平面几何：垂径定理

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一、垂径定理

垂径定理是圆的重要性质之一，其核心是“垂直于弦的直径”与“弦及弦所对弧”之间的关系，具体表述为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

需要注意定理的“双向性”和“适用条件”：

1. 定理的前提条件：“直径”（或过圆心的直线）与“垂直于弦”，二者缺一不可；若缺少“过圆心”，仅垂直于弦的直线不一定平分弦；若缺少“垂直”，过圆心的直线也不一定平分弦（除非弦为直径，但直径与直径互相平分是特殊情况，不依赖垂直关系）。

2. 定理的结论包含三部分：平分弦（非直径的弦，因为直径与直径互相平分，无需额外强调垂直）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧。

二、垂径定理的常用结论（推论与延伸）

基于垂径定理，可推导一系列常用结论，这些结论在解题中应用广泛，需重点掌握：

1. 推论1：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧

此推论是垂径定理的“逆用”，需特别注意“弦非直径”的限制——若弦是直径，过圆心的直线（另一条直径）必然平分它，但两条直径不一定垂直（如圆内任意两条相交的直径，仅当夹角为90°时才垂直），因此需排除弦为直径的情况。

2. 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧

该结论将“垂直平分线”与“圆心”关联：圆的圆心是所有弦的垂直平分线的交点，因此只要找到任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心（这也是“找圆的圆心”的常用方法）。

3. 推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直于弦且平分弦所对的另一条弧

若直径平分弦所对的劣弧（或优弧），则该直径必然垂直于弦，同时平分另一条弧。例如：若直径AB平分弦CD所对的劣弧CD，则AB⊥CD，且AB平分弦CD所对的优弧CD。

4. 延伸结论：垂径定理中的“距离关系”

设圆的半径为\( r \)，圆心到弦的距离为\( d \)，弦长为\( l \)，则由勾股定理（圆心到弦的垂线、弦的一半、半径构成直角三角形）可得：\( \boxed{r^2 = d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} \)。这一公式是垂径定理的“量化表达”，几乎所有与垂径定理相关的计算都依赖它。

例题1：基础弦长计算

已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，求弦AB的长。

解析：由垂径定理的量化公式\( r^2 = d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \)，代入\( r=5 \)，\( d=3 \)：

\( 5^2 = 3^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \)，即\( 25 = 9 + \frac{AB^2}{4} \)，解得\( \frac{AB^2}{4} = 16 \)，\( AB^2 = 64 \)，故\( AB = 8 \)。

例题2：逆用定理判断垂直

已知⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点C是AB的中点，求证：OC⊥AB。

解析：∵C是AB中点，且OC过圆心O（直径所在直线过圆心），根据“平分弦（非直径）的直径垂直于弦”（AB=8≠10，非直径），∴OC⊥AB。

（也可通过计算验证：半径\( r=5 \)，\( AC=\frac{AB}{2}=4 \)，在Rt△OAC中，\( OC^2 + AC^2 = OC^2 + 16 = 25 \)，得\( OC=3 \)，满足勾股定理，故∠OCA=90°，即OC⊥AB）。

例题3：结合勾股定理求半径

一条弦长为16cm的弦，与圆心的距离为6cm，求该圆的半径。

解析：设半径为\( r \)，弦长\( l=16 \)，则弦的一半为\( 8 \)，圆心到弦的距离\( d=6 \)。由\( r^2 = d^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \)：

\( r^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，故\( r=10 \)cm（半径为正，舍去负根）。

例题4：利用垂径定理找圆心

已知平面上有一段圆弧（未画出圆心），如何用直尺和圆规确定该圆弧所在圆的圆心？

解析：根据“弦的垂直平分线经过圆心”：

1. 在圆弧上任意取三点A、B、C；

2. 用圆规分别作弦AB、BC的垂直平分线（作垂直平分线的方法：分别以A、B为圆心，大于\(\frac{AB}{2}\)的长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即为AB的垂直平分线）；

3. 两条垂直平分线的交点即为圆弧所在圆的圆心。

例题5：动态弦的距离问题

⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB上任意一点，求OP的取值范围。

解析：OP是圆心O到AB上点的距离，根据“垂线段最短”：

当OP⊥AB时，OP最短（此时P是AB中点），由\( r^2 = OP^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \)，得\( 25 = OP^2 + 16 \)，\( OP=3 \)；

当P与A（或B）重合时，OP最长（此时OP为半径），即\( OP=5 \)；

故OP的取值范围是\( 3 \leq OP \leq 5 \)。

例题6：垂径定理与角度计算

已知⊙O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为E，若∠AOD=60°，求弦AB的长（设⊙O半径为\( r \)）。

解析：∵CD是直径，AB⊥CD，∴AE=\(\frac{AB}{2}\)（垂径定理）。

又∵OA=OD=r（半径），∠AOD=60°，∴△AOD是等边三角形，故OA=AD=r。

在Rt△AOE中，∠AOE=60°，∠AEO=90°，∴∠OAE=30°，则\( OE=\frac{OA}{2}=\frac{r}{2} \)。

由勾股定理：\( AE^2 = OA^2 - OE^2 = r^2 - \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{3r^2}{4} \)，故\( AE=\frac{\sqrt{3}r}{2} \)，因此\( AB=2AE=\sqrt{3}r \)。

例题7：两弦相交与垂径定理结合

⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，求AB与CD之间的距离。

解析：需分两种情况（两弦在圆心同侧或异侧）：

1. 两弦在圆心同侧：

过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F（AB∥CD，故O、E、F共线），则AE=8，CF=6。

由\( OE^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \)得\( OE=6 \)；由\( OF^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \)得\( OF=8 \)。

此时距离\( EF = OF - OE = 8 - 6 = 2 \)。

2. 两弦在圆心异侧：

同理，OE=6，OF=8，此时距离\( EF = OF + OE = 8 + 6 = 14 \)。

综上，AB与CD之间的距离为2或14。

例题8：垂径定理与折叠问题

将半径为5的⊙O沿弦AB折叠，若折叠后圆弧恰好经过圆心O，求弦AB的长。

解析：折叠后圆心O的对应点O'在⊙O上（折叠前后圆弧半径不变），且AB是OO'的垂直平分线（折叠的性质：对应点的连线被折痕垂直平分）。

∴AB⊥OO'，且OE=EO'（E是AB与OO'的交点），又OO'=OA=5（O'在⊙O上，半径为5），故\( OE=\frac{5}{2} \)。

在Rt△AOE中，由\( OA^2 = OE^2 + AE^2 \)，得\( 25 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + AE^2 \)，即\( AE^2 = 25 - \frac{25}{4} = \frac{75}{4} \)，\( AE=\frac{5\sqrt{3}}{2} \)，故\( AB=2AE=5\sqrt{3} \)。