点、线、圆、三角形、四边形与圆的位置关系

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一、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系由“点到圆心的距离（记为\(d\)）”与“圆的半径（记为\(r\)）”的大小关系决定，共分为三种情况，是后续复杂位置关系的“基础模型”。

1. 核心定义与判定

点在圆内：若\(d < r\)，则点在圆内部，此时点到圆上任意一点的距离小于\(2r\)（直径），且过该点的弦长度均小于直径。

点在圆上：若\(d = r\)，则点在圆上，此时点是圆的一个“边界点”，仅满足该点到圆心的距离等于半径，是圆上无数点中的一个。

点在圆外：若\(d > r\)，则点在圆外部，此时点到圆上任意一点的距离大于\(d - r\)，且过该点可作圆的两条切线（切线长相等）。

2. 常用结论

平面内，到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合是圆，这是点与圆位置关系的“本质依据”。

若多个点到同一圆心的距离相等，则这些点共圆（即这些点在同一个圆上）。

点在圆内时，过该点的弦中，直径是最长的弦；点在圆外时，从该点到圆的两条切线长相等（切线长定理的基础）。

例题1：判断点与圆的位置关系

已知圆\(O\)的圆心坐标为\((0,0)\)，半径\(r = 5\)，点\(P\)的坐标为\((3,4)\)，判断点\(P\)与圆\(O\)的位置关系。

解析：计算点\(P\)到圆心\(O\)的距离\(d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)。因\(d = r\)，故点\(P\)在圆\(O\)上。

例题2：由位置关系求参数

已知圆\(O\)：\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\)（圆心\((1,-2)\)，半径\(r = 3\)），点\(Q(2, m)\)在圆\(O\)内，求\(m\)的取值范围。

解析：点\(Q\)到圆心\(O\)的距离\(d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (m + 2)^2} = \sqrt{1 + (m + 2)^2}\)。因点\(Q\)在圆内，故\(d < r\)，即\(\sqrt{1 + (m + 2)^2} < 3\)。两边平方得\(1 + (m + 2)^2 < 9\)，即\((m + 2)^2 < 8\)，解得\(-2 - 2\sqrt{2} < m < -2 + 2\sqrt{2}\)。

例题3：共圆问题

已知\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC = 5\)，\(BC = 6\)，判断顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)是否在以\(BC\)中点\(D\)为圆心的圆上。

解析：取\(BC\)中点\(D\)，则\(BD = DC = 3\)。在\(Rt\triangle ABD\)中（因\(AB = AC\)，\(\triangle ABC\)是等腰三角形，\(AD \perp BC\)），\(AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\)。圆\(D\)的半径为\(BD = 3\)，而\(AD = 4 > 3\)，故点\(A\)在圆\(D\)外，点\(B\)、\(C\)在圆\(D\)上，因此\(A\)、\(B\)、\(C\)不共圆于圆\(D\)。

例题4：点在圆外的切线问题

已知圆\(O\)的半径\(r = 2\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离\(d = 5\)，求从点\(P\)到圆\(O\)的切线长（切线长指点\(P\)到切点的距离）。

解析：设切线切点为\(T\)，则\(OT \perp PT\)（切线性质：切线垂直于过切点的半径）。在\(Rt\triangle OPT\)中，\(PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}\)，即切线长为\(\sqrt{21}\)。

例题5：过圆内点的弦长问题

已知圆\(O\)的半径\(r = 5\)，点\(M\)在圆\(O\)内，且\(OM = 3\)，求过点\(M\)的最长弦与最短弦的长度。

解析：过圆内一点的弦中，直径是最长弦，故最长弦长为\(2r = 10\)；与\(OM\)垂直的弦是最短弦，设最短弦为\(AB\)，则\(OM \perp AB\)，\(AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\)，故最短弦长\(AB = 2AM = 8\)。

二、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系由“圆心到直线的距离（记为\(d\)）”与“圆的半径（记为\(r\)）”的大小关系决定，是圆与直线相交、相切、相离的核心判定依据，也是中考和竞赛的高频考点。

1. 核心定义与判定

相离：直线与圆没有公共点，此时\(d > r\)，直线与圆无交点，且直线到圆的距离大于半径。

相切：直线与圆有且只有一个公共点（称为“切点”），此时\(d = r\)，且有“切线垂直于过切点的半径”这一关键性质（逆命题也成立：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。

相交：直线与圆有两个公共点（称为“交点”），此时\(d < r\)，两交点间的线段称为“弦”，且满足“垂径定理”（过圆心垂直于弦的直线平分弦及弦所对的弧）。

2. 常用结论

若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，且切线长（从圆外一点到切点的距离）相等（切线长定理）。

若直线与圆相交，设弦长为\(l\)，则弦长公式为\(l = 2\sqrt{r^2 - d^2}\)（由垂径定理推导，将弦、半径、圆心到直线的距离构成直角三角形）。

过圆上一点有且只有一条切线；过圆外一点有且只有两条切线；过圆内一点无切线。

例题1：判断直线与圆的位置关系

已知圆\(O\)：\(x^2 + y^2 = 16\)（圆心\((0,0)\)，半径\(r = 4\)），直线\(l\)：\(3x + 4y - 20 = 0\)，判断直线\(l\)与圆\(O\)的位置关系。

解析：计算圆心到直线的距离\(d = \frac{|3 \times 0 + 4 \times 0 - 20|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{5} = 4\)。因\(d = r\)，故直线\(l\)与圆\(O\)相切。

例题2：由位置关系求直线参数

已知圆\(O\)：\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10\)（圆心\((2,3)\)，半径\(r = \sqrt{10}\)），直线\(y = kx + 1\)与圆\(O\)相交，求\(k\)的取值范围。

解析：直线方程化为一般式\(kx - y + 1 = 0\)，圆心到直线的距离\(d = \frac{|2k - 3 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|2k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}}\)。因直线与圆相交，故\(d < r\)，即\(\frac{|2k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} < \sqrt{10}\)。两边平方得\(4(k - 1)^2 < 10(k^2 + 1)\)，展开整理：\(4k^2 - 8k + 4 < 10k^2 + 10\)，即\(6k^2 + 8k + 6 > 0\)，化简为\(3k^2 + 4k + 3 > 0\)。因判别式\(\Delta = 16 - 36 = -20 < 0\)，故\(k\)取全体实数。

例题3：切线的性质应用

已知\(AB\)是圆\(O\)的切线，切点为\(B\)，\(OA\)交圆\(O\)于点\(C\)，若\(OB = 3\)，\(OA = 5\)，求\(AC\)的长。

解析：因\(AB\)是切线，故\(OB \perp AB\)（切线性质）。在\(Rt\triangle OAB\)中，\(OA = 5\)，\(OB = 3\)，则\(OC = OB = 3\)（均为半径）。故\(AC = OA - OC = 5 - 3 = 2\)。

例题4：相交弦长计算

已知圆\(O\)的半径\(r = 5\)，圆心\(O\)到直线\(l\)的距离\(d = 3\)，求直线\(l\)与圆\(O\)相交所得弦的长度。

解析：由弦长公式\(l = 2\sqrt{r^2 - d^2}\)，代入得\(l = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 8\)，故弦长为\(8\)。

例题5：切线的判定

已知\(AB\)是圆\(O\)的直径，点\(C\)在圆\(O\)上，\(D\)是\(BC\)延长线上一点，且\(\angle BAC = \angle D\)，求证：\(AD\)是圆\(O\)的切线。

证明：因\(AB\)是直径，故\(\angle ACB = 90^\circ\)（直径所对的圆周角是直角），则\(\angle ACD = 90^\circ\)（平角定义）。在\(Rt\triangle ACD\)中，\(\angle D + \angle CAD = 90^\circ\)。又因\(\angle BAC = \angle D\)，故\(\angle BAC + \angle CAD = 90^\circ\)，即\(\angle BAD = 90^\circ\)，即\(AB \perp AD\)。因\(AB\)是半径，且\(AD\)过半径外端\(A\)，故\(AD\)是圆\(O\)的切线（切线判定定理）。

三、两圆的位置关系

两圆的位置关系由“两圆的圆心距（记为\(d\)）”与“两圆半径（记为\(R\)、\(r\)，且\(R \geq r\)）”的大小关系决定，共分为五种情况，需注意“外离”与“内含”、“外切”与“内切”的区别。

1. 核心定义与判定（\(R \geq r\)）

外离：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆外部，此时\(d > R + r\)，两圆无交点，且圆心距大于两半径之和。

外切：两圆有且只有一个公共点（称为“外切点”），且一个圆在另一个圆外部，此时\(d = R + r\)，外切点在两圆心的连线上（连心线过外切点）。

相交：两圆有两个公共点（称为“交点”），此时\(R - r < d < R + r\)，连心线垂直平分两交点的连线（公共弦）。

内切：两圆有且只有一个公共点（称为“内切点”），且一个圆在另一个圆内部，此时\(d = R - r\)，内切点在两圆心的连线上（连心线过内切点）。

内含：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆内部（不含内切情况），此时\(d < R - r\)，两圆无交点，且圆心距小于两半径之差。

2. 常用结论

两圆的连心线（过两圆心的直线）是两圆的对称轴，故若两圆相交，连心线垂直平分公共弦；若两圆相切，连心线过切点。

两圆外离时，两圆上点的最大距离为\(d + R + r\)，最小距离为\(d - (R + r)\)；两圆内含时，最小距离为\((R - r) - d\)。

若两圆半径相等且相交，则连心线与公共弦互相垂直平分，构成菱形。

例题1：判断两圆的位置关系

已知圆\(O_1\)：\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\)（半径\(R = 3\)），圆\(O_2\)：\((x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 16\)（半径\(r = 4\)），求两圆的位置关系。

解析：先算圆心距\(d = \sqrt{(1 + 2)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24\)。因\(R + r = 7\)，\(R - r = 1\)，且\(1 < 3\sqrt{2} < 7\)，故两圆相交。

例题2：由位置关系求圆心距

已知两圆半径分别为\(5\)和\(3\)（\(R = 5\)，\(r = 3\)），若两圆外切，求圆心距\(d\)；若两圆内切，求圆心距\(d\)。

解析：外切时，\(d = R + r = 5 + 3 = 8\)；内切时，\(d = R - r = 5 - 3 = 2\)。

例题3：公共弦长计算

已知圆\(O_1\)：\(x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0\)，圆\(O_2\)：\(x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0\)，求两圆公共弦的长度。

解析：第一步，求连心线与公共弦方程：两圆方程相减（消去\(x^2\)、\(y^2\)），得公共弦方程：\(-2x + 2y = 0\)，即\(x - y = 0\)。第二步，求圆\(O_1\)的圆心与半径：圆\(O_1\)化为标准式\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13\)（圆心\((2,-3)\)，半径\(R = \sqrt{13}\)）。第三步，算圆心\(O_1\)到公共弦的距离\(d = \frac{|2 - (-3)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\)。第四步，由弦长公式，公共弦长\(l = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{13 - \frac{25}{2}} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\)。

例题4：外离时的最大/最小距离

已知两圆外离，圆心距\(d = 10\)，半径分别为\(R = 4\)，\(r = 2\)，求两圆上各取一点的最大距离与最小距离。

解析：外离时，最大距离为\(d + R + r = 10 + 4 + 2 = 16\)（两圆上点沿连心线延长线方向）；最小距离为\(d - (R + r) = 10 - 6 = 4\)（两圆上点沿连心线方向）。

例题5：内含时的参数范围

已知圆\(O_1\)：\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\)（半径\(R = 4\)），圆\(O_2\)：\((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = r^2\)（半径\(r\)），若圆\(O_2\)在圆\(O_1\)内部（内含，不含内切），求\(r\)的取值范围。

解析：先算圆心距\(d = \sqrt{(2 + 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.606\)。因圆\(O_2\)在圆\(O_1\)内部，故需满足\(d < R - r\)（内含），且\(r > 0\)。代入得\(\sqrt{13} < 4 - r\)，解得\(r < 4 - \sqrt{13}\)。又因\(r > 0\)，故\(0 < r < 4 - \sqrt{13}\)。

四、三角形与圆的位置关系

三角形与圆的位置关系主要分为两种：三角形的外接圆（圆过三角形三个顶点，称为“外接圆”，圆心为“外心”）和三角形的内切圆（圆与三角形三边都相切，称为“内切圆”，圆心为“内心”），核心是外心与内心的性质及半径计算。

1. 核心定义与性质

（1）三角形的外接圆（“圆过三角形”）

定义：经过三角形三个顶点的圆称为三角形的外接圆，圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，半径（外接圆半径，记为\(R\)）是外心到任意顶点的距离。

性质：

外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径\(R\)）。

锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点（斜边为外接圆直径，故\(R = \frac{斜边}{2}\)）；钝角三角形的外心在三角形外部。

外接圆半径公式：\(R = \frac{abc}{4S}\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为三角形三边，\(S\)为三角形面积）。

（2）三角形的内切圆（“圆切三角形”）

定义：与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆，圆心（内心）是三角形三个内角平分线的交点，半径（内切圆半径，记为\(r\)）是内心到任意一边的距离。

性质：

内心到三角形三边的距离相等（均等于内切圆半径\(r\)）。

内心一定在三角形内部（无论三角形形状如何）。

内切圆半径公式：\(r = \frac{S}{p}\)（\(S\)为三角形面积，\(p = \frac{a + b + c}{2}\)为三角形的半周长）。

2. 常用结论

任意三角形都有且只有一个外接圆和一个内切圆（“一外一内，唯一存在”）。

直角三角形的外接圆半径\(R = \frac{斜边}{2}\)，内切圆半径\(r = \frac{a + b - c}{2}\)（\(c\)为斜边，\(a\)、\(b\)为直角边）。

等边三角形的外心与内心重合，且\(R = 2r\)（因等边三角形的高\(h = R + r = 3r\)，故\(R = 2r\)）。

例题1：直角三角形的外接圆半径

已知\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)，求其外接圆半径\(R\)。

解析：直角三角形的外心在斜边中点，先求斜边\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\)，故外接圆半径\(R = \frac{AB}{2} = 5\)。

例题2：三角形的内切圆半径

已知\(\triangle ABC\)中，\(AB = 5\)，\(BC = 6\)，\(AC = 7\)，求其内切圆半径\(r\)。

解析：第一步，算半周长\(p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9\)。第二步，用海伦公式算面积\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{9 \times (9 - 5) \times (9 - 6) \times (9 - 7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\)。第三步，由内切圆半径公式\(r = \frac{S}{p}\)，得\(r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\)。

例题3：外心位置判断

已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle A = 120^\circ\)，判断其外心的位置。

解析：钝角三角形的外心在三角形外部。因\(\angle A = 120^\circ\)（钝角），故外心在\(\triangle ABC\)外部。

例题4：等边三角形的外切圆与内切圆半径关系

已知等边三角形的边长为\(6\)，求其外接圆半径\(R\)和内切圆半径\(r\)。

解析：等边三角形的高\(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}\)。因外心与内心重合，且\(h = R + r\)，又\(R = 2r\)，故\(3r = 3\sqrt{3}\)，解得\(r = \sqrt{3}\)，\(R = 2\sqrt{3}\)。

例题5：内切圆与三角形面积的关系

已知\(\triangle ABC\)的内切圆半径\(r = 2\)，半周长\(p = 10\)，求\(\triangle ABC\)的面积\(S\)。

解析：由内切圆半径公式\(r = \frac{S}{p}\)，得\(S = r \times p = 2 \times 10 = 20\)。

五、四边形与圆的位置关系

四边形与圆的位置关系主要分为两种：圆内接四边形（四边形的四个顶点都在圆上，称为“内接四边形”，圆称为“外接圆”）和圆外切四边形（四边形的四条边都与圆相切，称为“外切四边形”，圆称为“内切圆”），核心是判定定理与性质定理的应用。

1. 核心定义与判定、性质

（1）圆内接四边形（“四边形在圆内”）

定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形称为圆内接四边形，该圆称为四边形的外接圆。

判定定理：

对角互补的四边形是圆内接四边形（即\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)，\(\angle B + \angle D = 180^\circ\)）。

一个外角等于它的内对角的四边形是圆内接四边形（如外角\(\angle ADE = \angle B\)，则\(ABCD\)内接于圆）。

若两个点在一条线段的同侧，且对该线段的张角相等，则这两个点与线段端点共圆（可推广到四边形）。

性质定理：

圆内接四边形的对角互补（判定定理的逆用）。

圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

圆内接四边形的对角线乘积等于两组对边乘积之和（托勒密定理：\(AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC\)，仅适用于圆内接四边形）。

（2）圆外切四边形（“四边形在圆外”）

定义：四条边都与同一个圆相切的四边形称为圆外切四边形，该圆称为四边形的内切圆。

判定定理：

四边形的两组对边之和相等（即\(AB + CD = AD + BC\)），则该四边形是圆外切四边形（核心判定条件）。

性质定理：

圆外切四边形的两组对边之和相等（判定定理的逆用）。

圆外切四边形的内心到四条边的距离相等（均等于内切圆半径）。

圆外切四边形的面积\(S = r \times p\)（\(r\)为内切圆半径，\(p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2}\)为四边形的半周长）。

2. 常用结论

任意三角形有外接圆，但不是所有四边形都有外接圆（只有满足“对角互补”的四边形才有）；同样，不是所有四边形都有内切圆（只有满足“对边和相等”的四边形才有）。

既是圆内接四边形又是圆外切四边形的四边形称为“双心四边形”（如正方形、菱形（当菱形内接于圆时，即为正方形））。

矩形是圆内接四边形（对角互补），但不是圆外切四边形（除非是正方形，此时对边和相等）；菱形是圆外切四边形（对边和相等），但不是圆内接四边形（除非是正方形，此时对角互补）。

例题1：判断圆内接四边形

已知四边形\(ABCD\)中，\(\angle A = 100^\circ\)，\(\angle B = 80^\circ\)，\(\angle C = 80^\circ\)，判断四边形\(ABCD\)是否为圆内接四边形。

解析：圆内接四边形需满足“对角互补”。计算\(\angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 360^\circ - (100^\circ + 80^\circ + 80^\circ) = 100^\circ\)。因\(\angle A + \angle C = 100^\circ + 80^\circ = 180^\circ\)，\(\angle B + \angle D = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ\)，故四边形\(ABCD\)是圆内接四边形。

例题2：圆内接四边形的外角性质

已知四边形\(ABCD\)是圆内接四边形，\(AB\)的延长线交\(DC\)的延长线于点\(E\)，若\(\angle A = 60^\circ\)，求\(\angle BCE\)的度数。

解析：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。\(\angle BCE\)是四边形\(ABCD\)的外角，其对应的内对角是\(\angle A\)，故\(\angle BCE = \angle A = 60^\circ\)。

例题3：圆外切四边形的对边和

已知四边形\(ABCD\)是圆外切四边形，\(AB = 5\)，\(BC = 3\)，\(CD = 4\)，求\(AD\)的长。

解析：圆外切四边形的两组对边之和相等，即\(AB + CD = AD + BC\)。代入得\(5 + 4 = AD + 3\)，解得\(AD = 6\)。

例题4：圆外切四边形的面积

已知四边形\(ABCD\)是圆外切四边形，内切圆半径\(r = 2\)，四边分别为\(AB = 4\)，\(BC = 5\)，\(CD = 6\)，\(DA = 3\)，求四边形\(ABCD\)的面积\(S\)。

解析：第一步，算半周长\(p = \frac{4 + 5 + 6 + 3}{2} = 9\)。第二步，由圆外切四边形面积公式\(S = r \times p\)，得\(S = 2 \times 9 = 18\)。

例题5：托勒密定理的应用

已知正方形\(ABCD\)内接于圆\(O\)，边长为\(2\)，求对角线\(AC\)与\(BD\)的乘积（用托勒密定理验证）。

解析：正方形是圆内接四边形，满足托勒密定理\(AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC\)。因正方形边长均为\(2\)，故\(AB = CD = AD = BC = 2\)，代入得\(AC \times BD = 2 \times 2 + 2 \times 2 = 8\)。又因正方形对角线\(AC = BD = 2\sqrt{2}\)，故\(AC \times BD = 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 8\)，与托勒密定理结果一致。