n\)和\(m×n\)的结果都是整数。但除法运算不封闭，如3÷2 = 1.5不是整数。

有序性和离散性：与自然数类似，整数也是有序的，且具有离散性，不过整数集向负数方向延伸，包括了无限多个负整数。

3. 有理数集（Q）

符号来历：“Q”来自于英文“Quotient”（商），因为全部有理数可以表示为两个整数的商（\(\frac{p}{q}\)）。

性质：

运算封闭性：有理数集对于四则运算（加、减、乘、除，除数不为0）都是封闭的。

例如，\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\)，\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{5}{6}\)，这些运算结果都是有理数。

稠密性：有理数在数轴上是稠密的，即在任意两个不同的有理数之间，总存在无穷多个有理数。

例如，在\(\frac{1}{2}\)和\(\frac{3}{4}\)之间，有\(\frac{5}{8}\)、\(\frac{11}{16}\)等无数个有理数。

可数性：有理数集是可数集，即可以和自然数集建立一一对应关系，这意味着有理数的个数和自然数的个数在某种意义上是“一样多”的。

4. 实数集（R）

符号来历：“R”来自于英文“Real number”（实数）。

性质：

完备性：实数集是有理数集和无理数集的并集，它具有完备性。这意味着实数集在极限运算下是封闭的，例如，一个有理数数列的极限可能是无理数，所有这些极限点构成的集合还是实数集。

连续统：实数集是不可数的连续统，它和数轴上的点一一对应，直观地体现了直线的连续性，与有理数集的稠密性不同，实数能填满整个数轴。

运算封闭性：对于四则运算以及开方等运算（在实数范围内有意义的情况下）都是封闭的。

例如，对于任意正实数\(a\)，\(\sqrt{a}\)（当\(a\geqslant0\)）也是实数。

5. 复数集（C）

符号来历：“C”来自于英文“Complex number”（复数）。

性质：

形式定义：复数的标准形式是\(z = a + bi\)，其中\(a,b\in R\)，\(i\)为虚数单位，且\(i^{2}=-1\)。

运算封闭性：复数集对于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算都是封闭的。

例如，\((1 + 2i)+(3 - 4i)=4 - 2i\)，\((1 + 2i)\times(3 - 4i)=3 - 4i + 6i - 8i^{2}=11 + 2i\)。

几何表示：复数可以用平面直角坐标系（复平面）来表示，实部\(a\)为横坐标，虚部\(b\)为纵坐标。这种几何表示为复数的运算提供了直观的解释，如复数的加法对应向量的加法，乘法对应向量的旋转和伸缩。

有理数集

有理数集的性质1：运算封闭性

加法封闭：任意两个有理数相加，其和仍是有理数。例如\(\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}=\frac{5}{6}\)，\(\frac{5}{6}\)是有理数.

减法封闭：任意有理数相减，差为有理数。如\(5-3=2\)，\(2\)是有理数.

乘法封闭：两个有理数相乘，积是有理数。比如\(2\times\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)，\(\frac{3}{2}\)是有理数.

除法封闭：除数不为\(0\)时，两个有理数相除，商是有理数。像\(\frac{4}{2}=2\)，\(2\)是有理数.

有理数集的性质2：有序性

三岐性：对于任意两个有理数\(a\)、\(b\)，在\(a\lt b\)、\(a = b\)、\(a\gt b\)三种关系中，有且只有一种成立.

不等的对逆性：如果\(a\lt b\)，那么\(b\gt a\).

不等的传递性：若\(a\lt b\)，\(b\lt c\)，则\(a\lt c\).

相等的传递性：若\(a = b\)，\(b = c\)，那么\(a = c\).

相等的反身性：\(a = a\).

有理数集的性质3：稠密性

任意两个不同的有理数\(a\)、\(b\)之间，不管它们相距多远，即不管\(\vert a - b\vert\)多么小，都存在无穷多个有理数。比如在\(0\)和\(1\)之间，有\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{1}{3}\)、\(\frac{2}{3}\)、\(\frac{1}{4}\)、\(\frac{3}{4}\)等等无穷多个有理数.

有理数集的性质4：可列性

有理数集是可列集，能和自然数集建立一一对应的关系，即可以按照某种顺序对有理数进行排列，使每个有理数都能与一个唯一的自然数相对应.

有理数集的性质5：小数表示特性

有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.

无理数集

无理数的定义及表示

无理数是无限不循环小数，不能用分数表示，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)等都是无理数.

无理数集通常用\(\mathbb{I}\)或\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)表示，其中\(\mathbb{R}\)表示实数集，\(\mathbb{Q}\)表示有理数集.

无理数的基本性质

无限性：无理数有无穷多个，因为实数轴上有无限多个点，而无理数占据了其中不可数的一部分.

有序性：任意两个不同的无理数都可以比较大小，即给定任意两个不同的无理数\(a\)和\(b\)，要么\(a\gt b\)，要么\(a\lt b\) ，且若\(b\gt a\)，\(c\gt b\)，则\(c\gt a\).

无理数的运算性质

加法不封闭：无理数与无理数相加，结果不一定是无理数，例如\(\sqrt{2}+ (-\sqrt{2}) = 0\)，\(0\)是有理数.

减法不封闭：无理数与无理数相减，结果不一定是无理数，如\((1 + \sqrt{2})- \sqrt{2}=1\)，\(1\)是有理数.

乘法不封闭：无理数与无理数相乘，结果不一定是无理数，比如\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)，\(2\)是有理数.

除法不封闭：无理数与无理数相除，结果不一定是无理数，如\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 2\)，\(2\)是有理数.

稠密性

无理数在数轴上是稠密的，即在任意两个不同的无理数\(a\)和\(b\)之间，总存在至少一个无理数\(c\)，使得\(a\lt c\lt b\)，进而存在着无限多个其它的无理数。例如，设\(a=\sqrt{2}\)，\(b=\sqrt{3}\)，可以找到\(c=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\)，它也是无理数，且\(\sqrt{2}\lt\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\lt\sqrt{3}\).