平面几何：张角定理、分角定理、角平分线定理

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张角定理

张角定理是平面几何中关于三角形内一点与三个顶点连线形成角度的重要定理，主要用于关联线段长度与角度的三角函数值，在解决线段比例、角度计算等几何问题中具有广泛应用。

在△ABC中，若点D在边BC上（D不与B、C重合），则有：\(\frac{\sin\angle BAD}{AC} + \frac{\sin\angle CAD}{AB} = \frac{\sin\angle BAC}{AD}\)

张角定理推导（面积法）

张角定理可通过三角形面积关系推导，步骤如下：

1. 由面积加法可知：△ABD的面积 + △ACD的面积 = △ABC的面积；

2. 根据三角形面积公式“\(S = \frac{1}{2}ab\sin\theta\)”（\(\theta\)为a、b夹角），分别表示三个三角形的面积：

\(S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin\alpha\)；

\(S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC \cdot \sin\beta\)；

\(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\alpha + \beta)\)。

3. 将面积关系代入并两边同乘2，消去\(\frac{1}{2}\)：\(AB \cdot AD \cdot \sin\alpha + AD \cdot AC \cdot \sin\beta = AB \cdot AC \cdot \sin(\alpha + \beta)\)；

4. 两边同时除以\(AB \cdot AC \cdot AD\)，化简后即得张角定理公式：\(\frac{\sin\alpha}{AC} + \frac{\sin\beta}{AB} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{AD}\)。

张角定理的逆定理（判定点共线）

张角定理的逆定理是判断“三点共线”的重要工具，内容如下：

若在△ABC中，点D是平面内一点（不与A重合），且满足：\(\frac{\sin\angle BAD}{AC} + \frac{\sin\angle CAD}{AB} = \frac{\sin\angle BAC}{AD}\)，则点B、D、C三点共线。

张角定理应用场景

张角定理的核心优势是“用角度三角函数关联线段长度”，常见应用包括：

1. 计算线段长度

例：在△ABC中，AB=2，AC=3，\(\angle BAC=60^\circ\)，点D在BC上且\(\angle BAD=30^\circ\)（即AD平分\(\angle BAC\)），求AD的长度。

设\(\alpha=30^\circ\)，\(\beta=30^\circ\)，\(\alpha+\beta=60^\circ\)；

代入张角定理：\(\frac{\sin30^\circ}{3} + \frac{\sin30^\circ}{2} = \frac{\sin60^\circ}{AD}\)；

计算得：\(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2AD}\) → \(\frac{5}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2AD}\) → \(AD = \frac{6\sqrt{3}}{5}\)。

2. 证明三点共线

例：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，E在AD上，且\(\frac{AE}{ED} = \frac{1}{2}\)，求证：B、E、某点（如延长线交点）共线。

利用张角定理逆定理：计算\(\angle BAE、\angle CAE\)的正弦值与线段比例，验证是否满足定理公式，若满足则B、E、C（或延长线点）共线。

3. 解决与角平分线、中线相关的问题

当涉及三角形的角平分线（如例1）、中线（D为BC中点）时，张角定理可避开复杂的全等/相似证明，直接通过角度与线段的关系求解。

张角定理注意事项

1. 适用条件：定理仅适用于“点在三角形一边上”（或逆定理中“点在直线BC上”）的情况，若点D在△ABC外部，需结合角度的正负（三角函数的符号规则）调整公式；

2. 角度范围：\(\alpha、\beta\)均为锐角或钝角，需确保\(\sin\alpha、\sin\beta\)的取值符合实际角度（如钝角的正弦值等于其补角的正弦值）；

3. 与其他定理的关联：张角定理可视为正弦定理的推论（对△ABD和△ACD分别用正弦定理，结合\(\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ\)（\(\sin\)值相等），也可推导得出）。

通过张角定理，可将几何问题中的“角度关系”与“线段比例”直接挂钩，是解决平面几何中“线段-角度”综合问题的高效工具。

分角定理

分角定理是平面几何中用于关联三角形内一点与三边线段比例、以及该点分内角所成两角的重要定理，核心作用是建立“线段比例”与“角度正弦值比例”的直接关系，在解决线段比例计算、角度关系证明等问题中应用广泛，尤其常与正弦定理、张角定理配合使用。

在△ABC中，若点D在边BC上（D不与B、C重合），且\(\angle BAD = \alpha\)，\(\angle CAD = \beta\)（即AD将\(\angle BAC\)分为\(\alpha\)和\(\beta\)两角），则有：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\)

分角定理推导（正弦定理法）

分角定理的推导可通过对△ABD和△ACD分别应用正弦定理完成，步骤清晰，逻辑严谨：

1. 在△ABD中，根据正弦定理（“任意三角形中，边长与对角的正弦值成正比”）：\(\frac{BD}{\sin\alpha} = \frac{AB}{\sin\angle ADB}\)

变形得：\(BD = \frac{AB \cdot \sin\alpha}{\sin\angle ADB}\) ——（1）

2. 在△ACD中，同理应用正弦定理：\(\frac{DC}{\sin\beta} = \frac{AC}{\sin\angle ADC}\)

变形得：\(DC = \frac{AC \cdot \sin\beta}{\sin\angle ADC}\) ——（2）

3. 关键观察：\(\angle ADB\)与\(\angle ADC\)是邻补角（D在BC上），因此\(\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ\)。

根据三角函数性质，\(\sin\angle ADB = \sin(180^\circ - \angle ADC) = \sin\angle ADC\)，记为\(\sin\theta\)（\(\theta\)为公共正弦值）。

4. 用（1）式除以（2）式，消去\(\sin\theta\)：\(\frac{BD}{DC} = \frac{\frac{AB \cdot \sin\alpha}{\sin\theta}}{\frac{AC \cdot \sin\beta}{\sin\theta}} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\)

即得分角定理的最终形式。

特殊情况：角平分线定理

分角定理是角平分线定理的“推广形式”，当AD为\(\angle BAC\)的角平分线时，\(\alpha = \beta\)，此时\(\sin\alpha = \sin\beta\)，分角定理公式可简化为：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)

这正是角平分线定理的核心内容——“三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”。

由此可见，角平分线定理是分角定理在“分角相等”时的特例，而分角定理则覆盖了“分角不相等”的更一般场景。

分角定理应用场景

分角定理的核心价值是“将线段比例与角度正弦值比例绑定”，尤其适合解决含“非角平分线的分角线”（如任意角的三等分线、特定角度的分线）的几何问题，常见应用包括：

1. 计算线段比例

例：在△ABC中，AB=4，AC=6，点D在BC上，且\(\angle BAD = 30^\circ\)，\(\angle CAD = 60^\circ\)（即AD分\(\angle BAC\)为30°和60°），求\(\frac{BD}{DC}\)的值。

直接代入分角定理：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\)

已知\(AB=4\)，\(AC=6\)，\(\alpha=30^\circ\)，\(\beta=60^\circ\)，\(\sin30^\circ=\frac{1}{2}\)，\(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

计算得：\(\frac{BD}{DC} = \frac{4}{6} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}\)。

2. 证明角度关系

例：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且\(\frac{BD}{DC} = \frac{1}{2}\)，求证：\(\sin\angle BAD = \frac{1}{2}\sin\angle CAD\)。

由AB=AC，分角定理得：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = 1 \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\)

已知\(\frac{BD}{DC} = \frac{1}{2}\)，因此\(\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{1}{2}\)，即\(\sin\alpha = \frac{1}{2}\sin\beta\)（\(\alpha=\angle BAD\)，\(\beta=\angle CAD\)），得证。

3. 与张角定理配合求解

当问题同时涉及“线段长度”和“线段比例”时，可联立分角定理与张角定理：先用分角定理确定比例关系，再代入张角定理计算具体线段长度。

分角定理注意事项

1. 点的位置限制：定理默认点D在△ABC的边BC上（即线段BC内部）；若D在BC的延长线上，需结合角度的正负（如\(\alpha\)或\(\beta\)为补角，正弦值符号不变，但线段比例需注意正负性），公式形式可调整为\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\)（比例结果为负，代表D在延长线上）。

2. 角度的准确性：需明确\(\alpha\)和\(\beta\)是AD分\(\angle BAC\)所得的两个角，而非其他角（如\(\angle ABD\)的分角），避免角度混淆导致计算错误。

3. 与正弦定理的区别：正弦定理描述的是“单个三角形内边长与对角正弦的关系”，而分角定理描述的是“两个相邻三角形（△ABD与△ACD）的线段比例与分角正弦的关系”，二者适用场景不同，但推导逻辑相通。

分角定理作为平面几何中连接“线段”与“角度”的重要桥梁，不仅推广了角平分线定理，更在解决非对称分角问题时展现出简洁高效的优势，是几何计算与证明的核心工具之一。

角平分线定理

角平分线定理是平面几何中关于三角形内角平分线的核心定理，主要描述了三角形的内角平分线分对边所得的两条线段，与这个角的两边对应成比例。该定理是分角定理的特殊情况（当分角线平分内角时），在解决线段比例计算、角度证明、几何作图等问题中应用广泛，是初中及高中几何的基础工具之一。

在任意三角形△ABC中，若射线AD是∠BAC的角平分线（即AD平分∠BAC，且D为边BC上的点，不与B、C重合），则角平分线分对边BC所得的两条线段BD、DC的比例，等于角的两边AB、AC的比例：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)

角平分线定理推导（3种经典方法）

角平分线定理的推导逻辑严谨，可通过“面积法”“正弦定理法”“全等构造法”等多种方式证明，以下为最常用的两种推导思路：

方法1：面积法（直观易懂，基于面积比例关系）

1. 构建高与面积：过点D分别作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F。由于AD是∠BAC的角平分线，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得DE = DF（记为h，即D到AB、AC的距离相等）。

2. 计算两个小三角形的面积：

△ABD的面积：\(S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times DE = \frac{1}{2} \times AB \times h\)；

△ACD的面积：\(S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times DF = \frac{1}{2} \times AC \times h\)。

3. 利用同高三角形的面积比等于底边长比：

△ABD与△ACD共享顶点A，且底边BD、DC在同一直线BC上，因此它们的高（从A到BC的距离）相等，面积比等于底边长比，即\(\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BD}{DC}\)。

4. 联立面积表达式，消去公共量h：

\(\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \times AB \times h}{\frac{1}{2} \times AC \times h} = \frac{AB}{AC}\)，因此\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)，得证。

方法2：正弦定理法（与分角定理直接关联）

1. 对两个小三角形应用正弦定理：

在△ABD中，根据正弦定理（“边长与对角的正弦值成正比”）：\(\frac{BD}{\sin\angle BAD} = \frac{AB}{\sin\angle ADB}\)；

在△ACD中，同理：\(\frac{DC}{\sin\angle CAD} = \frac{AC}{\sin\angle ADC}\)。

2. 利用角的关系简化：

因AD是角平分线，\(\angle BAD = \angle CAD\)（记为\(\alpha\)），故\(\sin\angle BAD = \sin\angle CAD = \sin\alpha\)；

\(\angle ADB\)与\(\angle ADC\)是邻补角（D在BC上），故\(\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ\)，根据三角函数性质，\(\sin\angle ADB = \sin\angle ADC\)（记为\(\sin\theta\)）。

3. 联立比例式，消去公共量：

由\(\frac{BD}{\sin\alpha} = \frac{AB}{\sin\theta}\)得\(BD = \frac{AB \cdot \sin\alpha}{\sin\theta}\)；

由\(\frac{DC}{\sin\alpha} = \frac{AC}{\sin\theta}\)得\(DC = \frac{AC \cdot \sin\alpha}{\sin\theta}\)；

两式相除：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)，得证。

角平分线定理的推广：外角平分线定理

角平分线定理不仅适用于“内角平分线”，还可推广到“外角平分线”，即三角形的外角平分线（若与对边延长线相交）分对边延长线所得的两条线段，与这个角的两边对应成比例。

在△ABC中，若射线AD是∠BAC的外角平分线（即AD平分∠BAC的邻补角，且D在BC的延长线上），则：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)

注意：外角平分线定理中，点D的位置在对边的延长线上（而非边BC上），但比例关系与内角平分线定理完全一致，体现了几何定理的对称性。

角平分线定理应用场景

角平分线定理的核心价值是“将角平分线与线段比例直接关联”，无需通过复杂的角度计算或全等构造，即可快速求解线段长度或证明比例关系，常见应用包括：

1. 计算线段长度

例：在△ABC中，AB=6，AC=4，AD是∠BAC的角平分线，且BC=10，求BD和DC的长度。

由角平分线定理：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)；

设BD=3x，DC=2x，因BD+DC=BC=10，故3x+2x=10，解得x=2；

因此BD=3×2=6，DC=2×2=4。

2. 证明线段比例关系

例：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且交BC于D，过D作DE∥AB交AC于E，求证：\(\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{AC}\)。

由DE∥AB，根据“平行线分线段成比例定理”：\(\frac{AE}{EC} = \frac{BD}{DC}\)；

由角平分线定理：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)；

联立得\(\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{AC}\)，得证。

3. 几何作图与验证

在尺规作图中，若需“按特定比例分一条线段”，可结合角平分线定理：先构造一个三角形，使两边长度等于比例的两部分，再作内角平分线，即可将第三边按所需比例分割。

角平分线定理注意事项

1. 点的位置限制：内角平分线定理中，点D必须在对边BC的内部（即线段BC上）；若D在BC的延长线上，则需使用外角平分线定理，避免混淆。

2. 角平分线的定义：需确认AD是“内角平分线”还是“外角平分线”，二者适用场景不同，但比例公式一致，核心区别在于点D的位置。

3. 与分角定理的关系：角平分线定理是分角定理的特殊情况——当分角线AD平分∠BAC（即\(\angle BAD = \angle CAD\)）时，分角定理中的\(\sin\angle BAD = \sin\angle CAD\)，公式简化为角平分线定理，因此分角定理是角平分线定理的“一般形式”。

角平分线定理作为平面几何的基础定理，不仅是解决线段比例问题的“捷径”，更是后续学习三角形相似、圆的性质等内容的重要铺垫，其简洁的比例关系和多样的推导方法，也体现了几何学科的逻辑美与对称美。

角平分线定理的逆定理

角平分线定理的逆定理是平面几何中判断“一条线段是否为三角形内角平分线”的核心依据，它与角平分线定理形成“互逆”关系——前者由“角平分线”推导出“线段比例”，后者由“线段比例”反推出“角平分线”，是几何证明中定位角平分线的重要工具。

在△ABC中，若点D是边BC上的一点（不与B、C重合）（非延长线），且满足“点D分对边BC所得的两条线段BD、DC的比例，等于角∠BAC的两边AB、AC的比例”，则射线AD是∠BAC的内角平分线（即AD平分∠BAC）。

在△ABC中，D为BC上一点，若 \(\boxed{\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}}\)，则 \(\boxed{AD \text{ 平分 } \angle BAC}\)（即 \(\angle BAD = \angle CAD\)）。

角平分线定理的逆定理的证明（2种经典方法）

角平分线定理的逆定理需通过“反证法”或“构造全等/相似”证明，核心思路是：先假设AD不是角平分线，推出与已知比例矛盾的结论，或通过比例构造辅助线验证角相等，最终证明AD必为角平分线。

方法1：反证法（逻辑严谨，排除矛盾）

1. 提出假设：假设AD不是∠BAC的平分线，那么存在另一条射线AE（E在BC上，且E≠D）是∠BAC的平分线。

2. 应用角平分线定理：因AE是∠BAC的平分线，根据角平分线定理，可得 \(\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}\)。

3. 引入已知条件：已知AD满足 \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)，因此联立得 \(\frac{BE}{EC} = \frac{BD}{DC}\)。

4. 推出矛盾：根据“三角形内分线段成比例的唯一性”——在一条线段BC上，若一个点分BC的比例为\(\frac{AB}{AC}\)，则这个点是唯一的（可通过比例计算验证：设BC=a，BD=x，DC=a-x，\(\frac{x}{a-x} = \frac{AB}{AC}\)的解唯一）。但假设中E≠D且也满足比例，与“唯一性”矛盾，因此原假设不成立。

5. 得出结论：AD必为∠BAC的内角平分线，逆定理得证。

方法2：构造相似三角形法（直观验证角相等）

1. 构造辅助线：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E。

2. 利用平行线分线段成比例：因CE∥AD，根据“平行线分线段成比例定理”：

对BC而言：\(\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AE}\)（AD截BC、BE所得比例）；

对∠EAC而言：∠BAD = ∠E（同位角相等），∠CAD = ∠ACE（内错角相等）。

3. 结合已知比例推导边相等：已知\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)，联立\(\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AE}\)，可得\(\frac{AB}{AC} = \frac{BA}{AE}\)。

因AB=BA（公共边），故AC=AE（比例性质：内项之积等于外项之积，AB·AE = AC·BA → AE=AC）。

4. 证明角相等：由AC=AE，可知△AEC是等腰三角形，故\(\angle E = \angle ACE\)。

结合步骤2中\(\angle BAD = \angle E\)、\(\angle CAD = \angle ACE\)，可得\(\angle BAD = \angle CAD\)，即AD平分∠BAC，逆定理得证。

角平分线定理的逆定理的关键条件（缺一不可）

角平分线定理的逆定理成立需满足两个核心前提，缺少任一条件都会导致结论不成立，需特别注意：

1. 点D的位置限制：点D必须在对边BC的内部（即线段BC上，而非BC的延长线）。

若D在BC的延长线上，即使满足\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)，AD也不是∠BAC的内角平分线，而是外角平分线（对应“外角平分线定理的逆定理”），需严格区分“内角”与“外角”的适用场景。

2. 比例关系的对应性：比例\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)需严格对应“分线段”与“角的两边”——分子\(BD\)对应角的一边\(AB\)，分母\(DC\)对应角的另一边\(AC\)，不可混淆线段或边的对应关系（例如\(\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}\)则不满足逆定理条件）。