集合 01 集合元素的概念、性质、运算

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一、集合与元素的基本概念

集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。集合通常用大写拉丁字母表示，如A、B、C等。

元素：集合中的每个研究对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写拉丁字母表示，如a、b、c等。

元素与集合的关系：

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。

如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A。

二、集合的三个基本性质

1. 确定性：给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中是确定的。即对于一个集合A和元素x，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一。

例如：“成绩好的学生”不能构成集合（“成绩好”无明确标准），但“90分以上的学生”可以构成集合。

2. 互异性：集合中的元素是互不相同的。即集合中不会出现重复的元素，若有重复元素，只需保留一个。

例如：集合{1,2,2,3}应表示为{1,2,3}。

3. 无序性：集合中的元素没有先后顺序之分。即改变元素的排列顺序，集合不变。

例如：{1,2,3}与{3,2,1}是同一个集合。

三、集合的表示方法

1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。

格式：{元素1, 元素2, 元素3, ...}

例如：由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}。

2. 描述法：用集合中元素的共同特征来表示集合的方法。

格式：{元素 | 元素所满足的条件}

例如：所有偶数组成的集合可表示为{x | x=2k, k∈Z}。

3. 图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部表示集合，直观展示集合间的关系。

四、常见数集及其符号

自然数集（N）：全体非负整数组成的集合（0,1,2,3,...）

正整数集（N₊或N\*）：全体正整数组成的集合（1,2,3,...）

整数集（Z）：全体整数组成的集合（..., -2,-1,0,1,2,...）

有理数集（Q）：全体有理数组成的集合（整数和分数的统称）

实数集（R）：全体实数组成的集合（有理数和无理数的统称）

五、集合之间的关系

1. 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。

性质：① 任何集合是它自身的子集（A⊆A）；② 空集是任何集合的子集（∅⊆A）。

2. 真子集：如果A⊆B且A≠B，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。

性质：空集是任何非空集合的真子集（∅⫋A，A≠∅）。

3. 相等：如果A⊆B且B⊆A，那么集合A与集合B相等，记作A=B。

六、集合的运算及性质

1. 交集（A∩B）

定义：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，即A∩B={x | x∈A且x∈B}。

性质：

A∩A=A；

A∩∅=∅；

A∩B=B∩A；

若A⊆B，则A∩B=A。

2. 并集（A∪B）

定义：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，即A∪B={x | x∈A或x∈B}。

性质：

A∪A=A；

A∪∅=A；

A∪B=B∪A；

若A⊆B，则A∪B=B。

3. 补集（∁ᵤA）

定义：设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，即∁ᵤA={x | x∈U且x∉A}。

性质：

A∪∁ᵤA=U；

A∩∁ᵤA=∅；

∁ᵤ(∁ᵤA)=A；

∁ᵤU=∅，∁ᵤ∅=U。

七、重点难点例题解析

例题1：集合性质的应用（互异性）

题目：已知集合A={2, 3, a²+4a+2}，B={0, 7, a²+4a-2, 2}，且A∩B={3,7}，求a的值。

解析：

由A∩B={3,7}可知，7∈A，因此a²+4a+2=7，解得a=1或a=-5。

验证互异性：

当a=1时，A={2,3,7}，B={0,7,3,2}，A∩B={2,3,7}，与题意{3,7}矛盾，舍去。

当a=-5时，A={2,3,7}，B={0,7,-3,2}，A∩B={3,7}，符合题意。

答案：a=-5

例题2：子集与空集的关系

题目：已知集合A={x | x²-3x+2=0}，B={x | ax-2=0}，且B⊆A，求实数a的值。

解析：

先求A：解方程x²-3x+2=0，得A={1,2}。

分析B⊆A的情况：

若B=∅，则ax-2=0无解，即a=0。

若B≠∅，则B={x | x=2/a}，由B⊆A得2/a=1或2/a=2，解得a=2或a=1。

答案：a=0或1或2

例题3：集合运算与补集

题目：设全集U=R，集合A={x | x≤-2或x≥5}，B={x | 2<x<6}，求：

（1）A∩B；（2）A∪B；（3）∁ᵤA∩B。

解析：

（1）A∩B是同时属于A和B的元素：{x | 5≤x<6}。

（2）A∪B是属于A或B的元素：{x | x≤-2或x>2}。

（3）先求∁ᵤA={x | -2<x<5}，再求∩B：{x | 2<x<5}。

答案：（1）{x | 5≤x<6}；（2）{x | x≤-2或x>2}；（3）{x | 2<x<5}。

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