集合 01 集合与常用逻辑用语

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集合

集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合通常用大写字母\(A\)，\(B\)，\(C\)，…表示，元素用小写字母\(a\)，\(b\)，\(c\)，…表示。例如，一个班级的所有学生可以组成一个集合，而每个学生就是这个集合中的元素。

集合中元素的特性：

确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。例如，“所有的好人”不能构成一个集合，因为“好人”的标准不明确，不满足确定性；而“大于\(2\)且小于\(5\)的整数”可以构成集合\(\{3,4\}\)，因为对于任何一个整数，都能明确它是否属于这个集合。

互异性：集合中的元素互不相同。例如，集合\(\{1,2,2,3\}\)不符合集合元素的互异性，应写成\(\{1,2,3\}\)。

无序性：集合中的元素没有顺序之分。例如，集合\(\{1,2,3\}\)和\(\{3,2,1\}\)是同一个集合。

集合的表示方法：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“\(\{\}\)”括起来表示集合。例如，\(\{1,2,3,4,5\}\)表示由\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)这五个元素组成的集合。

描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。一般形式为\(\{x\mid P(x)\}\)，其中\(x\)表示集合中的元素，\(P(x)\)表示元素\(x\)所满足的条件。例如，\(\{x\mid x是小于10的正偶数\}\)表示集合\(\{2,4,6,8\}\)。

集合间的基本关系：

子集：如果集合\(A\)的任意一个元素都是集合\(B\)的元素，那么集合\(A\)称为集合\(B\)的子集，记作\(A\subseteq B\)（或\(B\supseteq A\)）。例如，集合\(\{1,2\}\)是集合\(\{1,2,3\}\)的子集。

真子集：如果\(A\subseteq B\)，且存在元素\(x\in B\)，但\(x\notin A\)，那么集合\(A\)称为集合\(B\)的真子集，记作\(A\subsetneqq B\)。例如，集合\(\{1,2\}\)是集合\(\{1,2,3,4\}\)的真子集。

相等：如果\(A\subseteq B\)且\(B\subseteq A\)，那么\(A = B\)。

集合的基本运算：

交集：由所有属于集合\(A\)且属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与\(B\)的交集，记作\(A\cap B\)，即\(A\cap B=\{x\mid x\in A且x\in B\}\)。例如，\(A=\{1,2,3,4\}\)，\(B=\{3,4,5,6\}\)，则\(A\cap B = \{3,4\}\)。

并集：由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与\(B\)的并集，记作\(A\cup B\)，即\(A\cup B=\{x\mid x\in A或x\in B\}\)。例如，对于上述集合\(A\)和\(B\)，\(A\cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\)。

补集：设\(U\)是一个集合，\(A\)是\(U\)的一个子集，由\(U\)中所有不属于\(A\)的元素组成的集合，叫做子集\(A\)在\(U\)中的补集，记作\(\complement_{U}A\)，即\(\complement_{U}A=\{x\mid x\in U且x\notin A\}\)。例如，\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)，\(A=\{1,2,3\}\)，则\(\complement_{U}A = \{4,5,6\}\)。

常用逻辑用语

命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。例如，“\(2 + 3 = 5\)”是真命题，“\(1\)是质数”是假命题。

量词：

全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“\(\forall\)”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。例如，“\(\forall x\in R\)，\(x^{2}\geq0\)”是一个全称命题，表示对于任意实数\(x\)，\(x^{2}\)都大于等于\(0\)。

存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“\(\exists\)”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。例如，“\(\exists x\in R\)，\(x^{2}-2x + 1 = 0\)”是一个特称命题，表示存在一个实数\(x\)，使得\(x^{2}-2x + 1 = 0\)。

充分条件与必要条件：

如果命题“若\(p\)，则\(q\)”为真命题，则\(p\)是\(q\)的充分条件，\(q\)是\(p\)的必要条件。例如，“若\(x = 1\)，则\(x^{2}= 1\)”，这里\(x = 1\)是\(x^{2}= 1\)的充分条件，\(x^{2}= 1\)是\(x = 1\)的必要条件。

如果既有\(p\Rightarrow q\)，又有\(q\Rightarrow p\)，就记作\(p\Leftrightarrow q\)，此时\(p\)是\(q\)的充分必要条件，简称充要条件。例如，“\(x = 1\)当且仅当\(x^{3}= 1\)”，\(x = 1\)是\(x^{3}= 1\)的充要条件。

集合与常用逻辑用语是高中数学的基础内容，对于后续学习函数、数列、不等式等知识都有着重要的作用，它为我们提供了一种严谨的数学语言和思维方式，帮助我们更准确地表达和解决数学问题。