初中数学 21 勾股定理：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

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勾股定理

定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。例如，在一个直角三角形中，两直角边分别为$3$和$4$，根据勾股定理，斜边的平方等于$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$，所以斜边长为$5$。

勾股定理的证明：常见的证明方法有多种，如赵爽弦图法、毕达哥拉斯证法等。以赵爽弦图为例，它是用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形和一个小正方形，通过大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积之和来证明勾股定理。大正方形的边长为斜边$c$，面积为$c^{2}$；小正方形的边长为$(b - a)$，面积为$(b - a)^{2}$；每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$。则可得$c^{2}-(b - a)^{2}=4\times\frac{1}{2}ab$，化简后即为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

勾股定理的逆定理

定理内容：如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。例如，三角形的三边分别为$5$，$12$，$13$，因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169 = 13^{2}$，所以这个三角形是直角三角形，且边长为$13$的边所对的角为直角。

勾股数：满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有$3$，$4$，$5$；$5$，$12$，$13$；$8$，$15$，$17$等。

勾股定理的应用

已知直角三角形的两边求第三边：这是勾股定理最直接的应用。已知直角三角形的两条直角边，可直接利用勾股定理求出斜边；已知一条直角边和斜边，也可求出另一条直角边。例如，已知直角三角形的一条直角边为$6$，斜边为$10$，则另一条直角边为$\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。

解决实际问题：勾股定理在实际生活中有广泛的应用，如测量物体的高度、距离等。例如，要测量旗杆的高度，可在旗杆底部一定距离处测量到旗杆顶部的仰角，再结合测量点到旗杆底部的距离，利用勾股定理求出旗杆的高度。假设测量点到旗杆底部的距离为$12$米，仰角为$60^{\circ}$，设旗杆高为$h$米，则可得到$\tan60^{\circ}=\frac{h}{12}$，求出$h = 12\sqrt{3}$米，再根据勾股定理求出斜边，即测量点到旗杆顶部的距离为$\sqrt{(12\sqrt{3})^{2}+12^{2}}=\sqrt{432 + 144}=\sqrt{576}=24$米。

判断三角形的形状：利用勾股定理的逆定理，可判断一个三角形是否为直角三角形。若三边满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则为直角三角形；若$a^{2}+b^{2}>c^{2}$，则为锐角三角形；若$a^{2}+b^{2}<c^{2}$，则为钝角三角形。

勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，它不仅在数学领域有着重要的地位，在物理学等其他学科以及实际生活中也有广泛的应用，对于培养学生的空间观念和逻辑推理能力具有重要意义。