平面几何：三角形的内心（I）

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

三角形的内心是三角形三条（内）角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，也是到三角形三边距离相等的点（这个距离即为内切圆半径，通常用\(r\)表示）。内心在三角形中的位置具有固定性——无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，内心始终在三角形内部，这是内心与外心、垂心的重要区别（外心可能在外部，垂心可能在外部）。

1. 定义性质：内心是三条角平分线的交点，因此内心到三角形三个顶点的连线分别平分三个内角。

例如：在\(\triangle ABC\)中，若\(I\)为内心，则\(\angle BAI = \angle CAI = \frac{1}{2}\angle BAC\)，\(\angle ABI = \angle CBI = \frac{1}{2}\angle ABC\)，\(\angle ACI = \angle BCI = \frac{1}{2}\angle ACB\)。

2. 距离性质：内心到三角形三边的距离相等，且这个距离等于内切圆半径\(r\)。

若过内心\(I\)作三边的垂线，垂足分别为\(D\)、\(E\)、\(F\)（即内切圆与三边的切点），则\(ID = IE = IF = r\)。

3. 角度关系：内心与三角形顶点连线形成的角，可通过三角形内角和推导。

在\(\triangle ABC\)中，\(\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC\)（同理可推导\(\angle AIB = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ACB\)，\(\angle AIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ABC\)）。

推导过程：

\(\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) \)

\(= 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC) = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC\)。

4. 内切圆半径公式：设三角形面积为\(S\)，周长的一半为\(p\)（即\(p = \frac{a + b + c}{2}\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)为三角形三边长度），则内切圆半径\(r = \frac{S}{p}\)。

推导依据：将三角形分割为三个以内心为顶点、三边为底边的小三角形（\(\triangle IAB\)、\(\triangle IBC\)、\(\triangle ICA\)），总面积\(S = S_{\triangle IAB} + S_{\triangle IBC} + S_{\triangle ICA} = \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br = \frac{1}{2}(a + b + c)r = pr\)，变形可得\(r = \frac{S}{p}\)。

5. 切点距离公式：内切圆与三边的切点将三边分成的线段长度有固定规律。

设内切圆与\(BC\)、\(AC\)、\(AB\)的切点分别为\(D\)、\(E\)、\(F\)，则\(AF = AE = p - a\)，\(BF = BD = p - b\)，\(CD = CE = p - c\)。

推导依据：切线长定理（从圆外一点到圆的两条切线长度相等），即\(AF = AE\)、\(BF = BD\)、\(CD = CE\)，设\(AF = AE = x\)，\(BF = BD = y\)，\(CD = CE = z\)，则\(x + y = c\)、\(y + z = a\)、\(z + x = b\)，联立解得\(x = p - a\)、\(y = p - b\)、\(z = p - c\)。

例题1：基础角度计算

在\(\triangle ABC\)中，\(\angle BAC = 60^\circ\)，\(I\)为内心，求\(\angle BIC\)的度数。

解析：根据内心角度性质\(\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC\)，代入\(\angle BAC = 60^\circ\)，得\(\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \times 60^\circ = 120^\circ\)。

答案：\(120^\circ\)

例题2：内切圆半径计算（已知面积与周长）

若\(\triangle ABC\)的周长为\(12\)，面积为\(6\)，求其内切圆半径\(r\)。

解析：由周长为\(12\)，得半周长\(p = \frac{12}{2} = 6\)；根据内切圆半径公式\(r = \frac{S}{p}\)，代入\(S = 6\)、\(p = 6\)，得\(r = \frac{6}{6} = 1\)。

答案：\(1\)

例题3：切线长计算（已知三边）

在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 5\)，\(BC = 6\)，\(AC = 7\)，\(I\)为内心，内切圆与\(AB\)的切点为\(F\)，求\(AF\)的长度。

解析：先算半周长\(p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9\)；根据切点距离公式，\(AF = p - BC\)（因\(BC = a = 6\)），得\(AF = 9 - 6 = 3\)。

答案：\(3\)

例题4：直角三角形内心性质（半径与边长关系）

在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(AC = 3\)，\(BC = 4\)，求内切圆半径\(r\)。

解析：先求斜边\(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)，半周长\(p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6\)，面积\(S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)；由\(r = \frac{S}{p}\)得\(r = 1\)。（直角三角形特殊结论：\(r = \frac{a + b - c}{2}\)，代入也得\(r = 1\)）

答案：\(1\)

例题5：内心与角平分线的综合应用

在\(\triangle ABC\)中，\(I\)为内心，\(BI\)的延长线交\(AC\)于\(D\)，若\(\angle ABC = 60^\circ\)，\(\angle BAC = 50^\circ\)，求\(\angle BDC\)的度数。

解析：先算\(\angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 50^\circ = 70^\circ\)；因\(I\)是内心，\(BI\)平分\(\angle ABC\)，故\(\angle ABD = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ\)；在\(\triangle ABD\)中，\(\angle BDC\)是外角，故\(\angle BDC = \angle BAC + \angle ABD = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ\)。

答案：\(80^\circ\)

例题6：内心与面积的综合计算

已知\(\triangle ABC\)的三边为\(a = 5\)，\(b = 6\)，\(c = 7\)，求内心\(I\)到\(BC\)边的距离。

解析：内心到\(BC\)的距离即内切圆半径\(r\)。先算半周长\(p = 9\)，用海伦公式求面积\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = 6\sqrt{6}\)；由\(r = \frac{S}{p}\)得\(r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\)。

答案：\(\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

例题7：内心角度关系的逆用

在\(\triangle ABC\)中，\(I\)为内心，若\(\angle BIC = 130^\circ\)，求\(\angle BAC\)的度数。

解析：根据内心角度性质\(\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC\)，变形得\(\angle BAC = 2(\angle BIC - 90^\circ)\)；代入\(\angle BIC = 130^\circ\)，得\(\angle BAC = 2 \times (130^\circ - 90^\circ) = 80^\circ\)。

答案：\(80^\circ\)

例题8：内心与切线长的综合应用

在\(\triangle ABC\)中，内切圆与\(AB\)、\(BC\)、\(AC\)分别切于\(F\)、\(D\)、\(E\)，若\(AF = 2\)，\(BD = 3\)，\(CE = 4\)，求\(\triangle ABC\)的周长。

解析：由切点距离公式，\(AF = AE = 2\)，\(BD = BF = 3\)，\(CE = CD = 4\)；因此三边长度为\(AB = AF + BF = 2 + 3 = 5\)，\(BC = BD + CD = 3 + 4 = 7\)，\(AC = AE + CE = 2 + 4 = 6\)；周长为\(5 + 7 + 6 = 18\)。

答案：\(18\)

例题9：等腰三角形内心性质

在等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC = 10\)，\(BC = 12\)，求内心\(I\)到顶点\(A\)的距离。

解析：1. 先求半周长\(p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\)，面积\(S = \frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{10^2 - 6^2} = 48\)（作\(AD \perp BC\)，\(AD\)为高，\(BD = 6\)）；2. 求内切圆半径\(r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3\)；3. 内心\(I\)在\(AD\)上（等腰三角形角平分线、高重合），\(AD = 8\)，故\(AI = AD - r = 8 - 3 = 5\)（或用勾股定理：\(AI = \sqrt{AF^2 + r^2}\)，\(AF = p - BC = 16 - 12 = 4\)，得\(AI = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)）。

答案：\(5\)

例题10：内心与三角形外角的综合

在\(\triangle ABC\)中，\(I\)为内心，延长\(AI\)交\(\triangle ABC\)的外接圆于\(D\)，求证：\(DB = DI = DC\)。

证明：1. 证\(DB = DC\)：因\(I\)是内心，\(AD\)平分\(\angle BAC\)，故\(\angle BAD = \angle CAD\)；同弧所对的圆周角相等，\(\angle BAD = \angle BCD\)，\(\angle CAD = \angle CBD\)，因此\(\angle CBD = \angle BCD\)，故\(DB = DC\)；2. 证\(DB = DI\)：\(\angle DIB = \angle IAB + \angle IBA\)（外角性质），因\(AI\)平分\(\angle BAC\)、\(BI\)平分\(\angle ABC\)，故\(\angle IAB = \frac{1}{2}\angle BAC\)，\(\angle IBA = \frac{1}{2}\angle ABC\)；又\(\angle DBI = \angle DBC + \angle CBI = \angle CAD + \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}\angle BAC + \frac{1}{2}\angle ABC\)，因此\(\angle DIB = \angle DBI\)，故\(DB = DI\)；综上，\(DB = DI = DC\)。